Université de Cergy-Pontoise Séries
Licence 2 MIPI 2015-2016
Devoir surveillé N
◦3
La durée de ce devoir est de quarante-cinq minutes. L’usage des calculatrices ainsi que de tout autre appareil électronique est interdit.
Questions de cours.
1. Donner la définition du rayon de convergence d’une série entière.
2. Énoncer le critère de d’Alembert pour le calcul du rayon de convergence d’une série entière.
3. Donner le développement en série entière de la fonction sinus. Sur quel intervalle, ce développement est-il valable ?
Problème.
SoitL0(X) = 1 et
∀p∈N∗, Lp(X) = X(X−1). . .(X−p+ 1)
p! .
1. Soitd∈N. Notons
∀n∈N, bn= nd n!. a. Déterminer, si possible, la valeur de la limite
n→lim+∞
bn+1 bn .
b. En déduire le rayon de convergence de la série entière ∑
n≥0bnzn. 2. Soitp∈N. Notons
∀n∈N, a(p)n = Lp(n) n! . a. Établir que
a(p)n ∼
n→+∞
np p!n!. b. En déduire le rayon de convergence de la série entière ∑
n≥0
a(p)n zn.
c. Quel est l’intervalle de convergence de la sommeSp de la série entière ∑
n≥0
a(p)n zn? d. Montrer que
∀x∈R, Sp(x) = xp p!
+∞
∑
n=p
n(n−1). . .(n−p+ 1) n! xn−p. e. En déduire la valeur de la sommeSp sur son intervalle de convergence.
3. SoitP(X) =
∑d k=0
akXk, avec ad̸= 0, un polynôme à coefficients réels de degré d∈N. a. Déterminer un équivalent de la suite(P(n)
n!
)
n∈N lorsquen→+∞. b. En déduire le rayon de convergence de la série entière ∑
n≥0 P(n)
n! zn.
c. Montrer que la famille de polynômes(L0, . . . , Ld)est une base de l’espace vectorielRd[X]
des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal àd.
d. En déduire l’existence d’un uniqued+ 1-uplet(α0, . . . , αd)∈Rd+1 tel que
P(X) =
∑d p=0
αpLp(X).
e. Déterminer une expression de la somme de la série entière ∑
n≥0 P(n)
n! zn sur son intervalle de convergence en fonction des coefficientsα0,. . ., etαd.
4.Application.
a. Déterminer la valeur des coefficients réelsβ0,β1 etβ2 tels que X2−X+ 1 =β0L0(X) +β1L1(X) +β2L2(X).
b. En déduire le rayon de convergence et la somme de la série entière ∑
n≥0 n2−n+1
n! zn.
