Somme de sous-espaces vectoriels

(1)

Somme de sous-espaces vectoriels

Dans toute la suite (E , +, .) désigne un

K-espace vectoriel avecK

=

R

ou

C

de dimension n. Je rappelle que la somme (ou somme directe) de 2 sevs a été traitée en Sup. Il s’agit ici d’une somme de n sev avec n ≥ 3. Certains résultats sont identiques, d’autres non, avec le cas n = 2.

Théorème et définition : Soient (F

i

)

_1≤i≤p

une famille de sevs de E. On appelle somme des F

i

et on note F

1

+ · · · + F

p

ou même

P^p

i=1

F

i

l’ensemble de toutes les sommes

©

f

1

+ · · · + f

p

, ∀ 1 ≤ i ≤ p, f

i

∈ F

i ª

. C’est un sous-espace vectoriel de E et c’est même le plus petit (au sens de l’inclusion) sev de E contenant tous les F

i

.

Remarques

• Définition analogue au cas p = 2.

• On a donc F

1

+ . . . F

p

⊃ F

i

et même (comme c’est le plus petit) si un sev G vérifie G ⊃ F

i

pour tout i , alors G ⊃ F

₁

+ · · · + F

_p

.

• Si les F

i

sont de dimension finie, on n’a pas de formule (au programme de PSI !) comme pour p = 2 (formule de

Grassmann¹

dim(F

1

+ F

2

) = dim(F

1

) + dim(F

2

) − dim(F

1

∩ F

2

)). Néanmoins on a que F

1

+ · · · + F

p

est de dimension finie et dim(F

₁

+ · · · + F

_p

) ≤ dim(F

₁

) + · · · + dim(F

_p

).

Démo : On montreF₁+ · · · +F_p=Hsev deEpar la méthode générale :

• H∋0car0=0+ · · · +0 et 0∈Fi.

• Soientα,β∈Keth,h^′∈H. On a donch=h1+ · · · +hp,h^′=h₁^′+ · · · +h^′_pavechi,h^′_i∈Fi.

αh+βh^′=(αh₁+βh^′₁)+ · · · +(αh_p+βh^′_p). On abienαh_i+βh_i^′∈F_i carF_i est un sev, et doncαh+βh^′∈H.

Théorème et définition : : Soient (F

i

)

_1≤i≤p

une famille de sevs de E . La somme F

1

+· · ·+F

p

est dite directe et on la note F

1

⊕ . . . ⊕ F

p

ssi l’une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée :

(i)

Pour tous f

i

∈ F

i

, f

1

+ · · · + f

p

= 0 =⇒ f

1

= · · · = f

p

= 0.

(ii)

(en dimension finie) dim(F

1

+ · · · + F

p

) = dim(F

1

) + · · · + dim(F

p

)

(iii)

Pour tout x ∈ F

₁

+ · · · + F

_p

, il existe des uniques f

_i

∈ F

_i

tels que x = f

₁

+ · · · + f

_p

.

Remarques

• Pour p = 2 on a aussi la condition équivalente F

₁

∩ F

₂

= {0}. Attention ! pour p ≥ 3 cette condition F

_i

∩ F

_j

= {0} (avec i ̸= j ) est nécessaire mais n’est plus suffisante.

• Donc, quand la somme est directe (des ⊕ ), on a dim(F

1

⊕ . . . ⊕ F

p

) = dim(F

1

) + · · · + dim(F

p

).

• F

1

+ · · · + F

p

et F

1

⊕ . . . ⊕ F

p

sont les mêmes sevs ! sauf que la deuxième expression en dit plus sur l’ev F

₁

+ · · · + F

_p

et qu’on n’a pas le droit de l’écrire si la somme n’est pas directe.

Démo : (i)=⇒(iii)L’existence des f_i résulte de la définition de la somme. Je rappelle que la méthode générale pour démontrer l’unicité est de supposer qu’on en a 2 et de démontrer qu’ils sont égaux. Supposons doncx=f₁+ · · · +fp= f₁^′+ · · · +f_p^′ avecf_i,f_i^′∈F_i. Par soustraction, (f₁−f₁^′)+ · · · +(f_p−f_p^′)=0. Or par stabilité par +,f_i−f_i^′∈F_i. L’hypothèse (i) amène alorsfi−f_i^′=0 soitfi=f_i^′.

1. Hermann Günther Grassmann: allemand (1809-1877). Fondateur du calcul tensoriel et des espaces-vectoriels.

(2)

Démo : (iii)=⇒(ii)Supposons doncEde dimension finie, donc lesF_iaussi et considérons l’applicationϕdeF₁×· · ·×F_p dansF₁+· · ·+F_pdans qui à (f₁, . . . ,f_p) associef₁+· · ·+f_p. L’applicationϕest bien définie, linéaire et par hypothèse (iii) on aexactementqueϕest bijective (je vous laisse y réfléchir). Par isomorphisme on a donc,dans le cas somme directe, dim(F₁+ · · · +F_p)=dim(F₁× · · · ×F_p)=dim(F₁)+ · · · +dim(F_p) (c’est du cours de Sup).

