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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

De Groote, R. (1955). Etude de la conique d'Hermite projective (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.

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ETUDE DE LA CONIQUE D'HER^ÏITl PROJECTIVE

Mésaoire préBenté pour l’obtention du ^;^ade Docteur en Solenoee mathéraatiques

per

Roland DE GROOTE

liYTBODUCTI

I

1. Indications hietoriquso I

2. Buts du travail III

3. Kôsuné du travail III

BIBLIOGiai'HIE VI

CHAPITKE I. LES COHIQUBE DAHS LE P] Al PKOJECTTP CO^PLEAL 1

§

1

. Béiinltions des coniques d'Heraitc^

2

A. Bélinition al^tbrique 2

S. Bélinition par antipolarité

14

G, Dé.

initions particulières aiax coniques d'Herait'u a^ant

des points et proiremuent dites.

22

§2. Espace des coniques d'HermitS} epetènnef^ linéaires 2^ A* Description de l'espace des ooniquee d'Hermito 2Ç B. Gënéralltée sur les B,ystème& linéairec 26

C. Les ialaoeeuz 30

D* Les réseaux 41

E. Les syetènies linè^airee à trois persiièt. ea 42 P« Détermination d'une conique d'fierolte

44

G» Les espaces des ooniquee d’Her^ite ponotuellea et

tcn^:sntielleB

46

§3* Projootivitts et entiprojectivités conservant une conique d'fiernit© 51 A* Coniques d'Bermiti’: Invrrientes dans une pi'Ojeotivlté

51

B. Projectivités conservent une conique d’Her^nlte

dnan-te

54

CHAPITRE II. LIS COîriuüES Î>»HEE ÎÎTL EAÎTS MB PLATO BEEIVES PU PL/ÏÏ

PROJECTIF CO.*PLKXE.

6Ç.

§1. Lee coniques d'Henoite ttene le pion projeotii récl-eoailere

66.

A. Les joints réels d’u:S conique d’Heræit©

66.

B. Les coniques d'iieralte a^&nt un adne lieu de jointe réels 68.

C. Les coniques raellss &s£ooiéee à chaque tjrpe de ooni ues

d'Eermitvi

7?,

C. lÆS coniques d’Heraite réelles

76.

§ • Les coniques d’Horaite dcne le pion afiin 003ple::0

78.

^3» Les coniques d*Kertaite dans le plan affin réel-ooapîexe

61.

CHArlTEE III. ETUDE IKT£ï?fSEÇUB DE LA COÎTIQUE D»HF; MITE.

64.

§1. Etude

Intrinsèque de le oonique d’Hermit'^ projective

85,

A. Générrllté©

85

,

S. Double hoiiogénélté, invariante de oortaines figures,

rejère 36.

C. Beproe des directions tsnf-entes, espace tongent, isotrcpio 90.

D. Axes et orbite»

93

,

E.

Claseifioation et description d«s transiornatione

95.

'2. Etude intrinsèque de coniques d'Hormite affim»s

I08.

A. Diverses oonexétisations afxines de la oonique d’Eeraite 108.

B. Conique d’Herilto et es|ooe oonforne

II2,

§1. SélinitionB, homogèneité, isotropie Iî

8

. A. Définitions 118, B. Eoîîogénéité IÎ9, C. Isotropie II

9

, D. DiB-lèinoe et englo

J20,

Axas et orbites T 4. A* Lee (;ix©s T: 4. B. Les orbites T

24

,

^

3

, Lea ..ouvenents et loe ontinoiîveaents 126,

A, Blé ;iorjtE unis et invariants T26,

3, Trcnsfor ittions simples T

8

,

C. Trsnsfor^ifiti'no .’rrvolutivas I?

9

,

h, Tr£ nfcioraations cycli<iueB T

30

,

t,

Pïodiits d© symétries

130

,

f4. Claesificftticn dee êtres du jlan hermitien hyj. rbolique T

33

,

A. Co I io d© points T

3

‘!,

li. Coüi

1

© de droites 133,

C, Un i-oint et une droite Î

34

,

D, Chi £ii© linésire T

35

,

E, Chaîne jlfineire I

36

»

ÎBTPODUCTIOll,

1. IKPICATIONS HISTORlfclJES.

Lob

lormee d'HBrnit« à de*x varlablBB ont été introduites frr Ch.

Hertnlt* /I2/ (~) drns un iémoiro d© I854 à proj^ps dé le déco'aposition

d'un noaihre én som ié dé quatre o^xr^m» Les fom*?« d'Ronîite è plus dé

deux veriehléB ap{ arels^vant d ns des treveux de E.Picard

/20/

detmt de

1682 et g:«::néralleant oertains eépeots de^ résultrts de H.Poinoeré rela­

tif e eux i'onotlons et aux groujes fuobsiens.

Per allleure, le gééaétrie projective oœnplexe e'est d volopîf'e pen­

dent toute la jreraière raoitié du dix-neuvi ine siècle} nous retiendrons

partioulièrem^nt les noms de j,Poncelet

/2l/

(points idéaux, cordes id<'-

ales) et de Ch.von Staudt /32/. Ce dexnier donne noteinent une définition

géonétrlque projective des points eonaiplexes à partir des pointe réels et

introduit le notion de chaîne (l&^6-1860).

Les notions de cha îne de von Steudt et de forme d'Harnlto ont pris

naisernoe à p^u près simultenément et dans des oadres très dlff rents}

cependant ellea sont étroiteaenb liées 1 une oh ine est repr^'aentée ana­

lytiquement par une forme d'Hermite

à

deux variables

ho’TK>gènea«

C.Sogre

quatre varieblee ho«0£:ènes égalées à zéro (-). Le travail de Segre est,

dlrectsioent ou indireotcaent, à l*origiae de 1& plupert des travaux

ultérieurs.

On sait toute 1 'iaportanoe prise par les formes d*Herraite on Méoe-

nlque quantique et en féométrie difféarantielle (»>){ nous n* insisterons

cependant pas axxe oet aspect» Houe aettrons plutôt l'accent sur l'ensem­

ble des travaux à caractère géoTsétrique et giot^al.

Lee transformations linéaires ooneervant une forme d'Herraite ont

été étudiées algébriquement per Loengr /I8/| leur intérêt eet marqué par

le tbéor^me suivant t fout groupe fini de transformations linéairt»Ë à

eoerfiolenta et varlrbles oomplexes lalsue invariant utie forme d'Hormite

définie positive» Ce tbécrome iut dé^^ntré en par Loewy /lî/, îixjhs

/lO/ et ioor.;/l9/î il joue, ainsi que ses générelissMons, un rôle osser?-

tieX dans la tbéorie de la reirésentation linéaire des gx'oui er (weyl /‘’4/).

L.Dickson /î>/ a étudié le . roupe des trensforiatiens linéaires conservant

une forme d'Heraite d finie sur un obamp de Calois. Ces reeberobes ont

été poursuivies réoemnent,d'une (sanière plus géométrique, per J»Dieudonné

/

6

,

7

,

6

/.

L'idée de généraliser Isa géométries osyleyennos en prenant pour

absolu une oonique d'Hermite au lieu d'u e oonique eet due à - «Study /26,

<u7/> Celui-ci construit, entre autres, la métrique 4e cette géométrie,

métrique qui fut donné e indépendam ;ent per G.Fubini /9/* Suive nt que

l'absolu est une conique d'Hermlte pourvus ou non de points, la géomé­

trie ainsi obtenue s'appelle géométrie hermitienne b;^perbolique ou ellip­

tique *

La géométrie bertaitienne elliptique surtout e été étudiée par le

euite t citons les treveiac de Coolidge (1919) /4/» M.ksiff (I9<:3) /2?/,

(-) Dans ce mémoire, nous appellerons ces êtres coniques et quadrirues

d'Hermite.

