Quasi-isométries 2 2.2

OLIVIERGUICHARD

Résumé. SoitΓ^unsous-groupedisretdetypenid'ungroupedeLie semi-simpleG^{.Ondonneiiuneonditionsusantepourquel'injetion}

deΓ^danslegroupeG^{admetunvoisinage de}représentationsdèleset disrètes.

Table des matières

1. Introdution 1

2. Quasi-isométrie et groupeshyperboliques 2

2.1. Quasi-isométries 2

2.2. Groupeshyperboliques 2

3. Quasi-isométries dansungroupe de rang un 4

3.1. Quelquesnotations 4

3.2. Bordde l'espae symétrique, ensemblelimite 6

3.3. Groupesonvexes-oompat s 7

4. Quasi-isométrie dansun groupe derang supérieur 9

4.1. Quelquesnotations 10

4.2. Ationsur G/P_σ ¹¹

4.3. Démonstration du théorème10 13

Annexe A. Lemmes tehniques 14

A.1. Démonstration du lemme9 14

A.2. Démonstration deslemmes de lapartie 4.2 15

A.3. Démonstration du lemme16 17

Référenes 18

1. Introdution

SoitG^{ungroupedeLie}semi-simpleàentreniet soitΓ^unsous-groupe disretdetypenidansG^.LegroupeΓ^{estditplongéquasi}isométriquement dans le groupe G ^{si la distane dénie par la longueur des mots sur} Γ ^est

équivalente à larestritionà Γ ^{d'unedistanesur} G^.

Le but de etartile estde démontrer lethéorème suivant :

Théorème 1. Si de plusΓ ^{est ontenu dans un}sous-groupe G^{∗ de rang un}

de G^{, Alors il existe un voisinage de l'injetion de} Γ ^dans G^{, dans l'espae}

Hom(Γ, G)^desreprésentations,onstituédeplongementsquasiisométriques.

Lorsque legroupe G^{est égal augroupe} G^{∗, legroupe} Γ ^{est plongé quasi}

isométriquementdansG^{sietseulementsilegroupe}Γ^estonvexe-oompa t (théorème 6). Onen déduitalors immédiatement le théorèmesuivant

Théorème 2. Soit G ^{un groupe de Lie}semi-simple de entre ni et G^{∗ un}

sous-groupe derang unde G^.Si Γ ^{est un} sous-groupe onvexe-oompat de

G^{∗ alors il existe un voisinage} U ^{de l'injetion} ι ^de Γ ^dans G ^{dans l'en-}

semble des représentations Hom(Γ, G) ^onstituéde représentations dèles et disrètes.

On n'obtient ependant pas que toute la omposante onnexe ontenant

l'injetion ι^{est onstituée de}représentation dèleset disrètes.

DansleaspluspartiulieroùlegroupeG^estPSLn(R)^etG^∗estPSL2(R)

plongé dans G ^{par la} représentation irrédutible de dimension n ^{et où le}

groupe Γ ^{est le groupe} fondamental d'une surfae ompate, F. Labourie [Lab03℄obtientquetouteuneomposanteonnexe deHom(Γ, G) ^estonsti-

tuéedereprésentationsdèlesetdisrètes,sadémonstrationutilisedesstru-

tures géométriquessur lasurfae. Ii, les démonstrations sont basées sur la

onnaissane de l'ation de Γ^{sur desespaesprojetifs.}

Plan del'artile. La partie3 revient surl'équivalene (déjàonnue) dansle

adredurangunentregroupeonvexe-oompatetgroupeplongéquasiiso-

métriquementdansG^{.Onendéduiraensuitequelesélémentsde}Γ^s'érivent

omme desproduits transverses(lemme7et lemme9),esonséquenesse-

rontutilespourladémonstrationdesthéorèmes1et2.Lapartie4estonsa-

rée àladémonstrationdu théorème1et àun renforement de ethéorème

(théorème 15).Onintroduiradanslapartie 2quelquesdénitionset onrap-

pellera des résultats sur les quasi-isométries et les groupes hyperboliques.

Enn l'annexe Aontient lesdémonstrations de résultatstehniques.

2. Quasi-isométrie et groupes hyperboliques

Cette partie présente quelques rappels surles notions de quasi-isométries

et de groupeshyperboliques.

