1ère S Devoir surveillé n° 2 Corrigé
Année scolaire 2010-2011
EXERCICE 1 :
On considère la fonction f définie par
2 7 5 ) 3
(
2
−
−
= − x x x x f
1. Déterminer l’ensemble de définition de f : x – 2 = 0 si x = 2. Df = Ë\{2}
2. Déterminer les réels a, b et c tels que f(x)= ax + b + c x-2 .
f(x) =
2
2 )
2
2
(
−
− +
− +
x
b c x a b
ax
. En identifiant :
−
=
−
−
=
−
=
7 2
5 2
3
b c
a b a
c’est-à-dire
−
=
=
= 5 1
3
c b a
.
Finalement : f( x) = 3x + 1 -
2 5
− x
3. On considère la droite ( d) d’équation y = 3x + 1.
Comparer f( x) et y = 3x + 1 : f(x) – y = -
2 5
− x
x - õ 2 + õ Signe de f(x) - y + || -
Position relative de Cf et ( d)
Cf au-dessus de ( d) Cf en-dessous de (d)
EXERCICE 2:
1. Question de cours :
A et B sont deux points et a et b sont deux réels tels que a + b ≠ 0. Soit G le barycentre de (A,a) et (B,b).
a
→
GA + b
→
GB =
→
0 , donc a
→
GA + b(
→
GA +
→
AB )=
→
0 , donc comme a+b≠0,
→
AG =
b a
b +
→
AB . 2. A,B et C sont trois points non alignés.
• G1 est le barycentre du système {(A ; 3) ; (B ;- 4)}.
• G2 est le barycentre du système {(A ; 3) ; (C ;-2)}.
• G3 est le barycentre du système {(B ;- 4) ; (C ;-2)}.
a)
→
AG1 =
1 4
−
−
→AB = 4
→
AB
→
AG2=
1
− 2
→AC = -2
→
AC
→
BG3=
6 2
−
−
→BC =
3 1
→BC
b) G= bar {(A ;3) ;(B ;- 4) ;(C ;-2)} et G1= bar { (A,3) (B,-4)} donc d’après le théorème d’associativité : G = bar {(G1,-1) (C,-2)}. Donc G œ (CG1).
De même G = bar {(G2,1) (B,-4)} donc G œ (BG2) et G = bar {(G3,-6) (A,3)} donc G œ (AG3).
Donc G est le point de concours de ces droites.
c) On veut déterminer l’ensemble Γ des points M tels que
3 MA − 4 MB = 3 MA − 2 MC
. 3→
MA- 4
→
MB= -
→
MG1 et 3
→
MA – 2
→
MC=
→
MG2
MC MB 3 MA 2 4
MA
3 − = −
équivaut à || -→
MG1 || = ||
→
MG2 || c’est-à-dire MG1= MG2
L’ensemble Γest inclus dans la médiatrice de [G1G2].
Soit M un point de la médiatrice de [G1G2].
On sait que 3
→
MA- 4
→
MB= -
→
MG1 et 3
→
MA – 2
→
MC=
→
MG2. Donc
3 MA − 4 MB = 3 MA − 2 MC
car MG1= MG2. Donc M œГ.Finalement Г est la médiatrice de [G1G2].
EXERCICE 3 :
1. ABC est un triangle. I, J et K sont définis par :
• I est le milieu de [AB] : I = bar { (A,1) (B,1)} 1+1 ≠ 0 donc I = bar { (A,2) (B,2)}
• →JC = 2 3
→
JA : J = bar { (A, 2
3 ) (C,-1)} 2
3 + (-1) ≠ 0 donc J = bar { (A, 2 ) (C,-3)}
• →BK = 3
→
BC : K = bar { (B,-2) (C,3)} -2 + 3 ≠ 0 donc K = bar { (B,2) (C,-3)}
2. Soit G = bar {(A,2) (B,2) (C,-3)}.D’après le théorème d’associativité : G = bar {(A,2) (K,-1)} donc G œ (AK)
G = bar {(B,2) (J,-1)} donc Gœ (BJ) Et G = bar {(I,4) (C,-3)} donc G œ (CI)
On a bien (AK), (BJ) et (CI) concourantes en G.
EXERCICE 4 :
On considère dans un repère orthonormal (O,
→ i ,
→
j ) les points A, B et C de coordonnées respectives (1 ;2), (3 ;1) et (- 1 ; 0).
1. Coordonnées de G le barycentre de (A,1), (B,2) et (C,3) (1+2+3≠0):
G ( 1 6×1 + 2
6 ×3 + 3
6 ×(-1) ;1 6×2 + 2
6 ×1 + 3
6 ×0) donc G ( 2 3 ; 2
3 ) 2.
→
IA = 2
→
BI donc I = bar { (A,1) (B,2)} donc I ( 7 3 ; 4
3 ) 3.
→
CG ( 5 3 ; 2
3 ) et
→
CI ( 10 3 ; 4
3 ) On a : 5
3 × 4 3 - 2
3 × 10 3 = 0
Donc les points C, G et I sont alignés.