(«) Voir, notaient, les traités de Weyl /3^/ ®t de fâigner /35/ pour la Mécanique quantique et les mémoires de Sebouten,

van

Dantzig

/ 3/

W.fllasohk» (1939) /I/.

L'in^ortt net» lorm»s d'Lar nlt «et oiee en liaaiàr« par les trar-

vaux d« I.Cartan de 1914 /2/ sur la déter;ainatlon des groupes slüiples

rtale et dans de noabreux travaux ultérieurs. En }:artiouliert Caurtan

étudidd'eepeoe des antlpolaritée «lliptiduea et les ee^aoes hermitlaaSf

hyperboliques et elllptiques, en relation avec les espaoes de Bieatann

syaétriques /3/«

Pour situer notes travail, il convient de parler des travaux de

J*TitS| utilis.'nt les résultats de E.Certan sur les groupes sioiles,

Tits a déter :in4 tous les espaces honogènee et isotropes et tous les

eejaices doublement bomogànes* Il s été ainei amené à étddier, pour la

première fois, les quadriques bermitiennes ovales oonsidérées intrinaé-

quenent | de plus, sea x^sultats font intervenir, & diverses reprises,

les espaoes hermitiens hyperboliques et elliptiques /28, 30, 31/* Ses

reoberohes sur les groupes de Lie exceptionnels l'ont conduit à étudier

^ee coniquoB d'Her tite défini<.e6 stir les octaves de Cayley./29/

Z. BOTS PB TRAVAIL.

Le but de notre travail est l'étude des coniques d'Bernite considé­

rées plus pertioulière'jient eous les trois aspects suivants t

- étude des coniques d'Hermite plonté^s dans le plan projectif com­

plexe éventuellement concrétisé

- étude intxlnsèque de la conique d'Bermite proprement dite et à

pointa

- étude du plan pro^eetif complexe concrétisé par une conique d'

Hermite proprement dite et à points.

3. RKCOÆ BQ TR/VâIL.

Ce trevr il est divisé en quatre ohapitr >s«

àe oette définition nous permet d* introduite les notions de formes rédui» tes, de coniques d'Her.aite dégénérées, de coniques d’Eemite tsngentlelles. IV us donnons ensuite une définition géométrique de l*antipolerlté associée & une conique d'Hesnaitei l'antipolarité permet de définir le conique d' Hermite à le menière de von Staudt. Eniin, nous formulons deux déiinitions partloulières aux ooniquee d'iermito proprement ditiS et dotéea de pointe*

L'espace des coniques d'Hernite est un espace projectif réel & huit diioensions oonor^tieé per oertaines variétés que nous décrivons. Woua généralisons la notion d'apolarité et nous olas^^one pro^eotivement les faiaoeaux de coniques d'Hermite. Kous étudions les relations existantt entre l'espace des coniques d'hermlte ponctuelles et l'epaoe des coni­ ques d'Bermite tangentielles.

Bfous détermlaon , en terninant le chapitre, las coniques d'Her dte unies dfns les différentes projectivités et antlprojectivltés du pltn et, inversément, nous étudions toutes les pnojeotivités et antiprojec- tivltés conservant uns conique d'Hermite proprement dite donnée.

Le second chapitre est consacré à l'étude dos coniques d'Hsrnlte dans des plans dérivés du plan projectif complexe.

Le plan jrojeotif ri el«*oomplexe est celui où l'on distingue, parmi les points coraplexea, les points à coordonnées réelles* L'étude de la conique lieu des pointe réels d'une conique d'Eermité nous permet de oleseer celle-oi. Nous étudions ensuite les coniques d'Esrmite du plan effin ooaplexe et nous terminent le chapitre par une énumération des différentes e&pûoes de coniques d'haraite du pltor affin réel-complexe.

Le troisième chapitre est une étude intrinsèque de la conique d' fier ilte projective, proprement dits et à points, et de diverses ooncré- tisations affines.

résultets de J.Tite ©ur l'ho.aogénéité et 1*isotropie de cet eepaoe einsi que sur le© exee et les orbites d& son fX’oupe de trrnsf orme tiens.

De plue, nous olss&ona ces tr&nsxormetions« tant finies qu*infinitési» nalesÿ et nous décrivons les plus importantes d’tntre elles.

TîouB étudions aussi les différentes coniques d’Hermlt© sffines du point de vu» intrinsèque et noue »kf lysons leuie rapports avec les espaces Gonioriae, sphérique et aj>iin trldimeneionnels convenablement ooncrétisés.

L'omet du quatriè-æ chapitre est l’étude du plrn hermitien h^per- bolique» o’est»^dire du plan pxo^eotif complexe concrétisé par une co­ nique d'Ilermite proprement dite et à points.

Sous démontrons des résiiltets de J.Tita sur 1 *ho logénêité et 1* isotropie de ce plan ainsi que sur les sses et les orbites de son roupe de trandfornationa.

De plus, nous oelouions la distance ds deux pointe et l’angle de deux dx'Oites Nous classons les mouvements et les antlmouvemente heh- mitien et les principaux êtres de le géométrie hermitienne hyperbo­ lique J chaînes linéaires et ilaneii-ea, coniques d’herrdte.

Je suis heureux de pouvoir exprlawr ici toute naa gratitude à '•onsieur le Professeur P.Libois qui a dirigé mon travailj ses nom­ bre) ses questions et ses précieux conseils m’ont permis de le mener & bien.

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KUraaete vvag» im koaplexan Gabiet.

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CHAPITBX Z.

LES CONIQUES B*B£B»ITS DANS LE PLAN PSOJECT3 CO!IPLEXE.

Dana oa pramiar chapitra, noua étudions laa oonlquaa d*Harmite dans la plan projaotif oomplaza. Nous oommangons la chapitra an donnant direraea définitions dos oonlquaa d*fiarmita. La pramiAraf qui ast la définition elgéhrlqua,pr^aanta l'avantage d'étra rapiday élémentaire et teohniquemant très oommodai alla nous permet d'introduire les notions de polairey de tangentey de forme réduitey de conique d*Hennite dégéné­ rée y de oonlqua d'Harmite tangentiaila» Ella a 1 ' inoonvénient de ne pas être oauaala i alors que la oonique d'Harmite ast un être du plan pro- Jaotif oomplexa, qu'alla réalste à la oomplexa la plue généralay oetta définition implique l'utilisation des nombres réels et des nombres oomplezes imaginaires conjugués et relève donc du domaine réel-oompleze* La deuxième y purement gé^étriquey entre dans le oadra de la géométrie projaotiva oomplexa. Basée sur le notion d'antipolaritéy alla est analogue à la définition donnée par von Staudt pour les ooni- quas. Contrairement aux deux précédantes y las deux définitions que noue donnons ensuite conviennent uniquement aux coniques d'Harmite propra- mant dites et dotées de points.

Nous étudions ensuite 1'espace projeotlf à 8 dimensions des oonl- ques d'Herpita et ses variétés linéairesy las siyatèmee linéaires de coniques d'Harmite. L'étude de tous oaux-oi se ramèneygrftca à la notion d'apolaritéy à celle des oystèstea dépendant de 0, ly 2 ou 3 paramètres linéaires.

