Série 23

EPFL 14 mai 2007 Algèbre linéaire

1ère année 2006-2007

Série 23

L’exercice 4 est à rendre le 21 mai au début de la séance d’exercices.

Exercice 1 Déterminer les vecteurs propres généralisés des opérateurs T_i :R³ →R³ suivants et en déduire leurs polynômes caractéristiques :

T₁(x, y, z) = (x, x+y, y+z)

T₂(x, y, z) = (0, x, y) T₃(x, y, z) = (x+y, x+y,0)

Exercice 2 On rappelle que C_T désigne le polynôme caractéristique de l’opérateur T. Démon- trer ou donner un contre-exemple à l’énoncé suivant : si C_T =C_T⁰ alors T =T⁰.

Exercice 3 Quel est le polynôme caractéristique d’un opérateur nilpotent d’un espace vectoriel de dimension finie ?

Exercice 4 Soit C_T le polynôme caractéristique de l’opérateur T ∈ L(V). Montrer que T est inversible si et seulement si CT(0)6= 0.

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