Chapitre III
Généralités sur les fonctions
5 décembre 2011
Table des matières
1 Notions de fonctions . . . 2
1.1 Définition . . . 2
1.2 Représentation graphique. . . 3
2 Applications aux équations . . . 4
2.1 Résolution algébrique d’équation . . . 4
2.2 Résolution graphique d’équation . . . 5
3 Variations d’une fonction . . . 7
3.1 Définitions . . . 7
3.2 Tableau de variation . . . 8
3.3 Extremums . . . 8
4 Programmes . . . 9
Le mot fonction est emprunté sous la forme simplifiée funcion (1370) au latin functio "accom- plissement, exécution" , en français courant.
Au 18ème Euler (1707-1783) propose l’idée qu’une suite de courbes, donc d’expressions, représen- tait une fonction.
C’est Leibniz (1646-1716) qui utilise le mot fonction pour la première fois en mathématiques en 1673, mais la première définition fut donnée par J.Bernouilli (1654-1705).
Pour le symbolef(.), il a été introduit par Euler en 1734 dans Commentarii Academiae Scien- tiarum Petropolitanae.
1. N OTIONS DE FONCTIONS
1.1. Définition
Définition 1 : Fonction
Une fonctionf d’un ensembleI dans un ensembleJ est un objet mathématique qui à tout élément deI associe un unique élément deJ, notéf(x).
• L’ensembleIest l’ensemble de définition def.
• Le nombref(x)est l’image dexpar la fonctionf. C’est un élément deJ.
• Le nombrexest un antécédent def(x)parf.
Notation : Pour expliciter l’expression de la fonction ainsi que les ensembles qu’elle lie, on utilise la notation
f : I −→ J x 7−→ f(x) Exemples :
1. Associer à tout élève de la classe sa pointure de chaussures définit une fonction p de l’ensemble des élèves de la classe dans l’intervalle[30; 50].
L’image de. . .. . .parpest la pointure 40. Réciproquement,. . .. . .et. . .. . .sont deux antécédents de 40 parf.
2. Associer à tout nombre réelxson carré définit une fonctiongde l’ensemble des nombres, noté R dans l’ensemble des nombres positifs, noté R+. Le nombre 16 est l’image de−4 parg,4et−4sont deux antécédents de 16 parf.
3. Associer à tout nombre entier n un de ses diviseurs n’est pas une fonction. En effet, un entier peut avoir plusieurs diviseurs et donc plusieurs images par cette opération.
Par contre, associer à tout nombre entier positif le nombre de ses diviseurs positifs définit une fonction bien connue en arithmétique, appelée ϕ. Son ensemble de définition est l’ensembles des entiers positifs, noté N. Par exemple, l’image de6parϕ est4car6a 4 diviseurs qui sont1,2,3,6.
Exercice résolu 1 :
On considère la fonctionf définie par
f : R −→ R+ x 7−→ 2x2+ 4 1. Quel est l’ensemble de définition def?
2. Calculer l’image de6parf.
3. Déterminer un (ou les) antécédent(s) de6parf.
Solution :
1. D’après la notationf :R−→R+, on a doncDf =R, ensemble de tous les nombres.
2. f(6) = 2×62+ 4 = 76.
L’image de6parf est76.
Suite de la solution :
3. On cherchextel quef(x) = 6.
f(x) = 6⇔2x2 + 4 = 6⇔2x2 = 2 ⇔x2 = 1 ⇔x=±1.
Les antécédents de6parf est1et−1.
Function
In mathematics a function is a relation between a given set of elements (the domain ) and another set of elements (the codomain ), which associates each element in the domain with exactly one element in the codomain. The elements so related can be any kind of thing (words, objects, qualities) but are typically mathematical quantities, such as real numbers.
Image and preimage under a function
Iff is a function andxan element of its domain, theny=f(x)is the image ofxunderf.
Conversely, the numberxis know as the preimage ofyunder functionf.
