Corrigé de la série 23

EPFLAlgèbre linéaire 1ère année 2007-2008

Corrigé de la série 23

Exercice 1. La seule valeur propre est0et son espace propre généralisé estC², commeT² = 0. Exercice 2. Considérons d'abord les applications S. Soit BS = (v, w) et écrivons G_λ pour l'espace propre généralisé associé à une valeur propre λ∈spec(S).

[S]_BS =

λ 0

0 µ

, λ6=µ: spec(S) = {λ, µ}, G_λ =V_λ =Rv,E_µ =V_µ=Rw. [S]_BS =

λ 0

0 µ

, λ=µ: spec(S) = {λ},G_λ =V_λ =R². [S]_BS =

λ 0

1 λ

: spec(S) ={λ}, Vλ =Rv, Gλ =R². [S]_BS =

λ −µ

µ λ

: spec(S) = ∅.

Pour les applications T on obtient des résultats entièrement analogues.

Exercice 3. Soit n = dimV. Comme kerNⁿ⁻¹ 6= kerNⁿ nous avons que kerN^j−1 $ kerN^j pour1≤j ≤n, par un résultat du cours. La suite de sous-espaces vectoriels

0 = kerN⁰ ⊆kerN ⊆kerN² ⊆ · · · ⊆kerNⁿ

est donc strictement croissante, et ainsi est donc la suite des dimensions 0 = dim(ker(N⁰))<dim(ker(N))<· · ·<dim(ker(Nⁿ)).

Comme dim(ker(N^j)) ≤ n pour tout j, il n'y a pas d'autre possibilité que dim(ker(N^j)) = j pour 0 ≤ j ≤ n. En particulier, cela nous montre que ker(Nⁿ) = V, ce qui dit que N est nilpotent.