Correction DS n°2 – 1ère S – Vendredi 4 novembre 2016 Exercice 1 :
Partie 1 : 1. 2 + 1
𝑥+1=2(𝑥+1)+1
𝑥+1 =2𝑥+2+1
𝑥+1 =2𝑥+3
𝑥+1 = 𝑔(𝑥) 2.
𝑥 −∞ − 1 + ∞
𝑥 → 𝑥 + 1 Car 𝑥 → 𝑥 + 1 est une fonction
affine avec 𝑎 = 1 > 0
𝑥 → 1
𝑥 + 1
Car 𝑢 et 1
𝑢 ont des variations
contraires sur les intervalles où u est de signe contant.
𝑔(𝑥) Car 𝑢 𝑒𝑡 𝑢 + 𝑘 ont même sens de
variations.
Partie 2 :
1. 𝑔(0) =2×0+3
0+1 = 3 donc 𝐴: (0; 3) 𝑔(𝑥) = 0 ⇔ 2𝑥 + 3 = 0 ⇔ 𝑥 = −3
2donc 𝐵: (−3
2; 0) 2. 𝑔(−2) =2×(−2)+3
−2+1 =−1
−1= 1 donc C a pour ordonnée 1. 𝐶: (−2; 1)
3. E est le milieu de [AC] donc {𝑥𝐸 =𝑥𝐴+𝑥𝐶
2 =0−2
2 = −1
𝑦𝐸=𝑦𝐴+𝑦𝐶 2 =3+12 = 2 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐸: (−1; 2) 4. 𝐶ℎ est le point d’abscisse −1 − ℎ et d’ordonnée : 𝑔(−1 − ℎ) =2(−1−ℎ)+3
−1−ℎ+1 =−2−2ℎ+3
−ℎ =1−2ℎ
−ℎ
Donc 𝐶ℎ : (−1 − ℎ ; 1−2ℎ
−ℎ )
𝐴ℎ est le point d’abscisse −1 + ℎ et d’ordonnée : 𝑔(−1 + ℎ) =2(−1+ℎ)+3
−1+ℎ+1 =−2+2ℎ+3
ℎ =2ℎ+1
ℎ
Donc 𝐴ℎ: (−1 + ℎ ; 2ℎ+1
ℎ )
Le milieu de [𝐴ℎ𝐶ℎ]a pour coordonnées : {
𝑥 =−1−ℎ−1+ℎ
2 = −1
𝑦 =
1−2ℎ
−ℎ+2ℎ+1
ℎ
2 =−1+2ℎ+2ℎ+1
2ℎ =4ℎ
2ℎ= 2 Ainsi pour tout h positif : le point E est le milieu du segment [𝐴ℎ𝐶ℎ].
Le point E est donc le centre de symétrie de l’hyperbole 𝐶𝑓. Partie 3 :
1. 𝑢⃗ : ( 𝑏
−𝑎) : (3
3) est un vecteur directeur de la droite . On fixe 𝑥 = 0 alors −3 × 0 + 3𝑦 −9
2= 0 ⇔ 𝑦 =3
2
Donc 𝐷: (0;3
2) est un point de la droite.
2. Graphique.
3. Les droites (D) et (AC) semblent parallèles.
Preuve : 𝑢⃗ ∶ (3
3) 𝑒𝑡 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ : ( −2
1 − 3) : (−2
−2) 𝑥𝑦′− 𝑥′𝑦 = −2 × 3 − (−2) × 3 = 0
Donc les vecteurs 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝑢⃗ sont colinéaires donc (AC) et (D) sont parallèles.
Exercice n°2 :
1. D’après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle MBC en B.
On a : 𝑀𝐶2 = 𝐶𝐵2+ 𝑀𝐵2 Donc 𝑀𝐶2= 42+ 𝑥2 Donc 𝑀𝐶 = √16 + 𝑥²
2. 𝑓(𝑥) = 𝑀𝐶 − 𝑀′𝐶 = √16 + 𝑥2− 4 Car 𝐶𝑀′ est un rayon du cercle de rayon 4.
3.
