2nde : devoir sur feuille n

(1)

2nde : devoir sur feuille n

^o

1

I

A = 1+3 2−7

5=1+15 10−14

10=1+ 1 10=10

10+ 1 10=11

10donc A=11 10 B =

2 3+⁷₅ 1−¹₄ =

10 15+²¹₁₅

4

4−¹₄ =

10+21 15 4−1

4

=

31 15 3 4

=31 15×4

3=124

45 ; B=124 45 .

II

A = 4 3+5

2× 7 15=4

3+ 5×7 2×15=4

3+ 5×7 2×3×5=4

3+ 7

2×3=2×4 2×3+ 7

2×3=8+7 6 =15

6 =5

2; A=5 2 B = 5×10²×0, 3×10⁻⁶

25×10⁻⁵ =5×0, 3×10²⁺⁽⁻⁶⁾

25×10⁻⁵ =1, 5×10⁻⁴ 25×10⁻⁵ =1, 5

25 ×10⁻⁴⁺⁵=1, 5

25 ×10=15

25=5×3 5×5=3

5; B =3 5

III

1. Dans un repère (O ; I ; J) orthonormé d’unité 1 cm, placer les points : A(-1 ; -1), B(2 ; 3), C(4 ; - 1) et D(7 ; 3).

Figure:

bA

bB

b C

bD

b

H

bR

−1

−2 1 2 3

1 2 3 4 5 6

−1

−2

2. ABC semble isocèle.

• AB= q

(x_B−x_A)²+¡

y_B−y_A¢2

=p

(2−(1))²+(3−(1))²=

p3²+4²=p

9+16=p

25=5. AB=5

• BC = q

(xC−xB)²+¡

yC−yB¢2

=p

(4−2)²+(−1−3)²=p

2²+(−4)²=p

4+16=p

20=2p

5. BC =2p 5

• AC =5 (« évident », car A et C ont la même ordonnée), donc AC =x_C −x_A =5 (puisque x_C >x_A).

AC=5

Le triangle ABC est donc bienisocèleen A.

3. Le périmètre de ce triangle estP₌_AB₊_BC₊_AC₌₅₊₂^p₅₊₅₌₁₀₊₂^p_{5 :} P₌₁₀₊₂^p₅_.

P_≈14, 47 cm. Attention à ne pas donner la valeur approchée avec trop de précision ; certains ont donné le périmètre à la taille d’un atome près ! ! !

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(2)

4. A et C ont la même ordonnée, donc la droite (AC) est parallèle à l’axe es abscisses. La hauteur issue de B est donc parallèle à axe des ordonnées. H et B ont donc la même abscisse. H a pour coordonnées

H(2 ; −1)

L’aire du triangle ABC est A ₌ ^Base^×^Hauteur

2 = AC×B H

2 = 5×4

2 =10 ; A ₌_{10 cm}² _{. (B H} ₌_{4 est}

« évident »)

5. Rest le milieu de [BC].

x_R= xB+xC

2 =2+4

2 =3 ety_R=yB+yC

2 =3+(−1)

2 =1 : R(3 ; 1) 6. • x_A+x_D

2 =−1+7 2 =6

2=3=x_R

• y_A+y_D

2 =−1+3 2 =2

2=1=y_R R est donc lemilieu de [AD].

7. • R est le milieu des diagonales de ABDC : c’est unparallélogramme.

• C D= q

(xD−xC)²+¡

yD−yC¢2

=p

(7−4)²+(3−(−1))²=

p3²+4²=p 25=5.

On constate queAC=C D.

Le parallélogramme a deux consécutifs de même longueur : c’est unlosange

IV

Soient les points A(-5 ; 5), B(3 ; -3), C(-5 ; -3), D(-1 ; 1) et E(9 ; -1) . 1.

Figure

−1

−2

−3

−4

−5

−6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

−9

−10

−11 12

bA

bB

bC

bD

bE

bI

bF

bG

bP

2. x_A+x_B

2 =−5+3

2 = −1=x_D; y_A+y_B

2 =5+(−3)

2 =1=y_D Dest bien lemilieude [AB].

3. • AetCont la même abscisse, donc (AC) est parallèle à l’axe des abscisses.

B etCont la même ordonnée, donc (BC) est parallèle à l’axe des ordonnées.

Les deux axes sont perpendiculaires, donc (AB) et (AC) sont perpendiculaires ; le triangleABC est doncrectangleenC.