1.2. Représentation graphique
Définition 2 : représentation graphique
Soitf une fonction définie sur un ensembleI et(O;I, J)un repère du plan.
La représentation graphique de la fonction f est l’ensemble des points M du plan de coordonnées(x, y)avecx∈I ety=f(x). Cet ensemble est souvent notéCf.
I J O
b
x;f(x)
x f(x)
antécédents
images
Graph of a function
The graph of a functionf is the collection of all ordered pairs(x, f(x)). In particular, ifxis a real number, graph means the graphical representation of this collection, in the form of a curve on a Cartesian plane. Graphing on a Cartesian plane is sometimes referred to as curve sketching .
Définition 3 : Tableau de valeurs d’une fonction
Pour tracer la représentation graphique d’une fonction, on établit un tableau de valeur de la fonction.
Remarque : L’utilisation de la calculatrice permet de gagner beaucoup de temps. Voir module.
Exercice résolu 2 :
Soit f : [-2 ;3] −→ R x 7−→ x2−x−1
1. Dresser un tableau de valeur de la fonction f de pas 1 sur[−2; 3].
2. Tracer la représentation graphique def. (Unité 1 carreau sur chaque axe) 3. Déterminer graphiquement l’(les) antécédent(s) de3?
4. Le pointAde coordonnées(5,18)appartient-il àCf? Solution :
1. f(−2) = (−2)2−(−2)−1 = 5; f(−1) = (−1)2−(−1)−1 = 1, . . . On obtient le tableau de valeurs :
x -2 -1 0 1 2 3 f(x) 5 1 -1 -1 1 5 3. Graphiquement : On trace la droite
d’équation y = 3. Elle coupe Cf en deux points dont les abscisses sont ≈
−1.5et≈2.5.
Les antécédents de 3 sont ≈ −1.5 et
≈2.5.
4. f(5) = 52−5−1 = 19.
Les coordonnées (5; 18) ne vérifient pas l’équation de la courbe donc le pointAn’appartient pas àCf.
2.
1 2 3 4 5
−1
−2
1 2
−1
−2
Remarque : la recherche d’antécédents par la méthode graphique ne permet pas d’obtenir des valeurs exactes mais seulement des approximations. Dans l’exemple ci-dessus, les valeurs ex- actes des antécédents de3parf sont 1 +√
17
2 et 1−√ 17 2 .
2. A PPLICATIONS AUX ÉQUATIONS
2.1. Résolution algébrique d’équation
Rappel : On sait déjà résoudre trois types d’équations par le calcul :
• Les équations du premier degré. Ce sont toutes les équations du typeax+bet celles qui s’y ramènent après développement, réduction ou transposition.
Exercice résolu 3 :
Résoudre l’équation3x+ 1 = 2x+ 3−5(x+ 4).
Solution :
3x+ 1 = 2x+ 3−5(x+ 4) 3x+ 1 = 2x+ 3−5x−20 3x−2x+ 5x = 3−20−1
6x = −18 x = −18
6 =−3
• Les équations produits : Ce sont les équations du typep×q = 0 et toutes les équations s’y ramenant après transposition ou factorisation.
Exercice résolu 4 :
Résoudre l’équation(3x+ 1)(2x+ 2) = (2x+ 2)(5x+ 4).
Solution :
(3x+ 1)(2x+ 2) = (2x+ 2)(5x+ 4) (3x+ 1)(2x+ 2)−(2x+ 2)(5x+ 4) = 0
(2x+ 2)[(3x+ 1)−(5x+ 4)] = 0 (2x+ 2)(−2x−3) = 0 Un produit est nul si et seulement si un des facteurs est nul.
2x+ 2 = 0 OU −2x−3 = 0 2x=−2 −2x= 3
x=−1 x=−32
• Les équations du typex2 =adont les solutions sont√aet−√a.
Exercice résolu 5 :
Résoudre l’équation3x2+ 2 = 5.
