Universit´e Paris 7 - Denis Diderot Semaine du 7 au 11 mars
UFR de Math´ematiques MM2 (groupe Math1)
Programme de la colle 4
1- Espaces vectoriels
- espace vectoriel sur K = R ou C; sous-espace vectoriel, intersection de sous-espaces, sous- espace engendr´e, partie libre, base (finie) ; coordonn´ees d’un vecteur dans une base ; recherche pratique d’une base quand on connaˆıt des vecteurs qui engendrent ;
- th´eor`eme de la base incompl`ete ; si E est engendr´e par p vecteurs, alors toute partie libre a au plusp ´el´ements ; dimension (finie) d’un espace vectoriel ;
- dimension d’un sous-espace d’un espace vectoriel de dimension finie ; hyperplan ; des sous- espaces emboˆıt´es sont ´egaux si et seulement s’ils ont mˆeme dimension ;
- sous-espaces suppl´ementaires, caract´erisation utilisant les dimensions.
2- Applications lin´ eaires
- d´efinition ; endomorphisme ; isomorphisme d’espaces vectoriels ;
- exemples d’applications lin´eaires, notamment forme lin´eaire et projection
- noyau, image d’une application lin´eaire ; rang d’une application lin´eaire ; application lin´eaire surjective, injective, caract´erisations au moyen du noyau et du rang ;
- si f est une application lin´eaire, alors f d´efinit un isomorphisme entre tout suppl´ementaire du noyau et l’image ; th´eor`eme du rang ; si dim E= dim F < ∞ : bijective est ´equivalent `a injectif...
3- Matrices
- calcul matriciel : somme produit, transpos´ee...
- syst`eme d’´equation et inversion de matrice
- matrice et application lin´eaire ; repr´esentation matricielle ; changement de base.
- rang d’une matrice ;
- matrices et sous-espaces stables
4- Formules de Taylor
- Rappel : d´erivabilit´e, th´eor`emes des valeurs interm´ediaires, Rolle, des accroissements (et in´egalit´es) des accroissements finis
- Formule de Taylor Lagrange (reste exact), corollaire avec in´egalit´e (estimations de l’erreur)
