G3 – Les fonctions associées (exercices)
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1
LES FONCTIONS ASSOCIEES
Activité 1
Plongée ou escalade
Une association sportive organise le concours suivant : les candidats sont amenés au pied d’une falaise. Chaque candidat peut, au choix, escalader cette falaise à mains nues et atteindre l’altitude la plus haute possible, ou plonger en apnée et nager le plus profond possible. Le candidat a un temps limité pour réaliser sa performance. L’altitude de référence (0) est le niveau de la mer.
1. a. Que vaut ( ) si est positif ? et si est négatif ?
b. On se place dans un repère orthonormal où en abscisses, 1 cm représente 1 mètre et en ordonnées, 1 cm représente 1 point. Tracer dans ce repère.
c. Quelle propriété de symétrie la courbe représentative de possède-t-elle ? d. Démontrer que la fonction n’est pas linéaire de deux manières :
- en trouvant deux réels a et b tels que ( + ) ≠ ( ) + ( ) ;
- en démontrant que le taux d’accroissement de la fonction n’est pas constant
2. Deux équipes constituées chacune de dix sportifs s’affrontent : l’équipe A et l’équipe B.
Les résultats des concurrents ont été relevés dans le tableau ci-dessous.
Equipe A :
Candidat n° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Altitude 6,5 -10 9,2 3,4 -14,1 10,8 -9 -12,7 6,5 -19,8
Equipe B :
Candidat n° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Altitude -16,9 -9,4 -3,5 7,8 10,3 6,1 5,2 -8 11,1 -14,7
Déterminer quelle équipe a été la meilleure, c’est-à-dire, celle dont la somme des points des candidats est la plus élevée.
Activité 2
Ici, I désigne l’intervalle [1 ;2].
On considère les trois fonctions suivantes : : ⟼1
; : ⟼ ; : ⟼ + 1 1. Tracer sur une calculatrice les fonctions du tableau ci-dessous.
Observer les courbes pour compléter le tableau, en indiquant dans chaque cas, si la fonction est croissante ou décroissante.
⟼ !( ) ⟼ !( )
+ 4 ⟼ !( )
− 2 ⟼ 5!( ) ⟼ −7!( ) ⟼ ' !( ) ⟼ 1
!( ) ( = 1
( = 2 ( = 3
2. Soit + et , deux réels. Utiliser le tableau pour conjecturer les relations suivantes : a. Les variations d’une fonction et d’une fonction de la forme ⟼ ( ) + + ; b. Les variations d’une fonction et d’une fonction de la forme ⟼ , ( ) c. Les variations d’une fonction et d’une fonction de la forme ⟼ ' ( ) d. Les variations d’une fonction et d’une fonction de la forme ⟼-(.)
3. A l’aide des propriétés des fonctions linéaires et polynômes du second degré, apprises en seconde, démontrer les résultats des cases grises
Lorsqu’un candidat choisit l’escalade, s’il grimpe a mètres, il marque a points.
S’il choisit la plongée et qu’il descend à une profondeur de a mètres (qui correspond à une altitude de –a mètres), il marque a points. Le nombre de points marqués a représente donc la distance entre la surface de la mer et le candidat.
On désigne pat la fonction qui a une altitude (positive ou négative) associe le nombre de points marqués.
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CORRECTION
Activité 1
1. a. Si > 0 alors ( ) = et si < 0 alors ( ) = b.
c. L’axe des ordonnées est un axe de symétrie à la courbe représentative de d. - en trouvant deux réels a et b tels que ( + ) ≠ ( ) + ( ) ;
23(4 = −2 54 = 5, 7389 ( + ) = (−2 + 5) = (3) = 3 54 ( ) + ( ) = (−2) + (5) = 2 + 5 = 7
:; (5; 3 ≠ 7 → ( + ) ≠ ( ) + ( )
- en démontrant que le taux d’accroissement de la fonction n’est pas constant 23(4 3 8é579 = −2 ; = 5 54 > = −1,
calculons le taux d’accroissement de la fonction BCDDEF ∶ HI JKLM N’KOOPQRSSITIUJ =V(WX) − V(WY)
WX− WY (−2) − (5)
−2 − 5 = 2 − 5
−2 − 5=−3
−7=3
7 et (−2) − (−1)
−2 − (−1) = 2 − 1
−2 + 1= 1
−2 2.
Equipe A :
Candidat n° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Altitude 6,5 -10 9,2 3,4 -14,1 10,8 -9 -12,7 6,5 -19,8
Score 6,5 10 9,2 3,4 14,1 10,8 9 12,7 6,5 19,8
Le score total de l’équipe A est de 102 points.
Equipe B :
Candidat n° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Altitude -16,9 -9,4 -3,5 7,8 10,3 6,1 5,2 -8 11,1 -14,7
Score 16,9 9,4 3,5 7,8 10,3 6,1 5,2 8 11,1 14,7
Le score total de l’équipe B est de 93 points.
La meilleure équipe est l’équipe A.
Activité 2
I = [1 ;2].
a. Les variations d’une fonction V et d’une fonction de la forme W ⟼ V(W) + Z sont identiques
b. Les variations d’une fonction V et d’une fonction de la forme W ⟼ [V(W) sont identiques si [ > \ et de sens contraire si [ < \
c. Les variations d’une fonction V et d’une fonction de la forme W ⟼ 'V(W) sont identiques
d. Les variations d’une fonction V et d’une fonction de la forme W ⟼V(W)X sont de sens contraire
2.
(1)
> 1 ⇔ > 1 (le signe ne change pas car nous sommes sur iun intervalle positif)
⇔ + 4 > 1 + 4 ⇔ + 4 > 5
Le signe de départ et le signe d’arrivée n’ont pas changé, la fonction est donc croissante
Etc
⟼ !( ) ⟼ !( ) + 4 ⟼ !( ) − 2 ⟼ 5!( ) ⟼ −7!( ) ⟼ ' !( ) ⟼ 1
!( )
( = 1 1
décroissante
1+ 4 décroissante
1− 2 décroissante
5 décroissante
−7 croissante
1
√ décroissante
1 1 = croissante ( = 2
croissante
+ 4 Croissante
(1)
− 2 croissante
5 croissante
−7
décroissante ' = croissante
1
décroissante ( = 3 + 1
croissante
+ 1 + 4
= + 5 croissante
+ 1 − 2
= − 1 croissante
5( + 1)
= 5 + 5 croissante
−7( + 1)
= −7 − 7 décroissante
√ + 1 croissante
1 + 1 décroissante
