Ensembles, relations, fonctions
Table des mati` eres
1 Ensembles 1
1.1 Vocabulaire et notations . . . 1
1.2 Op´erations ensemblistes . . . 1
1.3 Ensemble des parties d’un ensembleE . . . 2
1.4 Ensembles finis, ensembles infinis . . . 2
2 Relations 3 2.1 D´efinitions . . . 3
2.2 Propri´et´es des relations . . . 3
2.3 Relations d’ordre . . . 3
3 Fonctions 3 3.1 D´efinitions et notations . . . 3
3.2 Restrictions et prolongements . . . 4
3.3 Composition des fonctions . . . 4
3.4 It´er´es d’une fonction . . . 4
3.5 Injections, surjections, bijections . . . 4
3.6 Notion de famille . . . 5
◮Ce support de cours donne l’essentiel des d´efinitions, notations et propri´et´es `a connaˆıtre, concernant les ensembles, les relations et les fonctions. S’agissant de la premi`ere version de ce support, il est vraisemblable que quelques coquilles s’y trouvent encore.
◮Dans ce support, nous faisons r´ef´erence `a plusieurs reprises `a la notion de loi de composition, ou aux propri´et´es qu’une telle loi peut poss´eder. Les d´efinitions correspondantes sont dans le support de cours intitul´eLois de composition, et disponible ici :
http://bruno.maitresdumonde.com/pcsi2/maths/cours/Lois-de-composition.pdf
1 Ensembles
1.1 Vocabulaire et notations
Les notions d’ensemble et d’´el´ement ne sont pas d´efinies ; elles sont consid´er´ees comme intuitives.
Un objetxpeut appartenir `a l’ensembleE, ce qui s’´ecritx∈E et se lit≪xappartient `aE≫, ou encore≪xest un´el´ement deE≫. Nous ´ecrironsx /∈Elorsque xn’appartient pas `aE.
D´efinition: un ensembleA est unepartie (on dit aussisous-ensemble) deE si tous les ´el´ements deAappar- tiennent `aE; ceci s’´ecrit A⊂E et se lit≪Aest contenu dansE≫.
Il existe un ensemble ne contenant aucun ´el´ement, c’est l’ensemble vide, not´e∅.
1.2 Op´ erations ensemblistes
D´efinition: soientAetB deux parties d’un mˆeme ensembleE; l’union(our´eunion) deAetBest l’ensemble, not´eA∪B, des objets qui appartiennent `aA, ou `a B, voire aux deux simultan´ement.
D´efinition: l’intersection deA et B est not´ee A∩B; c’est l’ensemble des objets qui appartiennent simul- tan´ement `aA et `aB.
D´efinition: nous dirons que les ensemblesAet B sontdisjoints si leur intersection est vide ; autrement dit : s’ils n’ont aucun ´el´ement en commun.
Les op´erations∪et ∩ poss`edent de nombreuses propri´et´es simples ; plus pr´ecis´ement, siA, B et C sont trois ensembles, alors :
1. A∪B=B∪A; 2. A∩B=B∩A;
3. (A∪B)∪C=A∪(B∪C) ; 4. (A∩B)∩C=A∩(B∩C) ; 5. A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) ; 6. A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) ; 7. A∪ ∅=AetA∩ ∅=∅;
8. siA⊂B, alorsA∪B =B et A∩B=A.
Remarque: dans ce qui suit, nous faisons appel `a la notion defamille, qui est d´efinie plus loin, `a la section 3.6.
Plus g´en´eralement, nous pouvons d´efinir la r´eunion et l’intersection d’une famille (Ei)i∈I d’ensembles, index´ee par un ensembleI non vide :
• la r´eunion de cette famille est l’ensemble des objets qui appartienent `aau moins un membre de la famille ; elle est not´ee [
i∈I
Ei; cette r´eunion est vide ssitous les membres de la famille sont vides.
• l’intersection de cette famille est l’ensemble des objets qui appartienent tous membre de la famille ; elle est not´ee \
i∈I
Ei; cette intersection est non vide ssiau moins undes membres de la famille n’est pas vide.
En pratique, nous utiliserons surtout des familles finies ; une telle famille sera donc index´ee par les ´el´ements de l’intervalle discret [[1, n]].
D´efinition: soientAetBdeux ensembles ; siAest contenu dansB, nous noteronsB−A(ouB\A) l’ensemble des ´el´ements de B qui n’appartiennent pas `aA. Nous dirons ausi queB−A est lecompl´ementaire deA dans B.
1.3 Ensemble des parties d’un ensemble E
D´efinition: soitE un ensemble ; l’ensemble des parties deE est not´eP(E).
Exemple —L’ensemble des parties deE={a,b,c}est©
∅,a,b,c,a, b,b, c,a, c,Eª . Proposition: siE est fini, de taillen, alorsP(E) est fini, de taille 2n.
