2nde devoir sur feuille n
o2
I
Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), on considère les pointsA(3 ; 2),B(−1 ;−2), etC(5 ; 0).
1. Voir en fin d’exercice
2. SoitMle mieux de [BC] ;xM =xB+xC
2 =2
etyM =yB+YC
2 = −1 donc M(2 ;−1).
3. −→
AB µ−4
−4
¶
doncAB=p
(−4)2+(−4)2=p 32
=p
16×2=4p
2 ; AB=p
32=4p 2. 4. De même :
• −→AC µ2
−2
¶
doncAC=p
22+(−2)2=p 8=2p
2.
• −→BC µ6
2
¶
doncBC=p
62+22=p 40=p
4×10
=2p 10.
AC=p 8=2p
2 et BC=p
40=2p 10.
5. BC2=p
402=40 ; AB2+AC2=p
322+p
82=32+8=40.
On en déduit que : BC2=AB2+AC2 ; d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle
ABCestrectangleen A.
6. Puisque le triangleABCest rectangle enA, son cercle circonscrit a pour diamètre l’hypoténuse [BC], donc pour centreM. Son rayon est doncBC
2 =p 10.
7. M est le milieu de [AD] donc xM = xA+xD
2 d’où
xD=2xM−xAet de mêmeyM=2yD−yA. On en déduit : D(1 ;−4) .
8. Mest le milieu des deux diagonales du quadrilatère AB DC donc c’est un parallélogramme ; celui a un angle droit en A, donc c’est unrectangle.
−1
−2
−3
−4
−5 1 2
1 2 3 4 5
−1
−2
bA
b
B
bC
bM
b
D
II
Soit l’équation (E) : 2
3x−1− 3x
3x+1= 4 9x2−1−1.
• Ensemble de définition : 3x−1=0⇔x=1 3 3x+1=0⇔x= −1
3
9x2−1=0⇔(3x+1)(3x−1)=0⇔x= −1
3oux=1 3 L’ensemble de définition estD=R\
½
−1 3; 1
3
¾
• Pourx∈D, (E)⇔ 2
3x−1− 3x
3x+1− 4
9x2−1+1=0
⇔2(3x+1)−3x(3x−1)−4+(3x−1)(3x+1)
(3x+1)(3x−1) =0
⇔ 9x−3
(3x+1)(3x−1) =0⇔9x−3=0⇔3(3x−1)=0
⇔x=1
3∉Dpuisque1
3est une valeur interdite.
• L’équation n’a donc pas de solution : S= ;
III
Soit l’inéquation (I) 2 x+ 3
x+1Ê0.
• L’ensemble de définition estD=R\ {−1 ; 0}
• Pourx∈D: (I)⇔2(x+1)
x + 3x
x(x+1)Ê0⇔ 5x+2 x(x+1)Ê0.
• 5x+2=0⇔x= −2
5et 5x+2>0⇔x> −2 5.
• x+1>0⇔x> −1
• On renseigne alors un tableau de signes : Page 1/4
x −∞ −1 −2
5 0 +∞
5x+2 − − 0 + +
x − − − +
x+1 − + + +
5x+2
x(x+1) − + 0 − +
• L’ensemble des solutions est S =
¸
−1;−2 5
¸
∪]0;+∞[
IV
Dans un récipient de forme cylindrique, de rayon 4 cm, on verse de l’eau jusqu’à une hauteur de 3,75 cm. Puis, on ajoute une bille dans le récipient. Le liquide recouvre alors la billeexactement.
8 cm 3.75 cm
8 cm R
On veut trouver les rayons possibles de la boule. Pour cela :
1. • Le volume d’eau estV1=π×42×3, 75=60π.
• Le volume de la boule estV2=4 3πr3
• Le volume occupé par l’eau et la boule est V = π×42×(2r) car la hauteur du cylindre occupé par l’eau et la boule est le diamètre de la boule.
• On aV =V1+V2⇔32πr=4
3πr3+60π⇔
96πr=4πr3+180π⇔r3−24r+45=0 en regrou- pant tout ensemble et en simplifiant par 4π. 2. (r−3)¡
r2+3r−15¢
=r3+3r2−15r−3r2−9r+45= r3−24r+45 donc r3−24r+45=(r−3)¡
r2+3r−15¢ 3.
µ r+3
2
¶2
−69
4 =r2+2×r×3 2+9
4−69
4 =r2+3r−15 doncr2+3r−15=
µ r+3
2
¶2
−69 4 .