§1. laBrrnTioNS ses coBiQpgs

A. DEFnrmoN

algebpiqiie

»

Considérons la forma d’Berml'Ie H

aXX + bïî + 02*5 + dïî ♦ 3Tz ♦ oZX 4 ô2x ♦ fxT ♦ H

t

ax^es trois variables homogànas X» T» Z) e'ast itna forma bllinéaira an

X, Yf Z at leurs imagineiras oonjuguéas ly ï| ^ dont les ooaffioiants

a y b y Oy dss termes carrés sont réels at ceux des termes rectangles

dy ?!y Sy ây fy Tysout imaginaires conjuguée deux à daxix. Rappelons

qu'une forme d'Hermita possède le propriété que, quelques soient les

valetirs numériques complexes prises par les variables Xy Yy Zy sa

valexir numérique est tou;}ours réelle.

Nous définissons une conique d'Bermite comme l'équation

aXÎ ♦ bï1? ♦ ezl + dï^ ♦

♦ ezS + ê2x + fX? ♦ H

y

- 0

que nous écrirons en abrégé

H at 0.

Cette équation multipliée par un faoteur complexe constitue toujours

la lime conique d'Eexmite bien que son premier membre ne soit plus y

en généraly une forme d'Herralte) maiSy dans la suitey nous supposerons

qus Is premisr membre est une forme d'Hermita i en effet y si ce n'est

pas le oasy il suffit de multiplier l'équation par un faoteur oomplexe

convenable.

Nous auriona pu définir une oonique d'Hermite oo;mae le lieu des

pointe dont les coordonnées vérifient l'équation E • 0) mais oette

définition ne noue aurait paa permis de distinguer deux coniques d'Her­

mite dépoturvues de points telles que

Xl ♦

+ Zl . 0

JÜt 4^

•«>

. 0.

Domaine d'exietenoe de la conique d'Hexmiteî critique de la définition

algébrique.

coiaplexa) en effet » l'équation B - 0

ee traneforme en une autre du même t7P« quand on effectue une projeo- tlTité ootaplexe où lea coordonnées et les coefficients sont des nom~ bres complexée* Ory dans l'équation de la conique d'Hexaite apparais» sent des noobree réels ( a* by o) et des couples de nombres oonqçlexes conjugués (dy Cy ê| fy ?} Xy Ty Zy 'l)* Ccttc définitiàn relève donc du domaine réel-ooflQ>lezey ensmtble des nombres oomplexee parmi lesquels on distingue oomme sous»ensemble oelul des nombres réels* La définition analytique de la conique d'Berraite convient pour l'étude de oelle-oi dans le plan réel-oomplexc* Nous entendons par plan réel complexe y le pli?n complexe dans lequel noua distlngons les points réels des autres points complexes ety par conséquenty les couples de points imaginaires conjugués* Les transformations opérant dans un tel plan sont les projeetivltés où les eoeffioients sont réels mais opérant eux des points à coordonnées oomplexsa* J)ans la suitey(Cb. IIy§l ) nous étudierons les propriétés des eoniques d'Iermits dans le plan réel-oomplexe*

L'étxide de la oonique d'Eeraite dans le plan projeotif complexe peut de faire eur la base de le définition analytique à condition de

I

faire abetraotion de toutes lee propriétés réellestoomplexes) o'est ce que noue ferons dans la suite chaque foie que noue utiliserons l'équation d'une conique d'fiexmite*

Le problème ee pose de donner une définition pure de la oonique d'Hermite plongée dans le plan projeotif complexe (Cb*Iy

d'Hermite et

Etant donnée une oonique d'Hermite et un point (X^yY^y Z^) formons l'expression

aX,X.*

e3,X.+ fX.Î.4 1

obtenue en remplaçant dans l'équation de la oonique d'Hermite Xy Yy Z par X«, Y,y reapeotivement*

Si o«tt« •xpresBion n*o8t pa« nulle» l^point n*appartient pas

à la conique d*Hermite«

Noua pouYona établir de cette manière que les coniquee d*Hermite

paasanb par le eommet X (lf0»0) du triangle fondamental eont dépourvuee

de terme en xX» et réciproquement* De même» celles qui passent par le

sooEnet T sont dépourvues de terme en fff et celles passant par Z sont

dépourvues de terme en zS. Par exemple» les coniques d* Bermite olroons»

crites au tràangle fondamental sont

dŸ2 ♦ lîZ ♦ e23t ♦ êîX 4- fx1 + H

y

» 0.

£oni£ue^

Nous allons étudier le oo iportetaent mutuel d'uiie conique d* Bermite

et d*une droite au mOyen de deux teoimiquea ( le droite étant donnée

statiquement ou pcrqmétriquement.

Si la droite est donnée statiquement» oboieiseons les coordonnées

projectives de telle matière qu'elle ait pour équation Z m 0»

L ' intersection ds la droite avec la ooni ued* Bermite conduit au système

Z » 0

H « 0

ou au ayetète équivalent

Z « 0

alî + bî? -f fxT 4 ÏS

y

* 0

U

l

dernière équation eet celle d*une oheine sur la droits Z • 0.

Si a» b et f sont nuis» 1'Intersection est indéterminée et la droite

fait partie de la conique d'Hexmdte*

Notis obtenons donc le résultat suivant t une droite ne faisant pas

partie de la ooniqias d'Bermite ooupe oelle-'Oi suivant une chaîne* Cette

chaîne posecde des pointe ai f? - ab> 0» n'sn possède aucim si

ff » ab<0» et est réduite à un point si» f? • ab ■ 0*

Si la droite eet donnée paramétrlquement» soient (X^» T^» Z^} et

(X^* ^2* ^2^ deux pointa qui la définissent* Bemplaqons dans l'équation

de la conique d'Hermlte X» Y» Z respectivement per

T .

Vî

nous obtsnons l*4quntlon suivants t

( «

j

V «iV

sZ^X^4-

fXjTj4

( aXjX.+

’^zh*' *^^2* ^2h* ^2^

( sXj^'^ hYg^j^-f

dY.^^^4-

sZ^Sj^4- s^Xg^

^2

(

.Z,V «

j

V ^'^

z

V

’*2^2»'2'^2- °

Ls premier membre est une forme d*Bermlte en kg pulaq\M les ooef-

ficlents des termes carrés sont réels et ceux des termes rectangles

imaginaires conjugués*

Nous avons ainsi déjiontré de deux manières que 1* intersection d*

une droite et d'une conique d'Hermite est une chaîne*

Notis savons que le droite projective complexe est un plan conforme

réel} rappelons à quoi correspond dans ce plan une chaîne de la droite

projeotlve complexe.

Une chaîne a pour équation une forme d'Hermite en deux variables

homogènes égalée à 0

alî ♦ bS? ♦ fx7“^ ÎX

y

- 0

ouy en coordonnées non hocragènes

an ♦Sx4-^4b>i0

En posant

X . Uj t. fj* If J

nous obtenons

a( xj+ Xg) ♦ 2f^»j^- 2fgX2+ b • 0

qui est l'équation d'une oireonfôrsnoe. Celle<Kii possède des poiatSi

n'en possède aucun ou est réduite è un seul point suivant que l'expres­

sion

4* ti~ xi

est positiveÿ négative ou nulle* Pana le suitey nous exoluerons oe

dernier oas.

la droit# proj#otlv« oosqplexe par l'antlimrolution ajr&nt la ohaina

pour pointa unis*

Noua appellorona pointa aymétriquoa par Tappojrt à un# ohelne

les points bonologuos dans l*antllnvolution qu'oll# déterains.