1.4 Ensembles finis, ensembles infinis
D´efinition: un ensembleE estfini si l’on peut num´eroter ses ´el´ements de 1 `an; nous dirons alors quenest lataille de cet ensemble (on dit aussi lecardinal) ; nous noterons|E|la taille deE. L’ensemble vide est fini, sa taille est nulle.
Remarque: certains utilisent la notation Card(E) ; les anglo-saxons utilisent la notation #E.
Proposition: siAetB sont deux ensembles finis, et siA⊂B, alors|A|6|B|avec ´egalit´e ssiA=B.
Proposition: siAetB sont deux ensembles finis, alorsA∪B est fini, et|A∪B|6|A|+|B|, avec ´egalit´e ssi Aet B sont disjoints.
D´efinition: un ensembleE est infini s’il n’est pas fini. Par exemple Nest infini, de mˆeme queQetR.
2 Relations
2.1 D´ efinitions
D´efinition: uncouple est compos´e de deux objetsaetb, il est not´e (a, b) ; notez bien que, sia6=b, alors les couples (a, b) et (b, a) sont distincts. Les couples (a, b) et (c, d) sont ´egaux ssia=c etb=d.
D´efinition: leproduit cart´esien de deux ensemblesE etF est l’ensemble des couples (a, b) o`uad´ecritE etb
× × 2
Exemple — Un ´echiquier peut ˆetre vu comme le produit cart´esien des ensembles E = {a,b,c,d,e,f ,g,h} et F ={1,2,3,4,5,6,7,8}.
Plus g´en´eralement, nous d´efinissons le produit cart´esien d’unefamilledenensembles (Ek)16k6n: c’es l’ensemble des n-uplets (xk)16k6n v´erifiant xk ∈ Ek quel que soit k ∈ [[1, n]]. Nous noterons En le produit cart´esien E× · · · ×E
| {z } nfoisE
.
D´efinition: une relation sur un ensemble E est une partieRde E×E. Soient xet y deux ´el´ements de E; nous noteronsxRy lorsque le couple (x, y) appartient `aE×E.
2.2 Propri´ et´ es des relations
D´efinition: une relationRsur un ensembleE est diter´eflexive lorsqu’elle v´erifie la propri´et´e suivante : xRx pour toutx∈E.
Exemples — Les relations = et6= sont r´eflexives.
D´efinition: une relationRsur un ensembleE est ditesym´etrique lorsqu’elle v´erifie la propri´et´e suivante : si xRy, alorsyRx.
Exemples — Les relations = et6= sont sym´etriques.
D´efinition: une relationRsur un ensembleEest diteantisym´etriquelorsqu’elle v´erifie la propri´et´e suivante : sixRy et yRx, alorsx=y.
Exemples — Les relations 6et >sont antisym´etriques, sur R. La relation ≪divise≫ est antisym´etrique sur N, mais pas surZ.
D´efinition: une relationRsur un ensemble E est dite transitive lorsqu’elle v´erifie la propri´et´e suivante : si xRy etyRz, alorsxRz.
Exemples — Les relations6, <,>,>sont transitives, surR.
2.3 Relations d’ordre
D´efinition: une relationRsur un ensembleEest une relation d’ordre (ou, plus simplement, unordre) si elle est r´eflexive, antisym´etrique et transitive.
D´efinition: deux ´el´ements deE sontcomparables pour la relationRsixRy et yRx.
D´efinition: une relation d’ordreRsur un ensembleE est ditetotale si les ´el´ements sont deux `a deux compa- rables. Sinon,Rest une relation d’ordreRpartiel.
Exemples — Les relations 6, <, >, > sont des ordres totaux sur les ensembles N, Z, Q, R. La relation
≪divise≫est un ordre partiel sur N.
3 Fonctions
3.1 D´ efinitions et notations
D´efinition: soientEetF deux ensembles non vides. Une relationgdeEversF est unefonction si elle v´erifie la propri´et´e suivante : pour tout x ∈E, il existe au plus un y ∈ F tel que le couple (x, y) appartienne `a g.
Nous dirons quey est l’image dexparg, et nous noterons ceci y=g(x). Nous dirons ´egalement quexestun ant´ec´edent dey parg.
D´efinition: E est l’ensemble de d´epart deg,F est sonensemble d’arriv´ee.
Remarque: dans la pratique, une fonctiong est souvent d´efinie par une expression qui, pourx∈E, indique comment calculer la valeur deg(x). Il se peut que, pour certaines valeurs dex∈E, cette expression n’ait aucun sens ; observons par exemple la fonction≪logarithme n´ep´erien≫, usuellement not´ee ln : son ensemble de d´epart estR; l’expression correspondante est ln(x), mais n’a de sens que sixest strictement positif. Ceci nous m`ene
`a la d´efinition suivante.
D´efinition: l’ensemble de d´efinition de g, not´eDg, est l’ensemble desx∈E qui poss`edent une image parg.
SiDg=E, nous dirons quegest d´efinie surE.
