Feuille 4,
Algèbre commutative
N. Perrin
À rendre le 19.02.2018 Correction le 20.02.2018
Exercice 1 (2×10 = 20 Points) Soit0→M0 →M →M00 →0une suite exacte.
1. Montrer l’implication : (M0 etM00sont de type fini)⇒(M est de type fini).
2. Donner un exemple qui montre que la réciproque est fausse en général.
Exercice 2 (2×10 = 20 Points) SoitAun anneau etM un module de type fini. Soitf :M →An un morphisme surjectif.
1. Soit(ei)i∈[1,n] la base canonique deAn et soitmi∈M tel quef(mi) =ei pour touti∈[1, n]. SoitN =Am1+· · ·+Amn. Montrer queM 'N⊕kerf.
2. Montrer quekerf est de type fini.
Exercice 3 (30 + 10 = 40 Points) Soit0→M0→u M →v M00→0une suite exacte.
1. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : a. Il existe un sous-moduleN⊂M tel que M 'N⊕u(M0).
b. Il existe un morphismep:M →M0 tel que p◦u= IdM0. c. Il existe un morphismes:M00→M tel quev◦s= IdM00.
2. Une suite exacte vérifiant l’une des propriétés équivalentes ci-dessus est ditescindée. Donner un exemple de suite exacte scindée et un exemple de suite exacte non scindée.
Exercice 4 (20 Points) Soit 0 //M0 //
f0
M //
f
M00 //
f00
0
0 //N0 //N //N00 //0
un diagramme commutatif dont les lignes sont exactes. Montrer l’implication (f0 etf00 isomorphismes)⇒(f isomorphisme).
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