2.1. Quasi-isométries. Soient (X, d_X) ^et (Y, d_Y) ^{deux espaes métriques,}

et ϕ ^{uneappliation de} X ^dansY

Dénition 1. L'appliation ϕ ^{est un plongement quasi} isométrique ou un

(K, C)- plongement quasiisométrique sipourtout (x, x^′) ^{dans X, on a :} 1

Kd_Y ϕ(x), ϕ x^′

−C ≤d_X x, x^′

≤ Kd_Y ϕ(x), ϕ x^′ +C^.

Elle est une quasi-isométrie ou une (K, C)- quasi-isométrie si elle vérie de plus :

pour tout y appartenant à Y^{, il existe} x ^dans X

ave d_Y(y, ϕ(x))≤C^.

Dans eas,on ditque lesdeux espaes métriquesX ^etY ^{sontquasiisomé-}

triques.

2.2.1. Longueur des mots. Si legroupeΓ ^{estungroupe detype niet} S ^un

systèmeni degénérateursde Γ^telqueS⁻¹ =S^{, onnote}d_S ^ladistanesur Γ ^{invariante àgauhe déniepar lalongueurdesmots,i.e. pourtout}(γ, γ^′)

dansΓ^, dS(γ^′, γ) =ℓS γ⁻¹γ^′

oùl'entier ℓS γ⁻¹γ^′

estlepluspetitentier n

tel queγ⁻¹γ^{′ s'érive ommeun produitde}n^élémentsde S^{.Cettedistane}

sera notée d_Γ ^{lorsqu'il ne sera pas utile de faire référene au système de}

générateursS^{.Pourtoutautresystèmede}générateursS^{′,l'identitéde}(Γ, d_S)

dans (Γ, d_S^′) ^{est une} quasi-isométrie. Seule lalasse de quasi-isométries de la distaned_Γ ^{estdon biendénie.}

2.2.2. GraphedeCayley. LegraphedeCayleyC(Γ, S)^{estlegrapheréeldont}

les sommets sont les éléments de Γ ^{et où deux sommets} γ ^et γ^{′ sont reliés}

par une arête si leproduit γ⁻¹γ^{′ appartient à}S^{. C'est un graphe métrique}

oùtoutes lesarêtessont isométriquesausegment[0,1]^{.LegraphedeCayley}

présente l'avantage d'être un espae géodésique. Si C(Γ, S^′) ^{est le graphe}

de Cayley assoié à un autre système de générateurs S^{′, alors} C(Γ, S^′) ^est

quasiisométriqueàC(Γ, S)^{.C'estdonseulementlalassede}quasi-isométrie du graphe de Cayley qui est bien déni indépendam ment du système de

générateurs.

2.2.3. Espaes métriques hyperboliques. Un segment géodésiqu e entre deux

pointsx^etx^{′d'unespaemétrique}(X, d)^{estuneisométrie}ϕ: [0, d(x, x^′)]→ X ^reliant x^et x^{′. Untelsegment,même s'iln'estpasunique,estnoté}[x, x^′]

etseraleplussouventidentiéàsonimagedansX^{.L'espaemétrique}X^est

dit géodésiqu e s'ilexiste unsegment géodésiqueentren'importe quelouple

de ses points.

Soient x^, x^′, x^{′′ troispointsde} X^{, un triangle} géodésiqu e ou plus simple- ment triangle est la réunion de trois segments géodésiques

1 [x, x^′]^, [x^′, x^′′]

et [x^′′, x]^{. Un triangle est dit} δ^{-n pour un réel} δ ^{positif si haque oté est}

ontenu dansleδ^{-voisinagedesdeux autres,par exemple :}

pour touty ^dans[x^′′, x]^, d y, x, x^′

∪

x^′, x^′′

≤δ^.

Dénition 2. Un espae métrique géodésique X ^{est dit} hyperbolique ou

δ-hyperbolique sitous sestriangles sontδ^-ns.

Dénition 3. Ondit qu'un groupe detype ni est un groupe hyperbolique

si son graphe de Cayley est un espae métrique hyperbolique.

Cette notion ne dépend pas du système de générateurs ave lequel le

graphe estonstruit.

