Développements limités
Notations du chapitre — Dans ce chapitre I est un intervalle deR.
I — Définition
Définition 1.1 — Développement limité
On dit que la fonction f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de x0si et seulement si il existe une fonction polynôme P de degré au plus n telle que, au voisinage de x0,
f(x) =P(x) +o((x−x0)n)
Propriété 1.2 — Unicité du développement limité
Si la fonction f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de x0, alors ce développement limité est unique.
Corollaire 1.3 — Si f admet pour DLn(0)
f(x) =P(x)+o(xn)
et si f est paire (resp. impaire), alors P est également pair (resp. impaire).
II — DL usuels
Théorème 2.1 — Formule de Taylor-Young
Soit f une fonction de I dansR, de classe Cn. Pour tout a et x dans I, il existe une fonctionεtelle que
f(x) =
n
X
k=0
(x−a)k
k! f(k)(a) +(x−a)n n! ε(x) avecε(x)−−→x→a 0.
III — Opération sur les DL
Théorème 3.1 — Troncature
Si f admet un DLn(0)limité à l’ordre n de la forme a0+a1x+· · ·+anx+o(xn), alors pour tout entier p¶n, f admet un DLp(x0)de la forme a0+a1x+· · ·+ apxp+o(xp)
Théorème 3.2 — Multiplication par un scalaire
Soitλ∈R. Si f admet pour DLn(0)f(x) =P(x)+o(xn)alorsλf admet comme DLn(0)
λf(x) =λP(x)+o(xn)
Théorème 3.3 — Addition
Si f et g admettent pour DLn(0)f(x) =P(x)+o(xn)et g(x) =Q(x)+o(xn) alors f +g admet comme DLn(0)
f(x) +g(x) =P(x) +Q(x)+o(xn)
Théorème 3.4 — Multiplication
Si f admet pour DLn(0)f(x) =P(x)+o(xn) et g admet un DLn(0)g(x) = Q(x)+o(xn)alors f ×g admet comme DLn(0)
f(x)×g(x) = P(x)×Q(x)
| {z }
tronqué à l’ordre n
+o(xn)
Théorème 3.5 — Primitive Si f admet pour DLn(0)
f(x) =a0+a1x+· · ·+anxn+o(xn)
et si f admet une primitive F sur I alors F admet comme DLn+1(0)(0) F(x) =F(0) +a0x+a1
2 x+· · ·+ an
n+1xn+1+o(xn+1)
Théorème 3.6 — Composition
Si f admet pour DLn(0)f(x) =P(x)+o(xn) et g admet un DLn(0)g(x) = Q(x)+o(xn)alors g◦f admet comme DLn(0)
g(f(x)) = Q(P(x))
| {z }
tronqué à l’ordre n
+o(xn)
