EXERCICE 1
1 )Cocher la bonne réponse
Soit ABCD un carré de centre O tel que ( , ) ; Sc(B)=E ; f= R( D , oS(CD) alors f est égale : a) S(DE) b) S(AC) c)
2) Dans la figure ci- contre on donne les courbes (Cf) et (Cf′) d’une fonction f et sa dérivé f′.
On donne les points A et B de coordonnées respectives (1,1) et (1,0) et on note (T) la tangente à (Cf) en B(1,0) Répondre par vrai ou faux sans justification
1. La droite (T) est parallèle à la droite (OA).
2. f est une bijection de ]0,+∞[ sur |R.
3. f−1 est dérivable en 0 et (f−1)′(0)=1.
4. La fonction f2 est décroissante sur ]0,1].
Exercice 2 :
1°) On considère dans c l’équation ( E ) : z3 +2iz² - 2iz + 4 = 0
a) Montrer que l’équation ( E) admet une racine imaginaire que l’on déterminera b) Résoudre alors l’équation ( E )
2) Le plan P est muni d’un repère orthonormé direct ( o , , ) . On considère les points A , B et C d’affixes respectifs : ZA = 1+i , ZB = - 2i et ZC = -1 - i et zD= 3-i . On note S(AC) et S(DC) les symétries orthogonales d’axes respectives ( AC) et ( DC) . Donner la nature et les éléments caractéristiques de l’isométrie h = S(AC) o S(DC) .
3) Soit l’application f du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’
tel que z’ = - i + 1 – i
a) Déterminer les images de A et B par f .
b) Montrer que f est une isométrie sans points fixes.
Direction régional de Sousse
Lycée. O.C. M’saken
Professeurs : Mr.Karmous Abdelhamid & Mr.Hassine Salem
Devoir de Synthèse N°1
Date : 04/12/2012
Durée : 3 heures
c) En déduire que f est une symétrie glissante dont on donnera une équation de son axe et l’affixe de son vecteur .
Exercice 3 :
On considère les deux fonctions f et g définies sur IR par : f(x) = + x et g(x) =
+ 1 On note (Cf) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
1) Etudier les variations de g ; en déduire le signe de g (x).
2) a) Etudier les variations de f.
b) Montrer que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l’on déterminera.
c) Expliciter f -1 (x) pour x J
3) a) Montrer que (Cf) admet une asymptote oblique puis étudier la position de (Cf) et b) Tracer les deux courbes (Cf) et (C f -1) dans le même repère.
4) a) Montrer que pour tout réel x, il existe un réel c tel que : f(x+1) –f(x) = g (c) b) En déduire que pour tout x IR, on a : g(x) f(x+1) – f(x) g(x+1)
5) On considère la suite U définie sur IN par : Un =
0
( )
n
k
g k
a) Calculer U0 et U1
b) Montrer que pour tout n de IN ; on a :
c) En déduire que la suite U est convergente et donner sa limite.
Exercice 4:
Soit dans le plan un losange ABCD de centre O tel que ^,
2A B A D 4
et ADEF un carré de sens direct
de centre I.
1) a) Montrer qu’il existe une rotation f unique telle que f A( )E et f B( )D b) Donner une mesure de l’angle de f
c) Soit r la rotation de centre C et d’angle . Montrer que r o f idP , que peut-on conclure ? 2) On pose g f o S (BD) et S(A E) o f o S(BD)
a) Déterminer ( )C et ( )B
b) Donner la nature de , en déduire que (A E) o g S tCE
c) Montrer que tCE S(A E) o S o tIE avec est la médiatrice de
IC3) Soit S(BD) o f et O'S(BC)( )O
a) Déterminer , ( )B et ( )C . Déterminer la nature de b) Montrer que SO o S(BC)
c) Donner la forme réduite de
EXERCICE 5
Soit la fonction définie sur par
1) a) Montrer que est dérivable sur et que pour tout ,
b) Montrer que réalise une bijection de sur un intervalle que l’on précisera 2) a) Montrer que l’équation admet dans une solution unique ( ) b) Calculer . Montrer que la suite est décroissante, en déduire qu’elle converge c) Montrer que pour tout . Déterminer la limite de
3) Montrer que est dérivable sur et que pour tout x ,