Remarques : Lesgroupes que l'on étudie ii sont automatiquement des

groupes hyperboliques, mais e fait ne sera pas utilisé dansles démonstra-

tions.Onutiliserasurtoutl'hyperboliitédel'espaesymétriqued'ungroupe

de rang un.

2.2.4. Quasi-géodésiq ues. Soit I ^{est un segment (borné ou non) de} R^{, une}

appliation f ^de I ^dans X ^{est une} quasi-géodésiq ue ou une (K, C)^-quasi-

géodésiqu e si 'est un (K, C)-plongement quasi isométrique de I ^dans X^.

Dans un espae métrique hyperbolique, les quasi-géodésiques sont prohes

des géodésiques, 'este qu'énonele lemmesuivant.

1

Lemme 3. (théorème 5.11 p. 87 de [GdlH90℄) Il existe une onstante H

dépendantde K^,C ^et δ ^{telle que :}

si f ^{est une} (K, C)-quasi-géod ésiq ue de I ^{dans un espae} δ-hyperbolique

X^{, alors il existe} g ^{une géodésique d'un interval} J ^dans X ^vériant:

Im(f)⊂ {x∈X / d(x,^Im(g))≤H}

etIm(g)⊂ {x∈X / d(x,^Im(f))≤H}

De plus, g ^{peut être hoisiayant les mêmes extrémités que} f^.

2.2.5. Courbure négative. Les variétés riemanniennes omplètes simplement

onnexes à ourbure setionnelle plus petite que κ < 0 ^{sont des espaes}

métriques hyperboliques. Elles ont la propriété supplémentaire qu'il existe

une unique géodésique reliant deux points donnés, et aussi que les notions

de onvexitéet d'enveloppe onvexeontunsens.Enpartiulier nousaurons

besoin dulemme suivant :

Lemme 4. Soit X ^{une variété} riemannienne omplète simplement onnexe à ourbure pluspetiteque κ <0 ^etn ^{la dimension de} X^{.Il existe un réel} C

tel que :

pour tous x₁^{, ...,} x_n^{, si} C(x₁, . . . , x_n) ^est l'enveloppe onvexe de es n

points et G(x₁, . . . , x_n) ^{la réunion des segments} géodésiqu es reliant deux de es points, alors on a l'inlusion suivante

C(x₁, . . . , x_n)⊂n

x∈X / d x,G(x₁, . . . , x_n)

≤Co

.

Remarques: Celemmeestunegénéralisation del'hypothèse d'hyperbo-

liité à tousles simplexes,passeulement lestriangles.

Démonstration : Par réurrene sur l ≤ n^{, montrons qu'il existe une}

onstante C_l ^tellequeC(x₁, . . . , x_l)⊂ {x∈X / d(G(x₁, . . . , x_l))≤C_l}^.C'est

évidentquandl^vaut1^ou2^{. Soit}l≥3^{et unpoint}y ^deC(x₁, . . . , x_l)^,lagéo-

désiqueissuedex_l^etpassantpary^oupel'enveloppeonvexeC(x₁, . . . , x_l−1)

en un point y^{′. Par} δ-hyperboliité deX ⁽δ ^{dépend de} κ^{),en onsidérant le}

triangle [x_l, y^′]∪[y^′, x1]∪[x1, x_l]^{, le point} y ^{se trouve à une distane infé-}

rieure àδ ^de[y^′, x₁]∪[x₁, x_l]^{, orlesegment}[y^′, x₁]^{estontenudansle}C_l−1^-

voisinage de G(x1, . . . , xl−1) ^par l'hypothèse de réurrene, C_l = δ +Cl−1

onvient don.

3. Quasi-isométries dans un groupe de rang un

Dans ette partie,G^{∗ désigne un groupe deLie} semi-simple 2

àentre ni

etderangun.Onremontrequ'ungroupeΓ^{estplongéquasi}isométriquement dansG^{∗ siet seulementsi} Γ^estonvexe-oompa t. Quelquesonséquenes en sont tirées surl'ation deΓ ^{surl'espae symétrique}X ^{(lemme 7).}

3.1. Quelques notations.

3.1.1. Espae symétrique. SoitK^{∗ un} sous-groupe ompatmaximal deG^∗,

et A^{∗ un sous-espae de Cartan3. Le quotient} X = G^∗/K^{∗ est l'espae sy-}

métrique assoiéà G^{∗. Le point de} X orrespondant à la lassede K^{∗ sera}

2

Ungroupesemi-simpleseratoujours supposéonnexe.

