devoir en temps libre 7 pour le vendredi 13 janvier 2017
Exercice 1 : Normes équivalentes (facultatif : pour réviser)
On noteE l’espace vectoriel des applications de classeC1 définies sur l’intervalle[0; 1]et à valeurs dansR.
On pose pourf ∈E :
kfk=|f(0)|+ 2 Z 1
0
|f0(t)|dt et kfk0= 2|f(0)|+ Z 1
0
|f0(t)|dt.
1. Démontrer quek kdéfinit une norme surE.
De même,k k0 est une norme sur E, il est inutile de le démontrer.
2. a) Donner la définition de deux normes équivalentes.
b) Démontrer que les deux normesk ket k k0 sont équivalentes surE.
3. Toutes les normes surE sont-elles équivalentes à la normek k?
Exercice 2 : Continuité d’une fonction définie par intégrale (obligatoire)
1. Soient I et J deux intervalles de Ret g une application de I×J dansR telle que pour toutx∈I, la fonctiont7→g(x, t)soit intégrable surJ.
On pose, pour toutx∈I,f(x) = Z
J
g(x, t)dt.
Donner toutes les hypothèses du théorème de continuité d’une fonction définie par intégrale dépendant d’un paramètre permettant de conclure que la fonctionf est continue sur I.
2. On pose, pour toutx∈R,f1(x) = Z +∞
0
arctan(xt) 1 +t2 dt.
Démontrer que la fonctionf1 est continue surR.
3. On pose pour toutx∈[0,+∞[,f1(x) = Z +∞
0
xe−xt dt.
Calculerf2(x)pour toutx∈R.
La fonctionf2est-elle continue sur[0,+∞[?
Que peut-on en conclure concernant l’hypothèse de domination ?
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Problème : Comparaison de convergences
Dans tout le problème,P
fn est une série de fonctions définies sur un intervalleIdeRet à valeurs réelles.
Partie I
Une série de fonctionsP
fn converge absolument surI lorsque, pour tout x∈I, la série P
|fn(x)| converge.
Dans les deux premières questions on supposera, pour simplifier les démonstrations, que toutes les fonctionsfn
sont bornées surI.
1. a) Rappeler la définition de la convergence normale de la série de fonctionsP
fn surI.
b) On suppose que la série de fonctionsP
fnconverge normalement surI, démontrer queP
fnconverge absolument sur I.
2. On suppose que la série de fonctionsP
fn converge normalement sur I, démontrer que P
fn converge uniformément surI.
On pourra démontrer que la suite des restes converge uniformément surIvers la fonction nulle ou utiliser toute autre méthode.
3. On pose pourx∈[0; 1], fn(x) = (−1)n
x2+n n2
.
Démontrer que la série de fonctions Pfn converge simplement puis converge uniformément sur [0; 1]
mais ne converge absolument en aucune valeur de[0; 1]. 4. Si la série de fonctionsP
fn converge absolument surI, a-t-on nécessairementP
fn qui converge uni- formément surI?
On attend une réponse détaillée et on pourra utiliser une série entière. .
Partie II
Dans toute cette partie, (αn)n>1 est une suite décroissante de réels positifs, I = [0; 1[ et pour tout x ∈ I, fn(x) =αnxn(1−x).
5. Justifier que la suite(αn)n>1est bornée et que la série de fonctionsP
n>1fn converge simplement surI. 6. a) Calculer pourn>1,kfnk∞=sup
x∈I
|fn(x)|.
b) Démontrer que la série de fonctionsP
n>1fn converge normalement surI si et seulement si la série de réels positifsP
n>1
αn
n converge.
7. a) Calculer pour toutx∈I,
∞
X
k=n+1
xk.
b) Si on suppose que la suite (αn)n>1 converge vers 0, démontrer que la série de fonctions P
n>1fn
converge uniformément surI.
On pourra observer que pourk>n+ 1, αk 6αn+1. c) Réciproquement, démontrer que si la série de fonctions P
n>1fn converge uniformément sur I alors la suite (αn)n>1converge vers0.
8. Dans chacun des cas suivants, donner, en détaillant, un exemple de suite décroissante de réels positifs (αn)n>1 telle que :
a) La série de fonctions P
n>1fn converge normalement surI. b) La série de fonctionsP
n>1fn ne converge pas uniformément surI. c) La série de fonctions P
n>1fn converge uniformément surI mais ne converge pas normalement sur I.
9. Résumer à l’aide d’un schéma toutes les implications possibles, pour une série de fonctions quelconque, entre les convergences : normale, uniforme, absolue et simple surI.
Fin de l’énoncé
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