Nous dirons que deux points n'appartsnant pas à un# ooniqu#

d'E#nnlte aont oonjugués par rapport k o#ll#-ol quand la droite qui

e oette ooniqu# d*fi#XBilt# suivant une ohain# non réduite

où

2^ d*\m# part et ^

2

* ^2

part sont les

ooo

3

e

<-données des deux points

^2*

premier membxo est le

ooeffiolent de ^^2

l'équation de la chaîne y seot ion de la conique

d'Hermlte par la droite P]^P2* I>*annulation de oe ooeffiolent indique

que les points de paraiaètres (lfO)»et P^» de paramètres (Ofl)y

sont symétriques par rapport à la ohatne*

Plus gonéralment, nous appellerons pointe conjugués par rapport

à une oonlqus d'Hermlte deux points quelconques vérifiant l'équation

précédents*

Houe pouvons établir de eetts manière que les ooniques d'Hermlte

admettant les somnsts A et T du triangle fondamental pour points

Pola^^ d'unjpoint«par rapport à une oontqus d'Hermtts*

It; nt donnés une oonlque d'Hermlte et un point P^, le lieu des

points P tels que P et P, soient conjugués par rapport à oette conique

(i'Eezmite a pour équation

et est dono une droite. Par définition» nous appellerone oette droite

claire du point par rapport à le oonlque d'Hermlte*

a3^ + btî ♦ fx7 ^ Hï « 0

tn pointlpour laquelle les deux points sont symitriquss*

Ils vérifient dono l'équation

aXjÎ2+

dïjZgi- ^2^* •^^2'*' ^

2

^*

^2^l" ®

L

as

coAfriolsnts U, Y» W d« l'éqvatlon de la polalro '

UX -t- TT 4 WZ - 0

d'un point (Xf T* Z) sont

ü «

4 fT 4 ê2

V - ÏX 4 bf 4 d'2

W » eX 4 ÏÏT 4 oZ «

Ktant donnée une droite

UX 4 VT 4 WZ - 0

oe système d'équations permet de lui sssoeier un point {X, Y, Z)

unique et bien déterminé dès que le déterminant de oe système est

différent de séro» Nous appellerons oe point p81e de la droite par

rapport à la oonique d'Hermits*

Tani?£njtejen wsjROint^^d^tme^oon^^

.

Soit P^(Xj^, Tj^, Z^) un point d'une oonique d'Hermitaj proposons

nous de oheroher le lieu des points 1*2^^2' ^2* ^2^ tels q\ie la seotion

de la oonique d'Hermite par la droite de point courant

P . kjP^4 kgPg

se réduise eu point P^.

Cette eeotion a pour équation une forme d'Hermite en k^^, k^,

k^^^4 fi(P^,fj,) kjî^4

kg7^4

h

CP

j

X)

où le ooeffioient de

nul puisque le point P^^ appartient à la

oonique d'Rermitef elle se réduira su seul point P^ si les oosfficients

dss termes teotangles sont nuis. Fous obtenons ainsi la condition

(aîj^+ f?j^4 Ô2

j

)X24 (Î

aj

4 bTj^4 d5.^)T24 (e!îj^4 îfj^4 o^)Z2- 0.

Le lieu des points P^ set dono la droite

(a3tj^4 fîj^4 ê?^)X 4 (H

j

^4 bfj^4 dlj^)T 4 (elj^4 1^j^4 o^^)Z « 0

que nous appellerons tangente à la oonique d'Hennit^' au point P^.

Nous constatons que la tangents en un point d'une oonique d'Hermite est

la polaire de oe point par rapport à la oonique d'Hermite»

-

0

Tangon^e£ iB^nee^dHin po^nt.

tangente à oette oonlqud d'Hexaite»

La ohaînafSeotion de le oonique d'Heraite la droite, est

réduite à on point) dono

H(PjJj) H(P2»^g) - B<P

i

,Î^2) H(P2,\) - 0 ,

Le lieu do point P^a pour équation

H(P tf ) • B(P^,f ) H(P ,\) « 0 J

e*eat l*équatlon de toutes lea tangentes à la conique d'Hemite

issues du point

Les coordonnées du point de contact satisfaisant de plue à

B(P , ■? ) « 0

▼s rifient aussi

H(î" » î'j) - Oî

il s'ensuit nue ce point de contact est situé sur la polaire de P^.

Le lieu des pointe de contact des tangentes menées d'un peint à une

conique d'Hermite est la section de la oonique d'Hermite par la polaire

do oe point et est donc une chaîne linéaire (pourvue ou noç de points).

Par un i>oint non situé sur une conique d'Hermlto, il passe uns chaîne

de droites tangentes à la oonique d'Hermite.

Boue avons vu que la polaire d* un point de le oonique d' Hermite

était la tangente à la oonique d'idermite et, par conséquent, passait

par

CO

point. Inversénent, tout point appartenant à sa polaire est un

point de la oonique d'Heralte. En effet, en exprimant que le point

(l, Y, Z) et sa polaire (U, V, w) sont incidents, on a

(al ♦ f? + êî )3t ♦ (H + h^ + dS )T + (o^ + IT ♦ c1g)Z « 0

qui est précisément l'équation de la oonique d'Hermite.

Thjfe^è me •

Si la peleire p d'un po:nt P par rapport à une oonique d' Hermite

pasee par un point Q, la polaire q de oe point passe par P*

Quand un polnl; déorit une droite) ea|polaire passe const2;jB!Tient par le

pdle de oette droite.

La polaire d'un point et) en particulier) la tangente eet^elle

tou;}ours déterminée?

Une ind terminât ion se présente quand les ooeffioients U) V) W

de la p-oleire d'un point

Xf 1, Z

aont simultané nent nuis* donc si

aX ♦ fî ♦ êz - 0

Tx + ♦ dS «

0

^ -f 3? + oî »

0

En généré 1) oe siystème de 3 équations linéaires et homogènes en X) T) Z

n'admet pas de solution autre que (O) 0) O). Four une conique d'Eermite

dont le déterminant n'est pas nul) tout point a une polaire déterminée

et) en particulierf^ut point admet une tangente et une seule.

Noue appellerons opnlquesd'Hermlte proprsmsnt ditec^slles poxnr

lesquelles oe déterminant est non nul.

â

SI le détuxmiimt est nul) le ssrstème admet au |K>ins une eolutlon

distixujte de (O) 0) O) et il

f

a au fioina un point de polrire indéter»

minés. Choisissons le système de référsnoe do manière que oe point

Boit (O) 0) 1}) l'équation de la oonique d'Hermite so réduit à

axT. ♦ bï? + txl + îXy - 0 .

L* intersection de oatto oonique d' Hermite ayeo la droite de X » kY

est donnée par

(ai^c -^?k4'i^4-b)X^<aO

X - kY

Toutes les droites n'annulant pas l'expression ak^ * Ik +flc f b

coupent la oonique d'Hermite au eeul poànt (O* 0, l)} l'intersection

aveo lee droites annulant oette expression est indéterminée} celles

ci appartiennent donc toutes à 1

p

oonique d'hemitd. Celle-oi est

donc constituée d'une chaîne de droites appartenant au Yaisceau de

sommet (0) 0) l). Une telle oonique d'Hermite sera dite simplement

dégénérée.

ooiuM points fondameataux) 1* équation dsvlaat

Zl m 0

La ooalque d'Hermlte est oompoeée d'une seule droite Z » 0 dont tous

lee points ont une polaire ind^terminée• Une telle oonique d'Eermite

sera dite doublement dégénérée.

Jÿ’S. £®2L^iiî*£, d'Heraite prori-ement ^te.

C'est y par définit ion » un triangle d^t chaque sommet admet pour

polaire per rapport & le ooniqfte d'fiermite le côté qui lui est opposé.

Pour construire un tel triangle» nous ohoisiseons un point quel­

conque A» non situé sur la oonique d'Hermite) soit e sa droits polaire.

