Universit´ e de Tours Ann´ ee 2014-2015
L2. Courbes param´etr´ees Contrˆ ole du 25 Octobre
Les trois exercices sont ind´ependants. Une bonne r´edaction compte !
EXERCICE 1.
SoitX :R−→R2 une application d´erivable etV un vecteur fix´e deR2. 1) Montrer que la fonction g : R −→ R d´efinie par g(t) =< V, X(t) > est d´erivable et calculer sa d´eriv´ee.
2) SiX(t) est une courbe param´etr´ee pour laquelle la fonctiong est constante, dans quel ensemble se trouve la courbeX ?
EXERCICE 2.
On consid`ere la courbe param´etr´ee suivante, o`uk∈Rest un param`etre :
X(t) =
expt+t kt2−1
,sint+t t
2−1
.
1) Montrer que cette courbe admet un point singulier ent= 0.
2) ´Etudier la forme de la courbe au voisinage de ce point en fonction dek.
EXERCICE 3.
On consid`ere la courbe param´etr´ee d´efinie par l’application
X(t) :=
t2+ 1
2t−1,2t− 1 2t−1
1) Donner le domaine de d´efinition deX.
2) Calculer la d´eriv´ee X0(t) et dresser un tableau de variations.
3) a) Montrer que quandttend vers 1/2, la courbe admet une droite asympto- tiqueD d’´equationy=ax+b avecaet b`a d´eterminer.
b) Pr´eciser la position de la courbe par rapport `a D (on distinguera les cas t >1/2 ett <1/2).
4) Montrer que quandttend vers±∞,la courbe admet une parabole asymptote d’´equationx=14y2+12.
5) Tracer succintement la courbe.
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