4. On en déduit : r2+3r−15=
µ r+3
2
¶2
−69 4
=
"µ r+3
2
¸
− p69
2
# "µ r+3
2
¸ +
p69 2
#
= Ã
r+3−p 69 2
! Ã
r+3+p 69 2
! .
5. On en déduit quer3−24r+45=0 équivaut à (r−3)
Ã
r+3−p 69 2
! Ã
r+3+p 69 2
!
=0.
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un des facteurs est nul.
• r−3=0⇔r=3
• r+3−p 69
2 =0⇔r=−3+p 69 2 ≈2, 65
• r+3+p 69
2 =0⇔r=−3−p 69 2 <0
6. Le rayon de la boule doit être positif et inférieur ou égal au rayon du cylindre.
Les deux rayons possibles pour la boule sont r=−3+p
69
2 etr=3.
V
Soit ABC un triangle quelconque. on considère les pointsI,J etK tels que−→AI=1
3
−→ABet−→A J=3−→AC. Figure :
bA
b
B
bC
bI
bJ
1. −→B J=−→B A+−→A J d’après la relation de Chasles.
2. On en déduit :
−→B J=−→B A+−→A J= −3−→AI+3−→AC=3³−→AC−−→AI´
=3³−→AC+−→I A´
=3³−→I A+−→AC´
=3−→IC.
(car−→AB=3−→AIdonc−→B A= −3−→AI)
3. Puisque−→B J =3−→IC, les vecteurs−→B J et−→IC sont coli- néaires, donc les droites (B J) et (IC) sont parallèles.
(etB J=3IC).
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VI
Lors d’un recensement de population, on a relevé le nombre d’enfants par famille dans un village de la région.
Nombre d’enfants par famille 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Effectifs 105 139 97 63 47 33 10 4 2
E.C.C. 105 244 341 404 451 484 494 498 500
1. Le nombre moyen d’enfants par famille est : (0×105)+(1×139)+ ··· +8×2
500 =979
500≈ 1, 958 . 2. L’effectif total estN=500 ; N
4 =125 ; 3N 4 =375 Le premier quartile estQ1=x125=1 (125evaleur) Le troisième quartile estQ3=x375=3 (375evaleur)
25 % des familles ont moins de 1 enfant et 75 % des familles ont moins de 3 enfants.
3. Le nombre de familles ayant au moins 5 enfants est 49.
49 500= 98
1000=9, 8
100=9, 8 % donc 9,8 % des familles ont au moins 5 enfants.
Rappel: la notationx% signifie x
100donc on ne peut pas écrire 49
500×100=9, 8 % ! En effet, 49
500×100=9, 8=980
100=980 % ! VII
Tiphaine passe beaucoup de temps à accorder les couleurs de ses vêtements.
Elle possède par exemple quatre foulard (un noir, un bleu, un rose et un marron) et deux manteaux (un noir et un bleu).
1. Le plus simple est de faire un arbre. On note FN, Fb, Fr et Fm les quatre times de foulard, avec F pour foulard et l’initiale des quatre couleurs.
De même, on note Mn et Mb les deux types de manteaux.
Elle commence par choisir un foulard puis un manteau. On peut représenter la situation par l’arbre suivant :
b b
F n b Mn
b M b
b
F b b Mn
b M b
b
F r
b Mn
b M b
b
F m
b Mn
b M b
Les résultats s’obtiennent en bout d’arbre ; il y a 8 façons possibles de s’habiller.
2. Parmi celles-ci, il y en a 6 qui se font avec des vêtements de couleurs différentes.
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VIII
Au prochain contrôle d’histoire-géographie, les élèves de la classe devront choisir parmi deux sujets : un sujet d’His- toire et un sujet de Géographie.
La moitié des élèves maîtrisent le sujet d’Histoire et les deux tiers maîtrisent le sujet de Géographie.
Seul un quart maîtrise les deux sujets.
On interroge un élève au hasard à la sortie du contrôle.
On noteHetGles événements « l’élève interrogé maîtrise le sujet d’Histoire » et « l’élève interrogé maîtrise le sujet de Géographie ».
1. D’après l’énoncé, on a : p(H)=1
2;p(G)=2
3etp(H∩G)=1 4. 2. p(H∪G)=p(H)+p(G)−p(H∩G)=1
2+2 3−1
4=6+8−3 12 =11
12.
La probabilité qu’un élève choisi au hasard maîtrise le sujet d’Histoire ou le sujet de Géographique est 11 12
3. Ne maîtriser aucun des deux sujets est l’événement contraire deH∩G, donc la probabilité que l’élève interrogé ne maîtrise aucun des deux sujets est 1
12.
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