Remarque: dans toute la suite, nous supposons que chacune des fonctions consid´er´ees est d´efinie sur son ensemble de d´epart. Nous noteronsg:E7→F pour dire queg est d´efinie surE (tout entier) et `a valeurs dans F.
Nous noteronsF(E, F) l’ensemble des fonctions d´efinies surE et `a valeurs dansF.
D´efinition: l’image pargd’une partieAdeE est l’ensemble desg(x), o`uxd´ecritA. Nous la noterons g(A).
D´efinition: en particulier, l’image deg est l’ensemble des images parg des ´el´ements deE; nous la notons g(E).
D´efinition: l’image r´eciproque parg d’une partie B de F est l’ensemble desx∈E tels queg(x)∈B. Nous la noteronsg−1(B).
D´efinition: lafonction identit´ede l’ensembleE est la fonctionx∈E7→x; nous la notons idE.
3.2 Restrictions et prolongements
D´efinition: soientEetF deux ensembles, Aune partie deEet gune fonction d´efinie surE et `a valeurs dans F. Larestriction deg `a Aest la fonctionx∈A7→g(x). Nous la notonsg|A.
D´efinition: soient g et hdeux fonctions `a valeurs dans F; g est d´efinie sur E et hsur une partie Ade E.
Nous dirons quegest un prolongement dehsihestla restriction deg `aA.
3.3 Composition des fonctions
D´efinition: soientE, F, Gtrois ensembles ; pune fonction deE dansF etq une fonction deF dansG. La compos´ee de q et p (dans cet ordre) est la fonction x∈E 7→q¡
p(x)¢
. Cette fonction sera not´ee q◦p; nous d´efinissons ainsi une op´eration appel´eecomposition des fonctions.
Remarque: la fonction identit´e deEest le neutre de la loi◦, pour la composition des fonctions deEdansE.
Proposition: la composition des fonctions est associative.
Preuve: soientE,F,G,H quatre ensembles ; pune fonction deEdansF,qune fonction deF dansGetrune fonction deGdansH. Alors¡
r◦(q◦p)¢
(x) =r¡
(q◦p)(x)¢
=r¡
q(p(x))¢
; d’autre part (r◦q)¡ p(x)¢
=r¡
q(p(x))¢ . Et ceci vaut quel que soitx∈E.
3.4 It´ er´ es d’une fonction
D´efinition: soient E un ensemble et g une fonction de E dans E. Nous pouvons donc composer g avec elle-mˆeme, autant de fois que l’on veut.
Nous d´efinissons par r´ecurrence len-i`eme it´er´e def, qui sera not´eg(n): g0est l’identit´e deE; etg(n+1)=gn◦g.
Proposition: gn+1=g◦gn,gp◦gq=gp+q,¡ gp¢q
=gpq.
3.5 Injections, surjections, bijections
D´efinition: soient E, F deux ensembles et g : E 7→ F. Nous dirons que g est injective (ou encore : g est uneinjection) lorsqu’elle v´erifie la propri´et´e suivante : sig(a) =g(b), alorsa=b. Ceci revient `a dire que tout
´el´ement deF poss`edeau plus un ant´ec´edent parg.
D´efinition: soient E, F deux ensembles et g : E 7→ F. Nous dirons que g est surjective (ou encore : g est unesurjection) lorsqueg(E) =F. Ceci revient `a dire que tout ´el´ementydeF poss`edeau moins un ant´ec´edent parg.
Proposition: la compos´ee de deux injections (resp. deux surjections) est une injection (resp. une surjection).
D´efinition: g:E7→F estbijective (ou encore : g est unebijection) si elle est `a la fois injective et surjective.
Ceci revient `a dire que tout ´el´ement deF poss`ede un et un seul ant´ec´edent par g.
Proposition: la compos´ee de deux bijections est une bijection.
Proposition: soientE,F,Gtrois ensembles ; g:E 7→F et h:F 7→G deux bijections. Alorsg◦f est une bijection.
D´efinition: soitg:E7→F bijective. Labijection r´eciproque deg est la fonction qui, `ay∈F, associe l’unique ant´ec´edent dey parg. Nous la notonsg−1.
Remarque: f−1◦f = idE et f◦f−1= idF.
Proposition: la bijection r´eciproque deg◦f estf−1◦g−1.
3.6 Notion de famille
Nous avons d´ej`a rencontr´e la notion de famille (sans la d´efinir), dans la section 1.2.
D´efinition: soient E et I deux ensembles non vides. Une famille d’´el´ements de E, index´ee par I, est une fonctionϕ de I dans E. Nous noterons (ϕi)i∈I une telle famille.I est lesupport de la famille. La famille est finie si son support l’est.
Exemples — Un triplet (a, b, c) est une famille index´ee par{1,2,3}; unesuiteest une famille index´ee parN.
Remarque: nous retrouverons la notion de famille index´ee par un ensemble fini, lors de l’´etude des op´erateurs PetQ
.
FIN
[Ensembles] Version du 7 mars 2009