Sur a» nous choisissons un point fi n'apparten nt pas à la oonique

d'Hermito; sa polaire b passe par A. Les droites a et b ae coupent en

un pol^t C dont la polaire est AB. Le triangle ainsi construit est un

triangle autopoleire.

Prenons ABC pour triangle fondainental des coordonnées projeotires

et oxaniUona la forme prise per l'équation de la conique d'Eermite.

La polaire de X

al 4- eZ - 0

sers confondue avec X •• 0 si

f n e • 0}

La polaire de Y est» dans ce. oonditions»

bT ^ dZ - 0

et sesra Y • 0 si

d K 0*

Nous reroarquons que la polaire da Z est alors automatiquement Z » 0.

Equa^ioM

En prenant

un

triangle autopoleire comme triangle de référence»

l'équation de la oonique d'Hermite devient

aXS ♦ bï? + oZ^ •

0

*

Si la conique d'Hermite est proprument dite» a^byO sont non nuis.

Si

a»b»o ont

le

même signe»

on

peut en ohoisiesant convenablement

le

P>cint unité ra^iener

oette

équation

à

une telle conique d'Hexndte eet dépourvue de point. Puiequ*aucune

constante ne aubelste dans la dernière équation» toutes les coniques

d*H©TîBite dépotïrvusB de point oont proJeotlTement équivalentes à l*iœe

d'entre elles et leur équation peut s'écrire

♦ f? +

2

S -

0

grâce è choix convenable du triangle fondanmital et du point unité.

Si a» bfO n'ont pas le même signe» nous all<ms sxippoaer a et b positifs

et

O

négatif. Le choix du point

unité

peamet de ramener oette équation

à

Jtl + ff - ZÊ • 0.

Toutes les coniques d'Hemiite proprement dites et pourvues de points

sont projeotivement équivalentes entre ellee^t leia* équation peut

toujours 80 ramener à

XT + f? « Zl «

0

.

Les coniques d'Bermlte ayant des points et propr^rnent dites partagent

les points du plan qui ne lui appartiennent pe« en deux catégories t

les points intérieurs et les points ©xtérisurs, La chaîne des tangen­

tes menées à la conique d'iîerraite par un point intérieur est vide, par

un point extérieur cette chaîne se compose d'une infinité de droites.

Pour 008 coniques d'Herndte, nous pouvons obtenir une autre forme

réduite en prenant jour t^i^ngle fondamental deux tangentes et la

oorde des contacts. L'équation prend alors la forme

.■ol + dll -

m

0

.

En ohoisissant le point unité, oolle-oi peut 8tr© ramené© à

2X1 - lis - 7z « 0.

si'aplement dé«:;énérée6.

La polarité par rapport & une oonlque d'Bermite simplement

dégénérée présenta certaines partioulsrités.A tout point P distinct

du point singulier correspond une droit© déterminée t la droite symé­

trique de SP per rapport à le chaîne de droites de sommet S. Le polai­

re du point singulier S est indétomlnée. A une droite passant p^r S

correspond un point situé sur le droite symétrique mais indéterminé

BUT

oolle-cl.

A

luje droite ne peasant pas par S, il correspond le

Y O 0 la polaire au point I) oea droites se coupent au point singulier}

l'équation de-rient dans oes conditions

s£X ♦ Ml «

0

.

Si a et b ont Is mdmo aigns, l'équation peut se ramener à

£a ♦ îl •

0

par le choix du point unité. Ces coniques d'Heroito sont réduites à un

seul point» leur point singulier.

Si a et b sont de signes ocntralres» l'équation p»ut se raiaener à

£l • y

1

•

0

par le choix du point unité. Elles sont constituées par une chaîne

( non vide ) de droites.

Toutes les coniques d'Hermits dégénérées réduites h un seul point sont

pro;)ectivement équivalentes} il en est de tnSme potor oellee constituées

par une chaîne non vide de droites*

Eqjja^i£n£ ré_ÿij^t£ des oqnl^wsjdJ^HemiJ^^

dégénérées.

?îous avons dé^â vu que l'on pouvait rcraener l'équation d'une telle

conique d'Eeriaite à

Z

2

e

0

}

elles sont donc toutes projectiveinent équivalentes. Bemarquons que la

polaire de tout point de le droite singulière est indéterminé et que L

polaire de tout autre point est la droite singulière ell»>méms. Le

pèle de le droite singulière est Indéterminé drns le plan et celui

d'uhe autre droite est indéterminé sur la droite singulière.

d'une coalouo

Bous la définirons oonuae le condition que doivent remplir les

ooeffiolents de la droite

ü£ -f VY » WZ « 0

pour que oello-ol soit tangente è la conique d'Hermite,

ü -

eî + fT + 52

V «

Î

a

+ b? + d2

W e2 ^ 4- o2*

Pouor que le point appartieiübe à la conique d'HermitCf donc à sa polalrS|

nous aurons

ÿ

an nèmB temps qus los 3 éqtiatlons pri oédsntes

TSt + 4- ^2 »» 0.

Ces 4 éqxiatlons en

2 sont oonpatiblss si

U

a

f "T

e

2 b 3 2 c f

Cetts équation peut s'ccrire sous la forma

Aüti 4 3Vl? + CVTf 4 D# 4

4

4 2tu 4 PN 4 1% » 0

dont les coefî'iolents sont les mineure respocrtifs de e»...»? dans la détormin&nt de la oonique^ d'Kermlto.

Coniques tangontielles dégénérées ,

En procédant oomme pour les ooniques d'Hermite ponotuellos» nous

pouvons rsoherober si le pOle d'une droite petit âtre Indéterminé.Cetts

oiroonstenoe se présente si le déterminant est nul. Fn prenant uns

telle droite pour côté Z « 0 du triengle fondamental, l'équation de

cette conique d'Eermlte tengentieile se ramène à

4îÜj 4

4 FLf 4 fSv » 0 .

Jn point ü 4 kV • 0 appartient à l'enveloppe si

Akîc 4Ïk4Îlf4B»0.

Une conique d’Hermite tangentiell© simploment dégénérée ect constituée

par les droites qui s'appuient sur tme chaîne linéaire.

Une ooniquo d'Hormite tangentielle peut dégénérer dsux fois t elle

est oonstituée alors par l'ensemble dos droites qui pasrunt par un point.

B. DEFINITION PAK ANTIPOLAEITE

Etant dontàô un plan pro^eotlfy on appolle réoiprooité (eu eens

lexgo) toute oorreepondUnoe telle que

à chaque point, 11 oorrespoud une droits

à chaque droite» 11 oorreapond un point

à tout point appartenant à une droite, il corresjond une droite

paai'-ant par le point hotaologue.

Sou» pouvons énonoer oette définition un peu différe^oient t

à chaque point du plan correepond une droite

quand un point décrit une droite^ la droite homologue passe

coneta.'7Æ\ent poi' tm point| qui sera par définition l'homologue de la

droite.

Noua déduisonc immédiatement de oette définition f à 4 points

formant quatame harmonique correspondent 4 droites formant quaterne

hartnoniquo. r;n effet, eu quadrangle oonstruoteur d'un groupe harmonique

de pointe correspond dans la réoiprooité un quadrilitire constructeur

d'^m quaterne harmonique de droites. Il s'ensuit que la correspondance

entre une ponctuelle et 1© faisceau hoasologue est rme projectivité ou

un© entiprojeotivité. Dans une réciprocité donnée, oette correspon­

dance est un© projectivité ou une antiprojoctivité pour toutes les

ponctuelles et tous les falsceaus bomologuss. Suivant le o©8, la

réciprocité au sens large s'appelle réoiprooité ou antiréoiprooité.