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(3)

• De même, A etC ayant la même abscisse, il est clair que AC = y_A−y_C =8 ; B et C ont la même ordonnée, doncBC=xB−xC=8 donc AC=BC : le triangleABC estisocèleenC.

• Le triangle ABC est doncisocèle rectangleenC. 4. (a) x_I= x_A+x_E

2 =−5+9

2 =2 ety_I= y_A+y_E

2 =5+(−1)

2 =2 ;I a pour coordonnées I(2 ; 2) .

(b) Pour que ABEF soit un parallélogramme, il faut que les deux diagonales aient le même milieu donc que I soit le milieu de [BF].

Alors :x_I =x_B+x_F

2 donc 2x_I =x_B+x_F qui donnex_F =2x_I−x_B=2×2−3=1.

De même :y_F =2y_I−y_B=4−(−3)=7.

F a pour coordonnées F(1 ; 7).

5. (a) Dest le milieu de [FG] ; en utilisant les méthodes de la question précédente, on obtient directement (en adaptant les calculs) :

x_G=2x_D−x_F=2×(−1)−1= −3 ety_G=2y_D−y_F=2×1−7= −5 ; G a pour coordonnées G(−3 ;−5) .

(b) Par construction de G, le quadrilatère AGBF a ses diagonales qui se coupent en leur milieu D, donc c’est unparallélogramme.

6. AP = q

(x_P−x_A)²+¡

y_P−y_A¢2

=p

(−10−(−5))²+(6−5)² =p

(−5)²+1²=p

25+1=p

26<6=p 36.

AP<6 donc P est àl’intérieurdu disque de centre A et de rayon 6.

V

f est une fonction définie sur (−4 : 8]. La courbe représentative def est donnée ci-après.

Les points marqués sont à coordonnées entières.

−1

−2

−3 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4 O I

×

J

×

× ×

×

C_f

1. f(−4)=1 ;f(−1)=3 ; f(0)=5 ; f(2)=5 ;f(1, 5)≈5, 9 et f(6)= −1.

2. Les nombres qui ont pour image 2 sontenviron -3,8, -2 et 3.

3. Les solutions de l’équation f(x)= −1 sont les abscisses des points de la courbe qui ont pour ordonnées -1.

On trouve : S ₌_{{5 ; 6}}

4. L’ensemble des solutions de l’équation f(x)=3 est S ₌_{₋_{3 ;}₋_{1 ; 2, 6}}_. Page 3/4

(4)

5. L’ensemble des solutions de l’inéquationf(x)É2 sont les abscisses de tous les points de la courbe dont l’ordonnée est inférieure ou égal à 2 : S ₌_[₋_{4 ;}₋_{3, 8]}_∪_{₋_2}_∪_{[3 ; 8]}_.

6. Tableau de variations de f:

x −4 −3 −2 1 5 5, 6 7 8

f(x) 1

✒ 3

❅❅

❅

❘ 2

✒6

❅❅

❅

❘

−1

✒ 0

❅❅

❅

❘

−3

✒−2

VI

Deux coureursAetB partent en même temps du village pour se rendre à la ville par la même route. Leur course est caractérisée par le graphique suivant : (en gras, le parcours de B et en trait normal, celui de A)

−1 1 2 3

1 2 3 4 5

−1

0

durée distance parcourue

Répondre par vrai ou faux et expliquer : 1. La route monte du village à la ville.

FAUX! la courbe n’a rien à voir avec la pente, donc on ne sait pas.

2. A est toujours devant B.

FAUX! La courbe en trait normal, correspondant au coureur A, est une droite, donc la vitesse du coureur A est constante. Quand elle est en dessous de la courbe correspondant à B, cela veut dire que dans le même temp écoulé, B a parcouru une distance supérieure, donc est devant A.

3. B zigzague d’un côté à l’autre de la route.

FAUX!

4. A arrive le premier à la ville.

FAUX! Les deux courbes se terminent au même point, donc la distance totale est parcourue dans la même durée pour les deux coureurs.

5. B court plus vite que A.

FAUX! La vitesse de B est variable et plus faible que celle de A quand la courbe crespondant B (traits épais) est en dessous de l’autre courbe.

6. VRAI! L’expression da la distance parcourue en fonction de la durée est une fonction linéaire, donc la vitesse est constante.

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