EPFL 5 mai 2008 Algèbre linéaire
1ère année 2007-2008
Série 23
L'exercice 2 est à rendre le 19 mai au début de la séance d'exercices.
Le symbole F désigne soit R, soit C, et V un F-espace vectoriel de dimension nie.
Exercice 1. Soit T ∈ L(C2) dénie par T(w, z) = (z,0). Trouver tous les vecteurs propres généralisés deT.
Exercice 2. Soient S ∈ L(R2) et T ∈ L(C2) des applications linéaires qui sont représentées par des matrices de la forme
[S]BS ∈
λ 0
0 µ
,
λ 0
1 λ
,
λ −µ
µ λ
|λ, µ∈R
[T]BT ∈
λ 0
0 µ
,
λ 0
1 λ
|λ, µ∈C
,
où BS et BT sont des bases convenables de R2 et C2, respectivement. Calculer les espaces propres généralisés de toutes ces S etT.
Exercice 3. Soit N ∈ L(V) tel que ker(NdimV−1) 6= ker(NdimV). Démontrer que N est nilpotent et que dim ker(Nj) = j pour toutj ∈ {0, . . . ,dimV}.