Une réoiproclté au sens large est déterminé© par la oonnaisuance

des projectivités ou des antiprojoctivités entre deux ponctuelles et

lea deux faisceaux homologues.

Soient A et B les sonnets dos detix faiscoeicc, a* «t h* les droites

portant les ponotuellee homolo^^îioej noua définieaone une réciprocité

de la manière suivante t

à la droite AB faieoan correspondre le point ah,

&

un point quelconque P, Interaeotion dee droites PA et PB, oorree-

v«aient eux j>onoiu<*ll«â &' et 1}',

à une droite queloonque p» interaeotion dea droitse homologues

de deux faisceaux perayaotlfe de centres A et By il oorreepond le

point de oonoours dee droites Joignant les points homologuée des deux

ponotuellee perapeotives a' et b*y

point de la droite ABy il oorx*espond une droite paaeant par

le point ab et par le point homologue^'uhe quelconque droite passant

par le point conildéré.

La réolprooité est ainsi pariuitement dAterminée puisque nous

pouvons oonatruire l'homologue ce tout point et do toute droite.

Il existe une réciprocité et une fintir4ciprooité faisa nt oorroe»

pondre à é points Ay B, G, D tels que 3 quelconques d’entre eux ne

soient pas alignésy 4 droite» ; ',b*,c',d', telles que 3 quelconques

d'entre elles ne soient pas concourantes

En effet y eoneidt^rons le feieoeau de aupjort A et la ponctuelle

de support a* j il existe uhe pro jüotivitê et une antipi-ojectivitê entre

oette ponctuelle et oe faisceau falaant se con-espondre les points a'b'

c

e’o'yB'd' de la ponctuelle et les ùioites ABy AC y AB du faiseau.

même, il existe ime projectivité ot une entiprojeotivlté entre le faiSi*

oeau de support

B

et la ponotuolle de suprort

b'

faisant ao oorrospon»

dre le» miroites BAy BCy BB et les points b's*, b'o'y b'd'. La réoipr^

cité est déterminée par la oonnaisuenoe des projeotivitée entre les

faisceaux A «t B et les ponctuelles homologueB a' et b'î 1'antlréciprc-

cité est déterminée par le eonnaiseanca do* antiprojcotivités.

^é£l2yro<5 j^t__BjBU

•

dans laquelle tout point et «r droite homologue sont doublement oorree->

p>ondant8 s'appelle antipolarlté.

lbie réolprooité dans laquelle les eoacaete d*un triangle correspon»

dent Btxx odtée oppoaéa eet uae polarité»

Soiint A| By C les .sommete

du

triangle et

a', b*

y o*

bob

odtés.

La

projeotivité existant entre les droites du faisceau A et les points

de la ponctuelle a définit une projectivité entre les pointe de la

ponctuelle a i eelle qui fait oorreapondre à un point ? de a le point

P*

intersection de

a

avoc la droite

p'y

homologue de

P

dans le faisceau

A. Cette projectivité induite sur e est une Involution car las points

B et C sont doublement correspondants. Le uiémc raisczuiemert s'applique

aux ponctuelloa b et c. liens ces conditionsy tout point et la droite

ho dogue sont doublement correspondants.

Une antirôciprocité dans laquelle les sommets d'un triangle

oorroepondent aux côtés opposés n'est pas néoesialroment une antipole-

rité. Les antiprojactivltés induites sur les oôtee du ti*iangle admet­

tent tin couple de points doublement correspondants mais ne sont pas

néoessalrement des antlinvolutiohs.

Une antiïéoiprooité est une antjpolarité quand les deux conditions

suivantes sont Z‘em|)liae t

il existe uu triangle dont les eoraraets correspondent aux côtés

opposés

l'hO iOlogue d du point D est une droite adjoint© à le chaîne plf.--

naire déterminée per les points A B C D.

1) et O. X)»n

8

eee oondit ions » tout point et b

&

droite homologue sont doublement coarrespondente et lâ Rntiréoiprooit4 est une antipolarité.

Une antipolarité induit un antiinvolution sur toute droite qui ne contient pan son pôle» Cette antiinvolution est définie en faisant oorroepondre à tout point do oette droite le point d’intereection de BR polaire avec oetté droite. Si cette antiinvolution eet de première espèce f elle admet des pointe unis qui sont dono des points incidonta avec leur polaire. Si oette antiinvolution eot de seconde eepèee elle n*ndnot pas do pointa unis et aucun point de la droite n*e»t inoidont avoo BR polair-i. Quand une droite contient son pôlo, 1*antiinvolution qui y ost Induite est dégénérée i tous les points ont pour homologue

1

© pôle ©t inversêtaent l’homologue de celui-ci est n'importo quel point.

Pour construira un tal trian."l

0

| nous ohoiciacons m point A n’ap­ partenant pae A sa polaire a$ sia? e nous ohoislasons un point B n'appai»» tenant pee à sa polaire bj oolle-oi paes© p^r A. La polaire o du point C Intersootion des droites a et b est la di*oit©AB. Le triangle ABC est toi que chaque sora iSt ©et pftl© du oété ojpoaé nous appellerons un tel triangle un triangle autopolalre.

£l£

8

jB i f i

£8

t^i^n^des^jBho

1

•

entilnvolutionB^nduite& evir las trois cAtéa d'un trlan^ls sutopoleire

ns sont pas Indépondantss.

Si la droite d pénètre dans oette région) les couples de points

oonsldérés plus haut ns se sépareront pas sur deux des côtés du triangle

mais SC sépareront sur le troisième* Beux dos entlinrolutlons sont de

pretalère espèce et une de seconde espèce. L'antipolarité possédera donc

des points appartenant à leur polaire. *îous dirons que cette antipol®-

rité ont non uniforme.

Si la droite d ne pénétre pas dans oette région les couples ds

joints considérés plus haut se sépareront sur les trois côté» du triangle.

L'antipolfirité ne poasédern aucun point appartenent à sa polaire; nous

dirons qu'un© telle antipolarité est unifor.'ae.

Bans une antlp^larité non uniforme y il axiate 3 espèces de droites.

- les droites passant par leur pôlej

- les droites sia? lesquelles 1 *antiinvolution induite est de première

espooc et qui contiennent dooo une chaîne de points situés sur leur

polaire,

- loa droites sur locquolles 1'antiinvolution induite est de seconde

espèce et qui ne contiennent auoun point situé sur sa polaire.

Bans une antipolarlté uniforme) il existe uns seule espèce de

droites s sur toutes les ."iroitos du plan) l'antiinvolution induite est

ds seconda espèce.

singulières,

Noua appellerons antipolarlt simplement sineulière une correspon-

danoe entre les points et les droites définie de la manl re suivante i

dans lin faiaceav da droites de sooriet Sy définlseona une antiinvolutlont la polaire d'ui- point P qu Iconque est la droite homologue de la droite S P dans l’antiinvolution

f

la polairu

du

point

S est

Inddtor linée

,

le p5le d'une droite ne passant paa par S eat le point 8f

le pôle d'une droite passant par S est indéterminé sur la droite homolo» eue dans l'entiinvolution.

Une antiiolarité simplement singulière possède ou ne possède pas do point incident aveo aa polaire suivant que l'antiinvolution est de première ou de seconds espèce.

Sous eppollerona antipolarité doublement singulière une oorrespon- danoe entre les points et les droites définie de le manière suivante* donnons-nous une di-oite s ;

le polaire de toiît point extérieur? à s est le droite

Bf

la polaire de tout point de s est indéterminée,

le pôle de s ect indéterminé,

le pôle d'une droite autre que e est indéterminé sur s.

jjéf^lni_tionjdeB_C£njj^ d'EermitiB,

Nojte appellerons conique d'Hennite propre^aent dite le lieu des pointe incidents avec leuii polaire tlans une antipolarité non uniforme.