3

L'algèbredeLiedeG^∗s'éritk⊕p^,sommeorthogonale pourlaformedeKilling,où

k ^{estl'algèbre deLiede}K^{∗.Unsous-espaedeCartanestpardénitionun}sous-groupe onnexedontl'algèbredeLieestunesous-algèbreabéliennemaximaleontenuep^.

noté x_K^{∗. Laprojetion}

π :G^∗ →G^∗/K^∗ g7→g·x_K^∗

est alors une quasi-isométrie 4

.

La variétéX ^{a unestruture}riemannienneà ourburenégativeinférieure ou égale à−¹₄^{, e quiimplique que}X ^{est unespae métrique}hyperbolique.

Les élémentsde G^{∗ agissent sur}X ^{par isométrie.}

SoitA^{∗+unehambre deWeylferméede}A^{∗.Toutélément}g^deG^{∗ s'érit}

omme un produitk₁µ₊(g)k₂ (déomposition de Cartan) ave k₁ ^et k₂ ^ap-

partenant à K^{∗ et} µ+(g) appartenant à A^{∗+. L'élément} µ+(g) ^{est unique-}

ment déterminé par g ^{et lorsque} µ₊(g) ^{est non nul, les deux éléments} k₁

et k₂ ^{sont déterminésmoduloun élément du} entralisateur de A^{∗ dans}K^∗, M =K^∗∩Z_G^∗(A^∗)^{, i.e. la lasse}k₁·M ^de k₁ ^dansK^∗/M ^{estuniquement}

déterminée par g^{. L'élément}µ₊(g)^{estidentié àunélément de}R^{+ desorte}

que :

d_X(g·x_K^∗, x_K^∗) =d_X(µ₊(g)·x_K^∗, x_K^∗) =µ₊(g)

La fontion µ₊ : A^∗+ → R^{+ est la restrition à} A^{∗+ d'un morphisme de}

groupe

5 µ^de A^{∗ dans}R^.

3.1.2. Plongement quasi isométrique. Si ϕ : Γ → G^{∗ est un morphisme de}

groupe, et que le groupe Γ ^{est muni d'une distane} d_Γ ^{qui est invariante à}

gauhe, lesremarques préédentes montrent que :

Lemme 5. Le morphismeϕ^{estunplongementquasi}isométriquesietseule- ment s'ilexiste des onstantes (K, C) ^{telles que pourtout} γ ^dans Γ ^:

(1)

1

Kd_Γ(γ, e)−C≤µ₊(ϕ(γ))≤ Kd_Γ(γ, e) +C.

Remarques : Quand le groupe Γ ^{est un groupe de type ni et que la}

distane d_Γ ^{est dénie par la longueur des mots, alors} l'inégalité de droite dans l'équation(1)est toujoursautomatiquement vériée :

en eet, soit S ^{un systèmede} générateurs, siγ ^{s'érit omme un produit} γ₁· · ·γ_n ^{d'élémentsde} S ^ave n=ℓ_S(γ)^,alors

µ+(ϕ(γ))≤ Xn

i=1

µ+(ϕ(γi))≤ Kn ^aveK = max

s∈S µ+(ϕ(s))

Dans e asseule l'inégalité de gauhedans l'équation(1)est signiative.

3.1.3. Raines dans G^{∗. L'ation de} A^{∗ sur l'algèbre de Lie de} G^{∗ est dia-}

gonalisable :

g^∗ =z^∗⊕M

λ6=0

g^∗_λ

où z^{∗ est le} entralisateur de A^{∗ dans l'algèbre de Lie} g^{∗, et} g^∗_λ ^{est l'espae}

propre assoiéà lavaleur propreλ^, 'est-à-dire

g^∗_λ =

v∈g^∗/^Ad(a)·v=e^λµ(a)v ^{pour tout}a^dansA^{∗ .}

4

C'estenorevraisanshypothèsesurlerangdugroupeG^∗

5

Onprendra garde aufait que les restritions de µ+ ^{et de} µ ^{à la hambre} A^{∗− ne}

oïnidentpas,oùA^{∗− estlahambredeWeylopposéeà}A^∗+

Soit N ^le sous-groupe de G^{∗ d'algèbre de Lie} n= L

λ>0g^∗_λ ^et N^{− elui}

d'algèbre de Lien⁻=L

λ<0g^∗_λ^.