Solution :
3x2+ 2 = 5 3x2 = 3 x2 = 1
x = ±1
2.2. Résolution graphique d’équation
Il y a des équations que l’on ne sait pas (encore) résoudre par le calcul. On utilise alors une méthode graphique pour avoir une approximation d’une solution. Nous traiterons des exemples pour être plus clair.
Exemple 1 : Résoudre l’équation : x2−2x−3 = 5
On trace la représentation graphique de la fonction f(x) =x2−2x−3.
12 34 5
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4
−1
−2
−3 Cf
y= 5
Résoudre l’équation f(x) = x2 −2x −3 = 5 revient à chercher les points qui ont pour image5 parf.
Graphiquement, les solutions semblent être−2et 4. On note :S ={−2; 4}.
Exemple 2 : Résoudre l’inéquation x2−2x−36−3
On trace la représentation graphique de la fonction f(x) =x2−2x−3.
12 34 5
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4
−1
−2
−3 Cf
y=−3
Résoudre l’inéquationf(x) =x2−2x−36−3 revient à chercher les points qui ont une image inférieure à−3.
Graphiquement, les solutions semblent être tous les nombres compris entre0et2inclus. On note : S = [0; 2].
Exemple 3 : Résoudre l’équation : x2−2x−3 =x−3
On trace la représentation graphique de la fonction f(x) =x2−2x−3et deg(x) =x−3.
12 34 5
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4
−1
−2
−3 Cf
Cg
Résoudre l’équation
f(x) =x2−2x−3 =x−3 =g(x)
revient à chercher les points qui ont la même im- age parf et parg.
Graphiquement, cela revient à chercher les ab- scisses des points d’intersection de la courbe Cf et de la courbeCg.S ={0; 3}.
Exemple 4 : Résoudre l’inéquation : x2−2x−3> x−3
On trace la représentation graphique de la fonction f(x) =x2−2x−3et deg(x) =x−3.
12 34 5
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4
−1
−2
−3 Cf
Cg
Résoudre l’inéquation
f(x) =x2−2x−3> x−3 =g(x)
revient à chercher les points dont l’image par f est supérieure à l’image par g, c’est à dire les abscisses pour lesquels la courbe Cf est situé au dessus de la courbeCg. Graphiquement, les solu- tions semblent être tous les nombres avant0exclus et après3exclus. On noteS =]− ∞; 0[∪]3; +∞[
Remarques : La méthode présente deux inconvénients :
• La valeur obtenue par lecture graphique n’est qu’une approximation de la solution cherchée.
Pour savoir si c’est la valeur exacte, il faut faire une vérification.
• La méthode ne donne que les solutions visibles dans la fenêtre affichée. Ainsi, on ne peut pas savoir si on a trouvé toutes les solutions où s’il en existe d’autres.
Cependant elle a un énorme avantage : il y a des équations que l’on ne sait pas (encore) résoudre par le calcul. On utilise alors une méthode graphique pour avoir une approximation d’une solu- tion.
Définition 4 : Tableau de signe
Lorsque l’on résout l’équation f(x) ≤ 0; on donne la solution sous la forme d’un tableau appelé tableau de signe de la fonction f.
Exercice résolu 6 :
Dresser le tableau de signe de la fonction dont la représentation graphique est donnée ci- dessous.
1 2 3
−1
−2
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
Solution :
x f(x)
−5 −4 1 3,5 4
- 0 + 0 - 0 +
Solve by graphing
Equations and inequations involving one or more functions can be solved by graphing . The solutions found under that method are most of the time approximate values.
3. V ARIATIONS D ’ UNE FONCTION
3.1. Définitions
Increasing and decreasing functions
A function f is called increasing, if for allx andy such that x 6 y one has f(x) 6 f(y), sof preserves the order. Likewise, a function is called decreasing if, wheneverx 6 y, then f(x)>f(y), so it reverses the order.
Graphically, the curve of an increasing function grows right upward (and right downward for an decreasing function.)
3.2. Tableau de variation
Définition 5 : Tableau de variation
Le tableau de variation d’une fonction f résume les variations de la fonction en partageant l’ensemble de définition de la fonction en intervalles sur lesquels la fonc- tion est monotone.
