Chapitre 12 : Calcul intégral – correction exercices 4 et 5 Page 1 sur 1
Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Correction de l ’ exercice 4
Soit f la fonction définie pour xý1 par f(x)= x−2
(x−1)2. Plus rapidement :
1. Déterminons deux réels a et b tels que pour tout xý1, f(x)= a
(x−1)2+ b
x−1 : x−2
(x−1)2=[(x−1)−1]
(x−1)2 = x−1 (x−1)2− 1
(x−1)2 = 1
x−1− 1
(x−1)2 Pour tout xý1, f(x)= a
(x−1)2+ b
x−1 ñ x−2
(x−1)2 = a
(x−1)2+ b x−1 ñ x−2
(x−1)2 = a
(x−1)2+b(x−1) (x−1)2 ñ x−2
(x−1)2 = a−b+b x (x−1)2 ñ
b=1 a−b=-2 ñ
a=-1
b=1 . D’où pour tout xý1, f(x)= -1 (x−1)2+ 1
x−1 2. Calculons
⌡ ⌠
-1 0
f(t)dt :
⌡ ⌠
-1 0
f(t)dt =
⌡ ⌠
-1
0 -1
(t−1)2+ 1 t−1dt=
⌡ ⌠
-1
0 -1
(t−1)2dt +
⌡ ⌠
-1
0 1
t−1dt =
1 t−1 -1
0 +
ln
( |
x−1| )
-1
0 =-1+1 2+
ln(1−x)
-1 0
=-1+1
2+ln1−ln2 = -ln2−1 2
Correction de l ’ exercice 5
Soit I=
⌡ ⌠
0
1 dx
x2+2 et f la fonction définie sur [0;1] par f(x)=ln
(
x+ x2+2)
.Calculons la dérivée de f et déduisons en la valeur de I :
La fo nctio n u: x→x+ x2+2 est dérivable sur [0;1] comme somme de deux fonctions dérivables sur [0;1]
et ┐x☻[0;1], u′(x)=1+ 2x
2 x2+2 = x2+2+x
x2+2 . De plus, u est strictement positive sur [0;1]. Par conséquent, f =lnu est dérivable sur [0;1] et ┐x☻[0;1], f ′(x)=u′(x)
u(x) = 1
x2+2. Donc f est une primitive sur [0;1] de x→ 1 x2+2
Ainsi, I=
⌡ ⌠
0
1 dx
x2+2 =
f(x)
0
1 =f(1)−f(0) =ln
(
1+ 3)
−ln(
2)
= ln
1+ 3
2
