Liste 30

(1)

L.S.Marsa Elriadh

Liste 30

^{M : Zribi}

4 ^ème Maths Exercices

1

Exercice1:

Dans le plan orienté P, on considère un triangle équilatéral BIC tel que [ 2 ]

( IB,IC ) 3

 

  . On pose H=B*C et  le cercle de centre I passant par B. la demi-droite [HI) coupe  au point A. soient D le point diamétralement opposé à C sur  , A' le symétrique de A par rapport à la droite (CI) et R la rotation de centre I et d'angle

3

 . 1- a) montrer que R(A)=A'.

b) montrer que AB=A'C.

2- soit f = S_(AH)oS_(BD) et g=S_(BI)oS_(HI).

a) préciser la nature de g et déterminer ses éléments caractéristiques.

b) déterminer g(C) et g(A').

c) montrer que gof est la rotation de centre B et d'angle 3



 .

3/ soit M un point du plan. On pose r1 la rotation de centre B et d'angle 3

 , r2 la rotation de centre C et d'angle 2 3

 , M1=r1(M) et M2=r2(M).

a) montrer que ( MM ,MM ) ( MB,MC )₁ ₂ [ 2 ] 6

 

 

 

b) déduis E l'ensemble des points M du plan tel que M,M1 et M2 sont alignés.

4/ en décomposant r₁ et r₂ en deux symétries axiales convenablement choisies, montrer que r1or2 est une symétrie centrale dont on précisera le centre.

Exercice 2 :

dans le plan orienté P, on considère un triangle équilatéral ABC tel que ]

2 3[ ) ,

(_AB^_AC _  _.

On désigne par r1 : la rotation de centre A et d’angle 3

 _{; r}

2 : la rotation de centre B et d’angle

3 2 _.

Pour tout point M du plan on pose N=r1(M) et M’=r₂(N).

On pose r=r2or1.

1/ a/ soit D le symétrique de C par rapport à (AB). Déterminer r(D) et r(B)

b/ montrer que r est la symétrie centrale par rapport au milieu w de [BD]

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2

2/ a/ montrer que l’ensemble  des points M du plan tels que M,N et M’

soient alignés est un cercle passant par les points A et w.

b/ prouver que  admet [AD] pour diamètre et que le milieu I de [AB]

appartient à . Construisez . Exercice 3:

dans le plan orienté, on considère un triangle ABC tel que AB=AC et ]

2 2[ ) ,

(_AB^_AC _  ; I le milieu de [BC] ; J le milieu de [CA] et K le milieu de [AB].

R la rotation de centre I et d’angle /2 ;T la translation de vecteur BC 2 1 . On pose f=RoT et g=ToR

1/ déterminer f(K) et g(J)

b/ préciser la nature et les éléments caractéristiques de f et g.

2/ a/ trouver gof^-1(A) et caractériser gof^-1

b/ soit M un point du plan, f(M)=M1 et g(M)=M2. quelle est la nature de ACM2M1.

Exercice 4:

on considère un rectangle ABCD de centre O tel que ABAD.

1/déterminer l’ensemble  des isométries qui laissent globalement invariant [AB].

2/ soit ’ l’ensemble des isométries qui transforment [AB] en [CD].

a/ montrer que pour tout isométrie f de ’ on a tADof’ b/ en déduire l’ensemble ’.

3/ soit  l’ensemble des isométries qui transforment {A,B,D} en {B,C,D}

a/ montrer que si f alors f(O)=O et f(A)=C et f({B,D}={B,D}

b/ en déduire 

4/ déterminer l’ensemble des isométries qui laissent globalement invariant ABCD.

Exercice 5:

on considère dans un plan orienté un triangle IJK tels que IJ =IK et ) 2

,

(_IJ^_IK _ _[2]. On désigne par O le milieu de [JK]. Soit r, r’, r’’ les rotations d’angle /2 et de centre respectifs O, I et K.

1/ a/ montrer que r’=S(OI)oS(IJ)

b/ montrer que r(I)=J

c/ déterminer la droite  tel que r=SoS(OI)

2/ déterminer la nature et les éléments caractéristique de ror’.

3/ a/ déterminer la nature et les éléments caractéristiques de S_(IK)oror’

b/ montrer que r’’or’(J)=K

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c/ en déduire la nature et les éléments caractéristique de l ‘application r’’or’

4/ on pose IJ=a et on désigne par  et ’ les cercles de rayon a et de centres respectifs J et K.

a tout point M de  on associe le point M’ de ’ tel que

)' 2 ,

(_JM^_KM _ _[2] a/ montrer que la médiatrice de [MM’] passe par un point fixe que l’on déterminera

b/ soit M’’ le symétrique de M par rapport à O. montrer que le triangle KMM’’ est isocèle et rectangle

c/ construire M et M’ tel que MM’=2a.

Exercice 6:

soient  et ’ deux droites sécantes en O et non perpendiculaires et soit

 le cercle de centre O et de rayon r qui coupe  en A et B et coupe ’ en C et D.

1/ soit f une isométrie telle que f(O)=O et f()=’.

a/ montrer que f(A)=C ou f(A)=D.

b/ en déduire toutes les isométries qui transforment  en ’ et fixent O.

2/ soit f une isométrie telle que f(O)=O’ et f()=’.

a/ montrer que _tOO'of fixe O et transforme  en ’.

b/ en déduire qu’une isométrie f qui transforme  en ’ s’écrit sous la forme _t_uog avec g une isométrie qui fixe O et transforme  en ’ et u un vecteur directeur de ’.

3/ soient I et J deux points distincts du plan et  le cercle de centre I et de rayon r et ’ le cercle de centre J et de rayon r.

a/ soit f une isométrie ; on pose g=_t_JIof ; montrer que f()=’  g()=.

b/ quelle sont les isométrie qui laissent globalement invariant .

c/ en déduire que les isométries qui transforme  en ’ sont _t_IJoS ou  est une droite passant par I, soit _t_IJor avec r une rotation de centre I.