Applicationslin´eaires Chap27

Applications lin´ eaires

1 Applications lin´ eaires

1.1 Morphisme d’espaces vectoriels

D´efinition. Soit E et F espaces vectoriels sur K et f : E Ñ F. On dit que f est un morphisme d’espaces

vectoriels, ouapplication lin´eaire si et seulement si

(a) @px, yq PE², fpx yq fpxq fpyq

(b) @xPE,@kP K, fpkxq kfpxq

Notation. On noteLpE, Fq l’ensemble des applications lin´eaires E ÑF. D´efinition.

• On appelleendomorphisme de E toute application lin´eaireE ÑE

• On appelleisomorphisme de E dans F toute application lin´eaireE ÑF bijective

• On appelleautomorphisme de E toute application lin´eaireEÑE bijective

• On appelleforme lin´eairetoute application lin´eaireEÑ K

Exemple.

Th´eor`eme.

Soit E, F deux e.v. surK.f : E ÑF est une application lin´eaire si et ssi

@pα, βq P K², @px, yq PE², fpαx βyq αfpxq βfpyq

1.2 Sous-espace vectoriels et applications lin´eaires.

Th´eor`eme.

Soit E etE¹ deux e.v. sur Ketf : E ÑE¹ une application lin´eaire.

(a) SiF est un s.e.v. de E,alorsfpFqest un s.e.v. de E¹

(b) SiF¹ est un s.e.v. de E¹,alorsf¹pF¹q est un s.e.v. deE

Corollaire.

• Kerf txPE t.q.fpxq 0_E1u f¹pt0_E1uqest un s.e.v. deE.

• Imf tyPE¹ t.q. DxPE, fpxq yu fpEq est un sous-e.v. de E¹. Rappel.

• f morphisme injectif ðñ Kerf t0_Eu

• f morphisme surjectif ðñ Imf E¹

Exemple.Caract´eriser `a l’aide de noyau et image la propri´et´egf 0 o`uf etgsont deux applications lin´eaires E ÑF etF ÑGrespectivement.

2 Ensemble Lp E, F q

2.1 Structure d’espace vectoriel de LpE, Fq Th´eor`eme.

LpE, Fq €F^E

F^E est muni d’une structure d’e.v. sur K en posant@f, gPF^E, @kP K

f g : E Ñ F

x ÞÑ fpxq gpxq

kf : E Ñ F x ÞÑ kfpxq

AlorsLpE, Fq est un e.v. sur K, sous espace vectoriel deF^E.

2.2 Composition des applications lin´eaires Th´eor`eme.

La compos´ee de deux applications lin´eairesest une application lin´eaire.

Th´eor`eme.

L’application r´eciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme.

Remarque.

Th´eor`eme.

Soit E,F etG troisK-espaces vectoriels. Les applications suivantes sont lin´eaires :

LpE, Fq Ñ LpE, Gq

u ÞÑ vu

et LpF, Gq Ñ LpE, Gq

v ÞÑ vu

Remarque.

2.3 Structure d’anneau de LpEq

D´efinition. On note LpEq LpE, Eq ensemble des endomorphismesde E.

pLpEq, ,qest un e.v. d’apr`es (2.1). On peut le munir de la loi f g : E Ñ E

x ÞÑ frgpxqs

.

Alors fgPLpEq donc est une loi de c.i. surLpEq. Propri´et´e. pLpEq, ,qest un anneau.

Cons´equence.

Remarque. Pour montrer qu’une application f est un endomorphisme, il faut montrer que :

• f est `a valeurs dansE

• f est lin´eaire

Propri´et´e. On appellegroupe lin´eaire de E, not´e GLpEq,l’ensemble des automorphismes de l’e.v.E, c’est-

`

a-dire des endomorphismes bijectifs de E.

C’est bien un groupe (c’est le groupe des inversibles de l’anneau LpEq).

3 Applications lin´ eaires particuli` eres

3.1 Projecteurs Rappel.

D´efinition. On conserve les notations E E₁`E<sub>2</sub>. On appelle projecteur sur E<sub>1</sub> parall`element `a E₂ ou projection vectoriellel’application :

p : E Ñ E

x ÞÑ x1

o`uxx<sub>1</sub> x<sub>2</sub> est l’unique d´ecomposition de x selonE<sub>1</sub>`E₂. Exemple.

