L.S.Marsa Elriadh
Série 23
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1 09/10 Exercice 1:
Calculer l’intégrale I
2 1
3
0 0 0
4 2 4 3
0 0 0
4
3 4
0 0
2 sin
1) ; 2) 3)
(2 )² (2 ²)² (2 cos )
2 6) cos sin
4) cos ² 5) cos ² ²
7) cos sin ² 8) (cos 2 sin ² )
2
dt t t
I I dt I dt
t t t
dx x dx I x x dx
I x I x
I x xdx I x x dx
Exercice 2:
Calculer, au moyen d’une intégration par partie, l’intégrale I :
2 2 2
0 0 0
2 4
3
0 0 0
3 2
0 0
1) sin 2) cos 3) ² sin
3) ( 1)² sin 2 4) cos 3 5) cos
6) ² sin 2 7) cos 2
I x x dx I x x dx I x x dx
I x x dx I x x dx I x x dx
I x x dx I x x dx
Exercice 3:
Soient I et J les intégrales suivantes :
0 0
cos ² ; sin ²
I x x dx J x x dx
1) calculer I+J et I-J.
2) en déduire I et J.
Exercice 4:
soit f la fonction définie par f(x)=
² 1 x x
1) étudier f et construire sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( , , )O i j .
2) soit un réel strictement supérieur à 1, calculer l’aire A( ) de la partie du plan délimité par la courbe , l’axe des abscisses et les droites x= et x= +1.
3) Déterminer lim A( )
Exercice 5:
Soit la fonction f définie sur I= [0,1] par f(x)=2 xx.
1) étudier la dérivabilité de f sur [0,1] et dresser son tableau de variations.
2) a) Montrer que f est une bijection de I sur un intervalle J que l’on précisera. On note g sa fonction réciproque.
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2 09/10 b) étudier la dérivabilité de g sur J.
3) Tracer dans un repère orthonormé ( , , )O i j f et g. 4) Expliciter g(x) pour xJ.
5) Calculer l’aire délimitée par f et g . Exercice 6:
Soit la fonction f définie sur ]-1,+ [ par 3
0
( ) 1
x dt f x t
1) montrer que f est dérivable sur ]-1,+ [ et calculer sa fonction dérivée.
2) Soit U la suite définie sur IN par Un= 3
01
n dt
t
a) démontrer que la suite U est croissante.
b) Démontrer les inégalités suivantes : U1 < 1 et Un < 3
1 n dt
tc) En déduire que U est majorée et par suite, convergente.
Exercice 7:
1) calculer pour tout réel x positif I(x)=
0
1 ²
x
t t dt
.2) Soit la suite définie sur IN* par In(x)=
0
1 ²
x
tn t dt
.a) trouver une relation de récurrence entre In(x) et In-2(x).
b) que devient cette relation pour x=1 ? en déduire I2p(1) et I2p+1(1).
Exercice 8:
soit U la suite définie sur IN par:
1 1
0 1
0
1 ²
1 ²
n n
x dx x
dx x
U U x
1/ calculer U1.
2/ a) montrer que Uest décroissante, en déduire que U est convergente.
b) montrer que
1 n U 1 ) n 1 ( 2
1
n
. Déterminer la limite de U.
3/ on pose In=1
0 2
n 1 x²dx
x ; pour n ≥ 3.
a) vérifier que Un+Un-2=In.
b) montrer que pour n ≥ 3; nUn+(n-1)Un-2= 2. En déduire que (2n-1) Un≤ 2.
c) montrer alors que (nUn) est convergente et calculer sa limite.
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