4. 𝑀𝑀′≥ 1 ⇔ √16 + 𝑥2− 4 ≥ 1
⇔ √16 + 𝑥2 ≥ 5
⇔ 16 + 𝑥² ≥ 25 Car la fonction carrée est croissante sur [0; +∞[
⇔ 𝑥2 ≥ 25 − 16
⇔ 𝑥2 ≥ 9
⇔ 𝑥 ≥ 3 (𝑜𝑢 𝑥 ≤ −3 𝑒𝑥𝑐𝑙𝑢 𝑐𝑎𝑟 𝑥 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 distance) 𝑥 0 4
𝑥 → 𝑥² 16
0
La fonction carrée est croissante sur [0; +∞[
𝑥 → 𝑥² + 16 32
16
Car 𝑢 𝑒𝑡 𝑢 + 𝑘 ont même sens de variations
𝑥 → √16 + 𝑥2 √32
4
Car la fonction racine carrée est croissante sur [0; +∞[
Ou u et √u ont les mêmes variations
𝑓(𝑥) √32 − 4
0
Car 𝑢 𝑒𝑡 𝑢 + 𝑘 ont même sens de variations
Ainsi M doit se situer à plus de 3cm de A pour que MM’ soit supérieur ou égale à 1.
Exercice n°3
1. 𝐴: (0; 0) ; 𝐵(1; 0) 𝐶(1; 1) 𝑒𝑡 𝐷(0; 1)
On sait que 𝐼est le milieu de [AB] donc 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ =1
2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ donc 𝐼 : (12 ; 0 ) On sait que 𝐽 est le milieu de [AD] donc 𝐴𝐽⃗⃗⃗⃗ =1
2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ donc 𝐽 : (0 ;1
2) 2. Equation de (DI) : vecteur directeur 𝐷𝐼⃗⃗⃗⃗ ∶ ( 12
−1)
𝑀(𝑥; 𝑦 )appartient à (DI) ⇔ 𝐷𝐼⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires avec 𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : ( 𝑥 𝑦 − 1)
⇔1
2(𝑦 − 1) − (−1)𝑥 = 0
⇔1
2𝑦 −1
2+ 𝑥 = 0
⇔ 𝑥 +1
2𝑦 −1
2= 0
Equation de (BJ) : vecteur directeur 𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗ ∶ (−1
1 2
)
𝑀(𝑥; 𝑦 )appartient à (BJ) ⇔ 𝐵𝐽⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires avec 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : ( x − 1 𝑦 )
⇔ − 1𝑦 −1
2(𝑥 − 1) = 0
⇔ − 𝑦 −1
2𝑥 +1
2= 0
⇔ −1
2𝑥 − 𝑦 +1
2= 0
3. { 𝑥 +1
2𝑦 −1
2= 0
−1
2𝑥 − 𝑦 +1
2= 0 ⇔ { 𝑥 =1
2−1
2𝑦
−1
2(1
2−1
2𝑦) − 𝑦 +1
2= 0 ⇔ { 𝑥 =1
2−1
2𝑦
−1
4+1
4𝑦 − 𝑦 +1
2= 0 ⇔ { 𝑥 =1
2−1
2𝑦
−3
4𝑦 +1
4= 0
⇔ {𝑥 =1
2−1
2×1
3= 1
3
𝑦 =1
3
donc 𝐾: (1
3;1
3)
4. Les points A, K et C semblent alignés.
𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ ∶ (
1 3 1 3
)et𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ : (1 1)
On remarque que 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ donc 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires et ont le point A en commun, donc A, K et C sont alignés.
5.
a) Figure
b) On sait que AF⃗⃗⃗⃗⃗ = −2AD⃗⃗⃗⃗⃗ + AK⃗⃗⃗⃗⃗ et AD⃗⃗⃗⃗⃗ : (0 1) AK⃗⃗⃗⃗⃗ : (
1 3 1 3
) AF⃗⃗⃗⃗⃗ : (𝑥𝐹 𝑦𝐹) Donc 𝑥𝐹= −2 × 0 +13=13 𝑒𝑡 𝑦𝐹= −2 × 1 +13= −53 Donc 𝐹: (1
3; −5
3) c) On sait que AD⃗⃗⃗⃗⃗ : (0
1) 𝑒𝑡 FK⃗⃗⃗⃗⃗ ∶ (
1 3−1
3 1
3+53) : (0 2) On remarque que FK⃗⃗⃗⃗⃗ = 2AD⃗⃗⃗⃗⃗
Donc (AD) et (FK) sont parallèles.
Exercice n°4 : 1. Figure
2. Les points A ; G et H semblent alignés.
3. GB⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
BI⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ = −𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +1 2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
donc 𝐵𝐼⃗⃗⃗⃗ = 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et B est le milieu de [GI]
4. 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ −1
2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ −1
3𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ −1
3(𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +1
3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ −1
3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =4
3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ −1
3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
On remarque que : 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2
3𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗
Donc 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires et A, G et H sont alignés.