3.2. Bord de l'espae symétrique, ensemble limite.

3.2.1. LeborddeX^{. Unrayongéodésiqu ede}X^{estuneisométrie}f :R→X^,

un demi-rayongéodésiqu e estune isométrieg ^de R^{+ dans}X^{, onne ferapas}

en pratique dedistintions entrel'appliatio n f ^(resp.g^{)et sonimage} f(R)

(resp. g(R⁺)^).

Deux demi-rayons géodésiques sont dits équivalents s'ils sont à distane

de Hausdornie. Deux demi-rayonsgéodésiques g ^et g^{′ sont} équivalents si et seulement si, pour un ertainréel H^{, ona :}

pour toutt≥0^, d_X g(t), g^′(t)

≤H

Dénition 4. L'ensemble des lasses d'équivalene de demi-rayons géodé-

siques est appelé lebord deX^{, et est noté} ∂X^{. Le bord de}X ^{est ompat.}

Dans l'espae symétrique X^{, tout rayon géodésique est de la forme} g· A^∗ ·x_K^{∗ pour un} g ^{dans le groupe} G^{∗ et tout demi-rayon géodésique est}

de laforme g·A^∗+·x_K^{∗. Tout demi-rayongéodésique estainsiéquivalent à}

un rayon de la forme k·A^∗+·xK^{∗ ave} k ^{un élément du groupe} K^{∗. Deux}

demi-rayonsgéodésiques quisont delaformek₁·A^∗+·x_K^{∗ et} k₂·A^∗+·x_K^∗

sontéquivalentssietseulements'ilssontégaux,equiestéquivalent àavoir

k₁⁻¹k₂ ^dansM^.

Le bord ∂X ^{est muni d'une ation de} G^{∗ ar le groupe} G^{∗ agit sur l'en-}

semble desdemi-rayonsgéodésiques en respetant larelation d'équivalene.

Le bord ∂X ^{est en fait un} K^{∗-espae homogène,} ∂X ≃ K^∗/M^{, don l'en-}

semble ∂X ^{peut être muni d'unemétrique} riemannienne K^∗-invariante. De pluslaréunionX∪∂X ^estnaturelleme ntunespaetopologiqueompat.En eet ladéomposition deCartan montrequeX\ {x_K^∗} ^esthoméomorpheà

K^∗/M×]0,+∞[^etainsiX∪∂X\{x_K^∗}^esthoméomorpheàK^∗/M×]0,+∞]^.

Lepointde∂X orrespondantàA^∗+·x_K^{∗eststabilisépar}N^,eluiorres-

pondant à A^∗−·x_K^{∗ est stabilisé par} N^{−. Plus préisément le}stabilisateur du point dubord A^∗+·xK^{∗ dans}G^{∗ estlegroupe} parabolique P =M A^∗N

et l'ation du groupe N^{− sur le bord} ∂X ^{a exatement deux orbites6 : le}

point A^∗−·x_K^{∗ et son} omplément air e N⁻·A^∗+·x_K^{∗ qui est une orbite}

ouvertehoméomorphe à N^−.

3.2.2. Ensemble limite. Soit Γ^un sous-groupe de G^∗.

Dénition5. l'ensemblelimiteΛ_Γ^dugroupeΓ^{estdéniommel'adhérene}

d'une orbite Γ·x ^{dans lebord} ∂X^{, pourun point} x ^de X^.

Cettedénitionestindépendant edel'orbiteonsidérée.Unpointξ^de∂X

appartient àΛ_Γ^{, siet seulement s'ilexiste une suite} (λ_n) ^de Γ^{telle que}

n→∞lim λ_n·x_K^∗ =ξ^.

