I.2 Isométries et orientation de l’espace

Orientation de l’espace - Produit vectoriel I Orientation de l’espace

I.1 Sens direct

Soit (~u_x, ~u_y, ~u_z) une base orthonormée (BON).

Cette base est considérée comme directe si on peut la réaliser à l’aide de la règle de la main droite (voir schéma ci-contre).

Par permutation circulaire (x → y → z → x), les bases (~u_y, ~u_z, ~u_x) et (~u_z, ~u_x, ~u_y) sont égale- ment des bases orthonormées directes.

La base (~u_x, ~u_y,−~u_z) est alors dite base indi- recte.

I.2 Isométries et orientation de l’espace

Les translations, rotations et symétries planes constituent des isométries de l’espace : ces transformations conservent les distances entre deux points.

Contrairement aux translations et aux rotations, qui conservent l’orientation de l’espace, les symétries planes l’inversent (voir la notion de chiralité en chimie).

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II Produit vectoriel de deux vecteurs

II.1 Notation

Le produit vectoriel de deux vecteursA~ et B~ est unvecteur noté¹ A~∧−→

B

II.2 Définition

• Dans le cas oùA~ etB~ ne sont pas colinéaires,A~∧−→

B est perpendiculaire au plan défini par les vecteurs A~ et B~ :

A~∧−→

B ⊥A~ et A~∧−→ B ⊥B~

• A~∧−→

B est orienté de telle sorte que le trièdre (A, ~~ B, ~A∧−→

B)est un trièdre direct.

• La norme de A~∧−→

B vérifie

kA~∧−→

Bk=kAkk~ B~k|sinα|

Interprétation géométrique : kA~∧−→

Bk=A

avecA l’aire du parallélogramme construit avec A~ etB~.

II.3 Propriétés

• A~∧B~ =~0ssi A~ etB~ sont colinéaires (B~ =k ~A, k ∈R).

• A~∧B~ =−B~ ∧A~

• A~∧λ ~B =λ(A~∧B)~

• A~∧(B~ +C) =~ A~∧B~ +A~∧C~

1. les ouvrages anglo-saxons le notentA~×−→ B

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II.4 Cas particuliers des vecteurs d’une base orthonormée directe

Considérons la base orthonormée directe (~ux, ~uy, ~uz). On a la relation :

~

u_x∧~u_y =~u_z

et par permutation circulaire (x→y→z →x)

~

u_y∧~u_z =~u_x

~

u_z∧~u_x =~u_y

On peut reprendre les mêmes relations pour les BON directes cylindriques (~u_r, ~u_θ, ~u_z) et sphériques (~u_r, ~u_θ, ~u_ϕ).

II.5 Expression en fonction des coordonnées

Soient deux vecteurs V~₁ et V~₂ de composantes respectives (x₁, y₁, z₁) et (x₂, y₂, z₂) sur une même base orthonormée directe (~u_x, ~u_y, ~u_z).

Les composantes de V~₁∧V~₂ sur cette même base (~u_x, ~u_y, ~u_z) se calculent comme suit :

V~₁∧V~₂ =

x₁ y₁ z₁

∧

x₂ y₂ z₂

=

y₁z₂−z₁y₂ z₁x₂−x₁z₂ x₁y₂−y₁x₂

Méthode :

Pour calculer la composante suivant~u_x, on raye la première ligne et on calcule le déterminant associé aux deux lignes restantes :

(V~₁∧V~₂).~u_x=

y₁ y₂ z₁ z₂

=y₁z₂−z₁y₂

On détermine ensuite les autres composantes soit par permutation circulaire (x_i →y_i →z_i → xi), soit par le calcul des déterminants :

(V~₁∧V~₂).~u_y =

z₁ z₂ x1 x2

=z₁x₂−x₁z₂ et (V~₁∧V~₂).~u_z =

x₁ x₂ y1 y2

=x₁y₂−y₁x₂

Vérification :

V~₁∧V~₂ = (x₁~u_x+y₁~u_y+z₁~u_z)∧(x₂~u_x+y₂~u_y +z₂~u_z)

=x1x2~ux∧~ux+x1y2~ux∧~uy+x1z2~ux∧~uz

y₁x₂~u_y ∧~u_x+y₁y₂

~u_y∧~u_y+y₁z₂~u_y∧~u_z z₁x₂~u_z∧~u_x+z₁y₂~u_z∧~u_y+z₁z₂~u_z∧~u_z

= (y₁z₂−z₁y₂)~u_x+ (z₁x₂−x₁z₂)~u_y + (x₁y₂−y₁x₂)~u_z

Remarque : ce calcul reste applicable sur toute BON directe, en particulier les BON directes des coordonnées cylindriques (~u_r, ~u_θ, ~u_z) et sphériques (~u_r, ~u_θ, ~u_ϕ).

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III Double produit vectoriel

(A~∧B)~ ∧C~ = (A. ~~C)B~ −(B. ~~ C)A~

Le vecteur(A~∧B~)est normal au plan défini parA~ etB~ (on supposeA~ etB~ non colinéaires).

Le vecteur (A~∧B)~ ∧C~ est perpendiculaire à(A~∧B)~ c’est-à-dire à la normale au plan défini par A~ et B~ : il s’écrit donc comme une combinaison linéaire de A~ et de B~. Les coefficients correspondent aux produits scalaires des deux vecteurs restants. On commence par le produit scalaires des deux vecteurs les plus éloignés, le second est alors construit avec les deux vecteurs les plus proches.

Remarque : on pourrait aussi écrire, en procédant de la même manière, A~∧(B~ ∧C) = (~ A. ~~C)B~ −(A. ~~ B)C~

IV Produit mixte

IV.1 Définition

Le produit mixte est le scalaire défini par

(A~∧B). ~~ C = det(A, ~~ B, ~C)

Il correspond au déterminant de (A, ~~ B, ~C).

IV.2 Propriétés

• Le produit mixte est nul ssi deux vecteurs au moins sont colinéaires.

• Le produit mixte est invariant par permutation circulaire : (A~∧B). ~~ C= (B~ ∧C). ~~ A= (C~ ∧A). ~~ B

• Le produit mixte correspond au volume du parallélépipède construit à l’aide des vecteurs (A, ~~ B, ~C).

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