Lycée Henri IV MP 2020-21 Programme d’interrogations
Semaine 15 : Lundi 01 février - Vendredi 05 février
• Familles sommables (révisions).
• Révisions de MPSI de combinatoire.
• Probabilités
Ce chapitre est délicat pour les étudiants. Il me semble important de penser une probabilité comme une distribution de masse, une espérance comme une intégrale, d’avoir le réflexe du conditionnement quand une chronologie est annoncée, d’utiliser parfois d’habiles indicatrices pour déterminer des mo- ments de variables, de savoir contrôler asymptotiquement des valeurs trouvées pour des moments, etc.
Le cours a été fait sauf ce qui concerne les fonctions génératrices mais nous n’avons fait que peu d’exercices. On posera donc des exercices simples voire même des questions de cours pour commencer.
Quelques questions de cours pour rompre la glace : – Une probabilité a la propriété de continuité monotone.
– La fonction de répartition d’une vard est de limite 1 en+∞ et continue à droite en tout point.
– Si X et Y sont deux variables aléatoires (réelles discrètes) intégrables alors X +Y aussi et on a E(X+Y) = E(X) +E(Y).
– Si X est une variable à valeurs dans N alors X a une espérance si et seulement sila série XP([X > n]) converge, et alors on a E(X) =
+∞
X
n=0
P([X > n]).
– Exemples de calculs d’espérance sans calcul de la loi (en introduisant des variables de Bernoulli ad hoc). Par exemple :
? espérance d’une binomiale ;
? nombre moyen de points fixes d’une permutation ;
? nombre moyen de numéros distincts obtenus lors d’une succession de n tirages d’un numéro deJ1, nK.
– Illustrer sur une gaussienne (ou sur un histogramme d’une distribution de vard) ce que l’on mesure quand on cherche P([3 6X <7]), P([|X|>2]), P([bXcpair]), etc.
– Énoncer le théorème de transfert.
– Énoncer et prouver l’inégalité de Markov.
– Calculer espérance et variance d’une binomiale avec des indicatrices.
– Montrer que l’absence de mémoire caractérise la loi géométrique parmi les vard à valeurs dansN∗. – Citer le lemme des coalitions.
– Énoncer et prouver la loi faible des grands nombres.
Prévisions pour la semaine 16 :
• Probabilités (y compris les fonctions génératrices).
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