(ii)=⇒(i)Considérons la même applicationϕ. L’hypothèse (ii) nous donne dim(F₁+· · ·+Fp)=dim(F₁×· · ·×Fp). Par suite, comme les evs de départ et d’arrivée ontmêmedimension,ϕest un isomorphisme ssiϕest injective ssiϕest surjective.

Orϕest clairement surjective : si on prendy=(f1, . . . ,fp)∈F1× · · · ×Fpalorsyest l’image parϕdex=f1+ · · · +fp. Par conséquent,ϕest injective, soit Kerϕ={0}. Je vous laisse réfléchir au fait que ceci estexactementle (i) !

Théorème : Soient (F

i

)

_1≤i≤p

des sevs de E de dimension finie, alors on a E = F

1

⊕ . . . ⊕ F

p

ssi l’une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée :

(i)

Pour tout élément x ∈ E , il existe des uniques f

_i

∈ F

_i

tels que x = f

₁

+ · · · + f

_p

.

(ii)

dim(E) = dim(F

1

) + · · · + dim(F

p

) et pour tous f

i

∈ F

i

, f

1

+ · · · + f

p

= 0 =⇒ f

i

= 0 pour tout i .

(iii)

seulement pour p = 2 dimE = dim F

1

+ dim F

2

et F

1

∩ F

2

=

©

0

ª

.

Démo : Considérons le morphismeϕ:F₁× · · · ×F_p−→E, (f₁, . . . ,f_p)−→f₁+ · · · +f_p. Par définition de la somme dep sous-evs, Imϕ=F1+ · · · +Fp.

(i)=⇒(ii)ϕest bijective par hypothèse. Par suite dimE=dim(F₁×· · ·×F_p)=dimF₁+· · ·+dimF_p. Elle est injective donc Kerϕ⊂©

0ª

ce qui s’écritϕ(f₁, . . . ,f_p)=f₁+ · · · +f_p=0=⇒ f₁= · · · =f_p=0.

(ii)=⇒(i)L’hypothèse sur la dimension nous amène dim Imϕ=dimE, soit Imϕ=Epar l’inclusion etϕsurjective et l’autre hypothèse comme vu plus haut est exactement Kerϕ⊂©

0ª

, soitϕinjective.ϕest alors bijective, d’où l’existence et l’unicité d’un antécédent (f₁, . . . ,fp) dexparϕqui signifie exactement(i)

Remarques

• Je rappelle que si f a pour valeurs propres distinctes

λ1

, . . . ,

λp

, f est diagonalisable ssi Ker (

λ1

I d − f ) ⊕ . . . ⊕ Ker (

λp

I d − f ) = E.

Exercice :

: Soit E un

R

-ev de dimension finie n.

Alors (e

₁

, . . . , e

_n

) est une base de E ssi Vect (e

₁

) ⊕ . . . ⊕ Vect (e

_n

) = E.

Je ne le traite pas mais vous fait remarquer que le = équivaut à générateur et le ⊕ équivaut à libre.

Exercice 2 :

: E de base (e

1

. . . e

n

), G

i

= Vect (e

k

)

k̸=i

) H

i

= { f ∈

L

(E ) / Ker f ⊃ G

i

}. Etablir

L

(E) =

n

M

i=1

H

i

On va d’abord démontrer que H

F

=

©

f ∈

L

(E) , Ker f ⊃ F

ª

est un sev de

L

(E) de dimension n(n − p) avec dimE = n et dimF = p. C’est un exo classique. On considère un supplémentaire G de F, cad F ⊕ G = E et dimG = n − p. On a alors que f ∈ H

F

ssi f

/F

= 0 et f

/G

quelconque. On note ensuite l’application restreinte f

^′

: G −→ E, x −→ f (x) et l’application

ϕ

: f ∈ H

F

−→

L

(G,E ) , f −→ f

^′

. Elle est linéaire et bijective car sa réciproque est l’application qui à f ∈

L

(G,E ) associe l’application f

b

∈

L

(E) définie par f

b/G

= f et f

b/F

= 0.

On a immédiatement Ker f

b

⊃ F , cad on a bien f

b

∈ H

_F

. Ensuite, par isomorphisme, dim H

_F

= dim

L

(G,E ) = dimG × dim E = n(n − p). On a dim G

i

= n − 1, d’où par le résultat précédent dim H

i

= n (n − (n − 1)) = n.

La propriété H

₁

⊕ . . . ⊕ H

n

=

L

(E) résulte de :

• dim H

1

+ · · · + dim H

n

= n + · · · + n = n ×n = dim

L

(E )

• Soit f

i

∈ H

i

telles que f

1

+ · · · + f

n

= 0. En appliquant à la base (e

i

), il suit que f

1

(e

i

) + · · · + f

n

(e

i

) =

0 + · · · + 0 + f

_i

(e

_i

) = 0. Comme on a aussi par définition, f

_i

(e

_j

) = 0 pour j ̸= i , il vient f

_i

= 0.