La suite (λ_n·x_K^∗)_n∈N ^{est une suite de points de l'espae symétrique} X

qui onverge dans le bord de X^{. Si} λn = knank^′_n ^{est la} déomposition de Cartan deλ_n^{, alors}ξ = limn→∞k_n·M^{, lalimite étantonsidérée iidansle}

quotientK^∗/M ^{qui s'identie}naturelleme nt à∂X^{.Dansleasoùlegroupe}

6

Γ ^{est non} élémentaire , l'ensemble limite Λ_Γ ^{n'est pas vide et 'est le plus}

petit fermé invariant de∂X^{par l'ation.}

3.3. Groupes onvexes-oompats. Soit Γ ^un sous-groupe de G^{∗, son}

ensemble limite Λ_Γ ^{estsupposénon vide.Onnote}C(Γ)l'enveloppe onvexe dans X ^de Λ_Γ^{. C'estun fermé de}X ^{invariant par l'ation de}Γ^{, 'estmême}

le pluspetitonvexe fermé deX ^{invariant par l'ation de}Γ^.

Dénition 6. Le groupe Γ ^{est dit}onvexe-oompat sil'ationde Γ ^{sur le}

onvexe fermé C(Γ)^{est oompat et s'il est disret dans} G^∗.

Le théorème suivant établitl'équivalene annonée :

Théorème 6. [Bourdon, Gromov℄ Soit Γ ^un sous-groupe de type ni d'un groupe de Lie G^∗ semi-simple à entre ni et de rang un. Le groupe Γ ^est

muni de la distane dénie par la longueur des mots. On note ι : Γ → G^∗

l'injetion. Les deuxarmations suivantessontalors équivalentes :

(1) lemorphisme ι ^{est un plongement quasi} isométrique.

(2) lesous-groupe Γ ^deG^{∗ est} onvexe-oo mpat.

Remarques:Lesénonés(1)et(2)impliquenttouslesdeuxquelegroupe

Γ ^{est ungroupe} hyperbolique, equi sera désormaissupposé.

Ladémonstrationsetrouvedansl'artiledeM.Bourdon[Bou95℄,proposi-

tions1.8.2,1.8.6etexemple1.8.7.Nouslareproduisonsiipourlaommodité

du leteur.

Démonstration : Supposons queι^{estunplongement quasi}isométrique.Il faut prouver qu'il existeun réel D^{positiftelque l'ona}

C(Γ)⊂ {x∈X / d(x,Γ·x_K^∗)≤D}

e quivasedémontrer endeuxétapes; soitG(Γ)^{laréuniondes}géodésiques de X ^{dont les deux extrémités sont des points de l'ensemble limite} Λ_Γ^{, il}

sut de montrer qu'ilexiste deux réelsD₁ ^et D₂ ^{tels que:} C(Γ)⊂ {x∈X / d(x,G(Γ))≤D₁} G(Γ)⊂ {x∈X / d(x,Γ·x_K^∗)≤D₂}

La première inlusion résulte du lemme 4 et du fait que le théorème de

Carathéodor yestvalabledansX^{.Ilresteàdémontrerladeuxièmeinlusion.}

Le groupe Γ ^{ontient des} géodésiques (pour la longueur des mots) entre n'importequel oupledeespointsetl'injetionι^estun(K, C)-plongement quasi isométrique pour des onstantes (K, C)^{. On en déduit que le sous-}

ensembleΓ·x_K^{∗ de}X ^ontientdes(K, C)-géodésiques entren'importequel ouple de points. D'après le lemme 3, il existe une onstante H ^{telle que}

si f ^{est une} (K, C)-géodésique entre deux points x ^et x^{′ alors le segment}

géodésique [x, x^′] ^{est inlus dans le} H^{-voisinage de l'image Im}(f)^{. Notons} G(Γ·x_K^∗)^{laréuniondessegments}géodésiques entredeuxpointsdeΓ·x_K^∗,

on a prouvé que:

G(Γ·x_K^∗)⊂

x∈X / d(x,Γ·x_K^∗)≤H

Si maintenant ξ ^et ξ^{′ sont dans l'ensemble limite} ΛΓ^{, alors tout point de la}

géodésique ]ξ, ξ^′[^{estadhérentà} G(Γ·x_K^∗)^{, e quiterminela}démonstration de ladeuxième inlusion et de l'impliation (1)⇒ ^{(2)duthéorème.}

7