TS6 Interrogation 11A 4 f´evrier 2019 Calculatrice interdite.
On se donne un rep`ere (O;~i;~j;~k) Exercice 1 :
Soient A(2; 1;−1),B(1; 2; 4), C(0;−2; 3) etD(6; 12;−3).
(1) Les pointsA,B etC d´efinissent un plan. (2) a. Montrer que−−→
AD= 2−−→
AB−3−→
AC.
b. Que peut-on en d´eduire ?
Solution:
(1) −−→ AB
−1 1 5
, −→
AC
−2
−3 4
. Les coordonn´ees ne sont pas proportionnels, les vecteurs ne sont pas colin´eaires donc A,B etC d´efinissent un plan.
(2) −−→ AD
4 11
−2
. 2−−→ AB
−2 2 10
et−3−→
AC
6 9
−12
. Les coordonn´ees de 2−−→
AB−3−→
AC sont bien (4; 11;−2).
On en d´eduit que les pointsA,B,C etDsont coplanaires.
Exercice 2 :
Une droite da pour repr´esentation param´etrique :
x= 1 +t y=−2 + 3t z= 2
, t∈R.
(1) Donner un point et un vecteur directeur de la droited.
(2) D´eterminer une repr´esentation param´etrique de la droite d0 parall`ele `a det passant parA(2; 5; 3).
Solution:
(1) Le pointB(1;−2; 2) est sur la droite d. Un vecteur directeur est~u 1 3 0 . (2) SoitM(x;y;z) un point de l’espace.
M ∈d0 ⇔ ∃t∈R
x−2 =t y−5 = 3t z−3 = 0
. Donc d0 :
x= 2 +t y= 5 + 3t z= 3
, t∈R.
Exercice 3 : Soient d:
x= 3 +t y= 3−t z= 2 + 2t
t∈Retd0 :
x=−1−k y= 10 + 2k z= 3 +k
k∈REtudier les positions de´ detd0.
Solution:
Les droites ne sont parall`eles car les coefficients directeurs ne sont pas colin´eaires.
R´esolvons le syst`eme d’´equation :
3 +t=−1−k 3−t= 10 + 2k 2 + 2t= 3 +k
⇔
t=−4−k
3 + 4 +k= 10 + 2k 2−8−2k= 3 +k
⇔
t=−4 +k k=−3 3k=−9
⇔
t=−1 k=−3 k=−3 Les deux droites s’intersectent au point de coordonn´ees (2; 4; 0).