Propri´et´e. Avec les notations pr´ec´edentes :

• p est un endomorphisme deE

• KerpE₂

• ImpE1InvpKerppidq

Th´eor`eme (Caract´erisation des projecteurs).

Soit pPLpEq.

p est un projecteur si et ssippp

Remarque.

3.2 Sym´etries vectorielles

D´efinition. Soit E e.v. sur K, E1 et E2 s.e.v. suppl´ementaires dans E. La sym´etrie par rapport `a E1 de direction E₂ est

s : E Ñ E

x ÞÑ x1x2

o`uxx<sub>1</sub> x<sub>2</sub> est l’unique d´ecomposition de x selonE<sub>1</sub>`E₂. Exemple.

Propri´et´e. Soitp1 le projecteur surE1 de direction E2 etp2 le projecteur sur E2 de direction E1.

Alors p₁ p₂ Id_E etp₁p₂ s.

Cons´equence. Une sym´etrie vectorielle est un endomorphisme.

Th´eor`eme (Caract´erisation des sym´etries).

Soit sPLpEq.

sest une sym´etrie vectorielle si et ssi ssIdE

Remarque.

Corollaire.

3.3 Homoth´eties, affinit´es

D´efinition. Soit E E₁ `E₂ et k P K fix´e. L’affinit´e vectorielle de base E₁, de direction E₂ et de rapport k est l’application

f_k : E Ñ E

x ÞÑ x₁ kx₂

o`uxx<sub>1</sub> x<sub>2</sub> est l’unique d´ecomposition de x selonE<sub>1</sub>`E₂. Exemple. Illustrer l’affinit´e vectorielle dans le cas o`u EV2, et que :

• E1 etE2 sont des droites vectorielles, avec : – k2

– k 1

– k0

• E1 t0u,E2 V2 etk2.

D´efinition. En particulier, si E₁ t0_Eu, alorsf_k s’appelle homoth´etie vectorielle de rapport k, et est un

automorphisme de E si et ssi k0.

Propri´et´e.Si on appellep1 le projecteur surE1 de directionE2 etp2 le projecteur surE2 de directionE1, alors

fkp1 kp2 PLpEq

Remarque. En particulier,si k0, alorsfkp et sik 1 alorsfks.

4 Equations lin´ ´ eaires

D´efinition. Soit E etF deuxK-espaces vectoriels. On appelle´equation lin´eaire une ´equation de la forme :

upxq b

o`u uPLpE, Fq etbPF.xPE est l’inconnueetb lesecond membre.

On appelle´equation sans second membre associ´eel’´equation :

upxq 0F

Remarque.L’ensemble des solutions de l’´equation de d´epart estSu¹ptbuqet celui de l’´equation sans second membre est S0 Keru.

Th´eor`eme.

L’ensemble des solutions de l’´equation lin´eaireupxq b est

ãÑ soitS∅

ãÑ soitSx0 Keru o`u x0 est solution particuli`ere.

Remarque. C’est bien lesous-espace affine passant parx₀, dirig´e parKeru.

Exemple. SoitpEqy² xy¹ysinx. Reconnaˆıtre une ´equation lin´eaire.

Exemple. D´eterminer la structure de l’ensemble des suites r´eelles telles que :

