L.S.Marsa Elriadh
Liste 29
M : Zribi4 ème Maths Exercices
Exercice1:
Dans le plan orienté P, on considère un triangle équilatéral BIC tel que
[ 2 ]
( IB,IC ) 3
. On pose H=B*C et le cercle de centre I passant par B. la
demi-droite [HI) coupe au point A. soient D le point diamétralement opposé à C sur
, A' le symétrique de A par rapport à la droite (CI) et R la rotation de centre I et d'angle
3
.1- a) montrer que R(A)=A'.
b) montrer que AB=A'C.
2- soit f = S(AH)oS(BD) et g=S(BI)oS(HI).
a) préciser la nature de g et déterminer ses éléments caractéristiques.
b) déterminer g(C) et g(A').
c) montrer que gof est la rotation de centre B et d'angle
3
.3/ soit M un point du plan. On pose r1 la rotation de centre B et d'angle
3
, r2 larotation de centre C et d'angle
2 3
, M1=r1(M) et M2=r2(M).a) montrer que
( MM ,MM ) ( MB,MC )
1 2[ 2 ] 6
b) déduis E l'ensemble des points M du plan tel que M,M1 et M2 sont alignés.
4/ en décomposant r1 et r2 en deux symétries axiales convenablement choisies, montrer que r1or2 est une symétrie centrale dont on précisera le centre.
Exercice 2 :
dans le plan orienté P, on considère un triangle équilatéral ABC tel que
] 2 3 [ ) ,
( AB
AC
.On désigne par r1 : la rotation de centre A et d’angle
3
; r2 : la rotation de centre B et d’angle
3 2
.Pour tout point M du plan on pose N=r1(M) et M’=r2(N).
On pose r=r2or1.
1/ a/ soit D le symétrique de C par rapport à (AB). Déterminer r(D) et r(B) b/ montrer que r est la symétrie centrale par rapport au milieu w de [BD]
2/ a/ montrer que l’ensemble des points M du plan tels que M,N et M’ soient alignés est un cercle passant par les points A et w.
b/ prouver que admet [AD] pour diamètre et que le milieu I de [AB] appartient à
. Construisez .
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Exercice 3:
on donne dans le plan orienté un triangle isocèle OO’A avec [2 ] ) 2
' ,
(
AO
AO
; lescercle et ’ passant par A et de centres respectifs O et O’ se coupent en B.
A tout point M de on associe le point M’ de ’ tel que [2 ] )' 2
' ,
(
OM
O M
1/ montrer qu’il existe une rotation r que l’on caractérisera transformant( O en O’ et M en M’.
2/ M étant distinct de B, les droites (BM) et (BM’) recoupent respectivement ’ en N’
et en N. montrer que r(N)=N’
Exercice 4:
dans le plan orienté, on considère un triangle ABC tel que AB=AC et ]
2 2[ ) ,
(
AB
AC
; I le milieu de [BC] ; J le milieu de [CA] et K le milieu de [AB].R la rotation de centre I et d’angle /2 ;T la translation de vecteur
BC 2 1
.On pose f=RoT et g=ToR 1/ déterminer f(K) et g(J)
b/ préciser la nature et les éléments caractéristiques de f et g.
2/ a/ trouver gof-1(A) et caractériser gof-1
b/ soit M un point du plan, f(M)=M1 et g(M)=M2. quelle est la nature de ACM2M1. Exercice 5:
dans le plan orienté, on considère un carré ABCD de centre O tel que ]
2 2[ ) ,
(
AB
AD
; soit M un point de la droite (BD) ; on note P le projetéorthogonal de M sur (AB) et Q le projeté orthogonal de M sur (AD) ; on note P’ et Q’
les projetés orthogonaux de M respectivement sur (DC) et (BC).
1/ on suppose que MB
a/ montrer que [2 ]
)' 2 ,
(
PM
MQ
b/ montrer qu’il existe une rotation r telle que r(P)=M et r(M)=Q’. donner les éléments caractéristiques de r ; qu’elle est l’image de Q par r ?
2/ en déduire que pour tout M(BD), la droite (MC) est perpendiculaire à la droite (PQ).
3/ pour M(BD) on note M la médiatrice de [PQ]
a/ démontrer qu’il existe une rotation r1 tel que r1(B)=A et r1(A)=D b/ quelle est l’image de P par r1 ?
c/ en déduire que lorsque M décrit la droite (BD), la droite M passe par un point fixe.
Exercice 6:
on considère un rectangle ABCD de centre O tel que ABAD.
1/déterminer l’ensemble des isométries qui laissent globalement invariant [AB].
2/ soit ’ l’ensemble des isométries qui transforment [AB] en [CD].
a/ montrer que pour tout isométrie f de ’ on a tADof’
b/ en déduire l’ensemble ’.
3/ soit l’ensemble des isométries qui transforment {A,B,D} en {B,C,D}
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a/ montrer que si f alors f(O)=O et f(A)=C et f({B,D}={B,D}
b/ en déduire
4/ déterminer l’ensemble des isométries qui laissent globalement invariant ABCD.