Variations table
The variations table is a typically French method, so the term doesn’t really exist in English.
We will still use it, as it’s a very efficient tool in many situations.
3.3. Extremums
Définition 6 : Maximum-Minimum
Le maximum d’une fonction sur un intervalleIest la plus grande valeur def(x)quand xdécritI .
Le minimum d’une fonction sur un intervalleI est la plus petite valeur def(x)quand xdécritI .
Extrema
The maximum and minimum of a function are the largest and smallest value the function takes within a given interval (local extremum) or on the function domain in its entirety (global extremum).
Exercice résolu 7 :
On donne ci-dessous la représentation graphique d’une fonctionf. Décrire les varaitions de f.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Cf
Solution :f est définie sur [−5; 6]
f est croissante sur [−5;−3]∪[1.5; 6]
f est décroissante sur [−3; 1.5]
Le maximum def sur [−5; 6] est4obtenue pourx=−3.
Le maximum def sur [−1; 6] est3obtenue pourx= 6.
Le minimum def sur [−5; 6] est−2obtenue pourx= 1.5.
Suite de la solution :
Le tableau de variation de la fonction f est :
x
f
−5 −3 1,5 6
22
44
−2
−2
33
4. P ROGRAMMES
Rappel des notions vues lors des années précédentes
Classe de cinquième Repérage dans le plan.
Dans le plan muni d’un repère orthogonal :
• lire les coordonnées d’un point donné ;
• placer un point de coordonnées données.
Connaître et utiliser le vocabulaire : origine, coordonnées, ab- scisse, ordonnée.
Initiation à la notion d’équation.
• Tester si une égalité comportant un ou deux nombres indéter- minés est vraie lorsqu’on leur attribue des valeurs numériques.
Classe de quatrième Calcul littéral
• Calculer la valeur d’une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques.
• Développement :
⋄ Réduire une expression littérale à une variable, du type :3x− (4x−2),2x2 −3x+x2. . .
⋄ Développer une expression de la forme(a+b)(c+d).
Résolution de problèmes conduisant à une équation du premier degré à une inconnue.
• Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une inconnue.
Classe de troisième Notion de fonction
Image, antécédent, notationsf(x),x7→f(x).
• Déterminer l’image d’un nombre par une fonction déter- minée par une courbe, un tableau de données ou une for- mule.
• Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique.
Toute définition générale de la notion de fonction et la notion d’ensemble de définition sont hors programme.
Fonctions affines et linéaires
• Calculs d’images et d’antécédents.
• Représentations graphiques.
• Coefficient directeur et ordonnée à l’origine.
Programme de seconde
Images, antécédents, courbes représentatives : reprise et ap- profondissement des notions vues au collège.
Étude qualitative de fonctions :
Fonction croissante, fonction décroissante, maximum, minimum d’une fonction sur un intervalle.
• Décrire, avec un vocabulaire adapté ou un tableau de variations, le comportement d’une fonction définie par une courbe.
• Dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variations.
• Lorsque le sens de variation est donné, par une phrase ou un tableau de variations :
⋄ comparer les images de deux nombres d’un intervalle ;
⋄ déterminer tous les nombres dont l’image est supérieure (ou inférieure) à une image donnée.
Fonctions de référence :
Fonctions affines et fonctions linéaires.
• Donner le sens de variation d’une fonction affine.
• Donner le tableau de signes de ax + b pour des valeurs numériques données dea etb.
Variations de la fonction carré, de la fonction inverse.
• Connaître les variations des fonctions carré et inverse.
• Représenter graphiquement les fonctions carré et inverse.
Études de fonctions :
Fonctions polynômes de degré 2.
• Connaître les variations des fonctions polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de symétrie de leurs courbes.
Fonctions homographiques.
• Identifier l’ensemble de définition d’une fonction homo- graphique.
Résolutions graphiques et algébriques d’équations et d’inéqua- tions.