Noue appellerons ooniquti d'Hermite simplement dégénérée le lieu des points incidents avec leur polaire dans une entlpol^rité simplement singulitère pour laquelle l'antiinvolution dans le faisceau des droites passant par le point singulier 5 eat de prémièr© espèce. Elle est donc constituée par une chaîne non vide de dwitee.

îîous appellerons conique d'Hermite doublement dégénérée le lieu des points incidentB avec leur polaiare dans une antipolarlté double­ ment slnghlière. Elle est donc ccnstltuée par leé points de la droite s*

Per extension, nous dirono que le lieu des points incidents aveo leur polaire dans une antipolarité unifozmie est une conique d'Eermite proprement dite(vide) .

est de seconde espèoe» Elle est constituée d'une chaîne vide de droites

et est réduite au seul point S.

Toutes les parties de la définition géonétrique de l'antipolarité

sont des propriétés de la polarité par rapport à une conique d'Hemlte

définie algébriquemnti d'une manière plus précise, les antipolsrltéa

non singulières correspondent aux ooniques d'Hermlte non dégénérées,

les antipolerltés simplement singulières oorreernndàné ata coniques

d'Hermite aimpleaent dégénérées et lee antipolarités douhleraent dégé­

nérées aux ooniques d'Eei-mits doublement dégénérées.

La définition par antipolarlté entrejne la définition alsé^r^ique.

Rous allons démontrer que l'ensemble des points i^^oldents avec

leur polaire dans une antiréciprooité involutive est une oonique d'

Eerm.te* Exprimons, dans ce but, une entiréoiprooitâ analytiquement.

Soient (X, ï, 2) les coordonnées d'im point et (ü',V',W*) les coor­

données tangentielles de le droite oorrespondents) 1’antiréciprooité

s'écrit

« aX bY + oZ

V « dX + oY + fZ

(1)

i‘ - «X -J- iiT +

Dans la môme amtlrtolprooité, le point (X',Y',Z') a pour homologue

la droite (D, V, W)

Ü « âxu 3y'+ iz‘

? . '5X*+ êT’+ SZ' (

2

)

f • cX'+ ?/’+ IZ’

Etrnt donné un point

(x

,Y, Z},les équations (l) donnent la droite

qui lui correspond

àtni»

1*antiréciprooité et les éqw tiens (2)

ÎX* ♦ + g2* - «X ♦ M + cZ ÎX* ♦ êï» ♦ Sz* « dX ♦ eT ♦ fZ ÔX» 4^ Iv ♦ 3z» « gX + hl + 4Z

Léo pointe unis de oette pro^eotlTltd sont ceux qui oorrespondent doubletaent à leur polaire. Dons le cas d'une antipolarité, oela se produit pour tous les points et la pro^ootivlté précédente est 1* identité) oe qui s'exprime par Isa conditions i

aoj^bdOKfhi^

qui donnent

a»â e«ê o«g falS

Nous constatons alors que l'équation d'une antiréoiprooité iznrolutive prend la lorme de celle de la polarité par rapport à uns conique d'Her» mite. Pour obtenir l'équation du lieu des pointer unlst exprimons que le point (X) Ty Z) et le droite homologue (U'yV'yW) sont Incidents

lî'lt ♦

♦ VI m 0

nous obtenons

aJÛC ♦ elrt?

+

♦ hV5 ♦ iTz ♦ ♦ glx ♦ dXt 4-

I

j

S

i -

0

Tenons compte des conditions précédentes, l'équation devient

axi 4- eîf 4- ;}zZ + hiî +rfz 4- c:3[ 4- ôlx 4 d.\T 4- - 0 oü a, ey i sont réels) c'est donc xme conique d' Heraiite.

C. DI FIgITnHS PAHTICULIItRES AUX CqiTIQÜES D*KEB>^ITE AYATTf DES POHITS

ET PROPBE '£Î?T DITEr>.

Le plan projectif complexe est ttne variété à 4 dineneions réelles

puisque 2 nombreB complexes » donc 4 nombres réelsi sont nécessaires

pour en fixer un point.

Une conique d'fiermite ayant des points et proprement dite est

une variété & 3 dimensions réelles t en effet, les points du plan

appart-iiant à la conique d* Bernite sont soumis à une seule condition

puisque l'équation de la conique d'Hermite coïncide avec son imafrinaire

conjuguée. Nous étudierons plus loin cette variété tridimensionnelle

(Ch. III) et nous montrerons son équivalence topclogique av; o un

espace conforme réel à 3 dimensions ou avec l'hyperspbére de l'espace

euclidien à 4 dimensions.

Nous savons qu'une conique peut être dc^finie oo>mne le lieu des

points d'intersection des droites homologues de deux faisceaux pro­

jectifs (ni perspectifs, ni concentriques) et que la conique ainsi

obtenue est proprement dite. Le problème se pose de donner une défi­

nition analogue pour les coniques d'Uermite. Nous ne pourrons pas

les obtenir comme lieu des points d'intersection des droites homolo­

gues de deux faisceaux en oorreepondance biunlvoqàe t oe procédé

donne un être k deux dimensions réelles alors que la conique d'Hermite

est tridimensionnelle • Noue allons d'ebord oherohor à établir le

genre de oorreapondanoee à utiliser.

Analytiquementy ohoisiaeone les pointe A et B comme sommete X et T

du triangle fondamental et prenons pour odtés du triangle les t; 9.»

gentee en oee pointe et la corde des contaote } moyennant un choix

convenable du point unité^ nous eavona que l'équation de la conique

d'Eermlte peut e*écrire

22$ - X? - ÎT - 0.

La droite

kZ - T

coupe la conique d'Hermlte suivant ime chaîne projetée à partir de Y

par la chaîne de droites

Iz k X$ £ - 2^ - 0

qui comprend la droite Z « 0.

Les faisceaux de droites de sommets A et B peuvent y en tant que formes

complexes de ^rosière espèoCf être regardés comme deux plans conformes

réels{ la correspondance étudiée est étrblie entre les points du pre­

mier plan et les oèroonférences du second passant par un point fixe.

Pour un point bien déterminé du premier plantée circonférence corres­

pondante du second ee réduit à od point fixe. Ces deux plans confonds

sont donc pointés et nous apparalsf:ent comme deux plans euclidiens

oofflpléitéB chacun par un point à l'infini) aux points à distance finie

du premier correspondent les droites du second 1 c'est dono une réci­

procité.

Pour définir une eonique d'Eermlte ayant des points et propz^ment

ditsi nous partons de deux faisceaux de droites de sommets distincts

A et B. Aux droites du premier nous faisons correspondre les chaînes

de droites du seoond» ohalnes contenant toutes la droite B A. Nous

supposons que la droite passant par A à laquelle correspond la chaîne

réduite à la seule droite B A n'est pas A B) oette droite sera la

tangente en A à la conique d'Bermite.

La définition noua allons donner maintenant présente sur la

préaédente l'arantage de définir tous les points delà oonique d*Her»

mite sans usceeption»

Nous savons que 1*équation d'une conique d'Hermite eyant^des

points et proprement dite peut s'écrire

XÏ ♦ - Zl -

0

point quelconque de scSpection par la droite X «> 0 est

0

,

1

.

Un point quelconque de se section par la droite Z « 0 est

.if

0

,

1

Un point courant de la droite joignent ces deTUE points est

ks^**, e^*, k 4. 1

et sur cette droite l'équation de son inter ceo tien avec la conique

d'Hermite est

k 4^ ^ » 0 .