@nP N, u_{n 2}au_{n 1} bu_n

27.1SoitEetFdeuxespacesvectorielssurK,Nunsous-espace vectorieldeEetMunsous-espacevectorieldeF. (a)TtfPLpE,Fqt.q.KerfNetImfMuest-ilunsous- e.v.deLpE,Fq? (b)T1tfPLpE,Fqt.q.N€KerfetImf€Muest-ilunsous- e.v.deLpE,Fq? applin_1.tex 27.2SoitEunespacevectorielsurK,fPLpEq.D´emontrerque UtgPLpEqt.q.gffg0LpEquestunsous-e.v.deLpEq. applin_2.tex 27.3SoitEetFdeuxespacesvectoriels,fPLpE,Fq.Ond´efinit: ϕ:EFÑEF px,yqÞÑpx,yfpxqq Montrerqueϕestunautomorphisme.applin_3.tex 27.4SoitECrXs,pPNetfPLpEqd´efinipar: fpPqp1pXqPX2 P1 fest-elleinjective?fest-ellebijective?applin_4.tex 27.5Soitl’applicationf:R3 ÑR3 px,y,zqÞÑpxyz,2y3z,2xzq Prouverquefestlin´eaire;end´eterminerlenoyauetl’image.Sont-ils suppl´ementaires?fest-elleunprojecteur?applin_5.tex 27.6SoitEetFdeuxK-espacesvectoriels,AetBdeuxsous- espacesvectorielsdeEetfPLpE,Fq. (a)MontrerquefpABqfpAqfpBq. (b)SiEA`B,quepeut-ondiredefpAqfpBq?Etsionajoute deshypoth`esessurf? applin_8.tex 27.7Lesapplicationssuivantessont-elleslin´eaires? (a)R3ÑR2,px,y,zqÞÑpxy,yzq (b)R2 ÑR,px,yqÞÑxy (c)CÑR,zÞÑRepzq (d)RN ÑR3 ,punqnPNÞÑpu0,u1,u2q (e)CÑR,punqnPNÞÑlim nÑ8uno`uCd´esignel’ensembledessuites r´eellesconvergentes. applin_9.tex 27.8D´emontrerqu’ilexisteuneuniqueapplicationlin´eairefP LpR3 ,R2 qtelleque: fp1,0,0qp0,1qfp1,1,0qp1,0qfp1,1,1qp1,1q D´eterminerfpx,y,zqpourtoutpx,y,zqPR3 .D´eterminernoyauet imagedef.applin_10.tex 27.9D´emontrerqu’ilexisteuneuniqueapplicationlin´eairefP LpR2 ,R3 qtelleque: fp1,2qp1,1,0qfp2,1qp0,1,1q D´eterminerfpx,yqpourtoutpx,yqPR2 .D´eterminernoyauetimage def.applin_11.tex 27.10PourfendomorphismedeEespacevectoriel,montrerles ´equivalences: (a)EImfKerfðñImfImf2 (b)ImfXKerft0EuðñKerfKerf2 applin_12.tex 27.11SoitEespacevectoriel,uPLpEqetpunprojecteurde E.MontrerqueImpetKerpsontstablesparusietseulementsiu commuteavecp.applin_13.tex 27.12SoitEespacevectoriel,petqdeuxprojecteursdeE.Montrer que: (a)pqpðñKerq€Kerp (b)pqqðñImq€Imp applin_14.tex 27.13SoitEespacevectoriel,petqdeuxprojecteursdeE. (a)Montrerquepqestunprojecteursietssipqqp0. (b)Montrerquedanscecas:

(b.1)ImpqImp`Imq (b.2)KerpqKerpXKerq applin_15.tex 27.14SoitEunK-espacevectoriel,petqdeuxprojecteursdeE telsquepqqpetKerpKerq.Montrerquepq.applin_6.tex 27.15Ontravaillesurlesprojecteurs:OndonneEunespace vectorielsurK. 1.Unprojecteurestidempotent D´efinition.SoitF1etF2deuxsous-espacesvectorielssuppl´emen- tairesdansE.OnappelleprojecteursurF1parall`element`aF2 l’application p:EÑE xÞÑx1 o`upx1,x2qPF1F2esttelquexx1x2 (a)Rappelerlad´efinition,puislacaract´erisationdessous-espaces vectorielssuppl´ementairesdeE. (b)Montrerquepestbiend´efinie(i.e.quec’estuneapplication),et quepPLpEq. (c)D´emontrerquepestidempotent,c’est-`a-direqueppp (d)D´eterminerImppq. (e)D´eterminerKerppq. 2.Unidempotentestunprojecteur R´eciproquement,soitqPLpEqtelqueqqq. (a)MontrerqueImpqqetKerpqqsontdeuxsous-espacesvectoriels suppl´ementairesdeE (b)MontrerqueqestleprojecteursurImpqqparall`element`aKerpqq. 3.Quelquesexercices (a)SoitpetqdeuxprojecteursdeEtelsquep0,q0etpq. Montrerquelafamillepp,qqestunefamillelibredeLpEq (b)Onreprendlesdonn´eesdel’exercice26.12.Rappelerler´esul- tatobtenu.D´eterminerl’imaged’unvecteurpx,y,zqparlapro- jectionsurFparall`element`aGpuisparlaprojectionsurG parall`element`aF. (c)NotonseIdE.Montrerquesipestunprojecteur,alors qepestunprojecteurets2peestuneinvolution. D´eterminernoyauetimagedeq. applin_16.tex