L'aTisence de temne en kic dâ de terme indépendant dans l'équation de

oette chaîne indique qu'elle passe par les points k«0etk«<»t

c'est la chaîne des k Imaglnalree pturs» orthogonale en 0 et en <m

à celle des k réels* Or»sur la droite sécante, le chaîne des ÿ réofek

sst géométriquement bien détejRnlnée puisqu'elle passe par les points

d'appui ue oette droite sur les oStés du triangle fondamental (k a 0,

-1, «

d

). Koue remarquons de plus que le oSté Z peut ôtre déterminé

à partir des côtés X et I et des chaînes sections t il joint les

points X et T STmétrlques de Z par rapport & oes deux ohaînes.

Le 1'analyse précédente découle la oonstruotion suivante i

donnonA>nousydane le plan projectif complexe, deux droites et sur

ohaounes d'elles un» ohaîne ns passant pas par le point Z d*intersection

des deux droites. Soit X le symétrique de Z per rapport à l'une des

ohoînee et Y son symétrique per rapport à l'autre. Une droite mobile

renoontre lea deux ohaînes en deux pointa variables et rencontre aussi

X Y) oes trois points définissent une chaîne

but la

droite mobile.

§2, ESPACE g» C0IIQDS8 D’HEBCTE t 8T8T!EiŒS LnrSAIRE8>

A. DESCRIPTIOÏÏ DE L»ESPACE mS CCafIQÜKS P»HEEalT£.

DlMnB^on dB^lJ^eojrjWja.

Un« conique d'Bermite

•XÂ + brt + oZE + dYl ♦ lîz ♦ 02^ + Î2x ♦ fX? + TX

y

« O

dépend des nombree réels a» b| o et des nombres ooo^ilexes d ■ d^<«- id^»

e e^-f le^f f •

if

2

»

9 nombr^e réels qui api&raissent d^ns

son équation sont mis en éridénoe en écrivant l'équation

aXi + bfî ♦ cZlS + *4^^ **■

- ’fz) +

e^(ïS + ÎX) ♦ iSg(2l - 2X) ♦

♦

Ir)

♦

-

II)

« 0 .

Ces 9 nombres réels étenà donnés à un facteur réel présy l'ensemble

de toutes les ooniquea d* Menai te du plan projectif complexe est rc»->

présenté pax* les points d'un espaoe projectif réel à 8 dimensions»

Nous avons classés les ooniqua» d'Earaite au

nous savons

qu'elles sont de 5 espèces t les coniques d'Herniite proprement dites

aveo pointe ou sans points » les coniques d'Bermite simplement dt'gé»

nérées eonstituées d'une oluaine de droites vide ou non» les coniques

d'Hermite doubl^mt dégénérées» Nous savons aussi qus les oOniques

d'Bermite d'une ioéise oatégorié sont prejeotivement équivalentes.

Les ooniques d'Bsnalts doublemnt dégénérées dépend nt de 4

paramètres réels comme les droites du plan f elles sont représentée^

par les points d'une variété à 4 dimeiusions plongée dans l'sepaoe

projectif à d di ensions.

Les ooniques d'Bermite simplement dégénérées sont o^raotérisées

par

a

f

s

î

b

d

e

3

O

2 2 2 2 2

0 ■ abo ♦ 2

2d20j^f2~ 2d^e^t^ adj^ — adj~ «• ^*2**

dont 1* équation est obténu* «n développant le déteznlnant cl-deeeus.

La variété quadrldlmenalonnelle dee coniques d*Her^nlte doublement dégé­

nérées est contenue dans oette liypersurf< oe f elle partage eette hyper-

Burfaoo en deux régions dont l'une représente les coniques d'Bermlte

dégénérées en une chaîne de droites (non vide) et 1*autre• celles dégé­

nérées en une chaîne de droites (vide).

Les coniques d'Heralte proprement dites sont représentées par les

points de l'espace s'appartenant pas à l'hypeirsurfaoe cubique } celle

cl partagé, l'espace en deux régions dont l'une représente lee ooniquea

d'Hermite proprement dites et ayant des jointe et l'autreyles coniques

d'hetmite proprement dltee et dépoutvues de point.

Puisque les coniques d'Heimlte d'une même catégorie sont projectl—

vement équivalentes y ohsoune dee 5 régions est ho nogène en see points

et il n'y a aucune autre variété privilégiée dans 1'espace.

B. GIFLMLHIS SUS LUS SYST2.M3S LPtEAIE^S.

^i^initlons.

Prenons deux ooniques d'Hermite dletlsotes 0 et 0 . T^ous

appellerons faisceau de oonlquee d'Hermite l'ensemble de oelles dont

l'équation est une combinaison linéaire

k^Bg-

0

des deux ooniquea d'Hermite données aveo deux parF.<mètres réels et

homogènes et k^Les oonlques d'Hermite appartenant au faisceau déter»

miné par deux coniques d'Hermite sont repr<>8entées par les j>olnt8 de la

droite joignant lee points représentatifs des deux oonlques d'Hermite.

Prenone une conique d'Hermite n'appsrtenant pea au faisceau

déterminé par et par Hgj nous appellerons réseau de oonlques d'

Heriflite l'eneemble <ùe oelles dont l'équetioÿ est une combinaison liné­

aire

*‘‘1®!

*^2^2 * *^3^3 " ^

des trois oonlques d'Eermits données à trois paramètres réeii et homo-

gènea

k^y

kg

y

k^.

Les oonlques d'Hermite du réee: u sont représentées

par lee points du plan passant les txois points non alignée représentant

K

t

rv

l«s trois ooniquos d'Rsrmlts donnéoa*

Plus gdnéralsmsnt, prenons (r ♦ l) oonlQUSL d'Hsrmite

telles qtie l'une quelconque d'entre ellee ne soit jamais oombinaison

linéaire des autres} nous appellerons système linéaire de dimension r

l'ensemble des ooniques d'Hezmiite dont l'équation est une ooabinaison

linéaire

■‘A ♦ ‘'2*2 ♦ *'A * ■ 0

à IHuramètrés réels et bo iogènes

k^^^tLes coniques d'Hermlte

du système sont représentées par les points de la variété linéaire à

r dimensions passant par Iss (r + 1) points n'appartenant pas à une

variété linéaire à moins de r dimensions.

Le plus grand sjietème linéaire a le dloenslon 6 et eet constitué

par toutes les ooniques d'Hermlte du plan • Celles —oi apparaissent

ainsi ooiBme oo >blnaison linéaire de 9 ooniques d'Hermlt;: linéairement

indépendantes qui sont par exemple t

lI.O

YÎ-0

2$«0

AÎ

♦

Xl «

0

1

(a

1

- Iï)« 0

YÎ + l2 - 0

iCïi - Jz)m 0

2l

IX • 0

i(^ > lx.)m 0

^on^tijon l.lné^lre.

TTous dirons que la conique d'Hermlte

aAÂ ♦ bïl ♦ cZZ ♦ dY2 + dYZ + e^ + êZA + fxt + H

y

- 0

est soumise à uns condition linéaire quand ses ooeffloientt: a,.*t£

satisfont à uns relation de la forme

Aa •♦■Bb ♦Co + IWi + ï2 + Ee>fîê + Pf + F?»0

od Ay 3y C sont des nombres réels et By Sy F des nombres complexest

D « ^ ^ *“

^^'2

*

Nous pouvons écrire la relation précédente sous le forme

As ♦ Bb •♦•Ce <f 2Djdj— 2D2d2+ ^^1*1*

^^l^l"* ^^2^2 " ^

qui montre que les 9 paramètres réels et homogènes dont dépend la

conique d'Hermlte satisfont à une relation linéaire et homogène.