Partie I. Des tableaux entiers particuliers.

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MPSI A - B Année 2014-2015. Devoir commun 3 12/05/2015

Problème 1.

Le but du problème¹ est l'étude du coecient de corrélation linéaire de deux variables aléatoires qu'on aborde d'abord de façon générale (partie I), puis dans un cas particulier (partie II).

PARTIE I

On considère deux variables aléatoires X et Y dénies sur un même espace probabilisé ni. La fonction probabilité est notéeP.

On rappelle queV(X) = 0si et seulement si, avec une probabilité égale à1,Xest constante ; on dit alors queX est constante presque surement.

On suppose ici queV(X)>0.

1. Covariance des variables aléatoires X et Y

a. Donner la dénition de la covariance deX etY, notéeCov(X, Y).

b. Soitλun réel. ExprimerCov(λX+Y, λX+Y)en fonction de V(λX+Y)et en déduire la formule :

V(λX+Y) =λ²V(X) + 2λCov(X, Y) +V(Y).

c. En déduire que

(Cov(X, Y))²6V(X)V(Y).

A quelle condition nécessaire et susante a-t-on l'égalité (Cov(X, Y))²=V(X)V(Y)

2. Coecient de corrélation linéaire des variables aléatoiresX et Y.

On suppose dans cette question les variancesV(X)etV(Y)strictement positives. On rappelle que le coecient de corrélation linéaireρdes variables aléatoiresX etY est

ρ= Cov (X, Y) σ(X)σ(Y).

a. Montrer que ρ ∈ [−1,+1]. Préciser, de plus, à quelle condition nécessaire et susanteρest égal à−1ou+1.

b. Quelle est la valeur de ρ lorsque les variables aléatoires X et Y sont indépen- dantes ?

1d'après ESSEC, option éco, maths 2, 2001

PARTIE II

1. Calculs préliminaires

a. On considère deux entiers naturels q et n tels que n > q. Établir la formule

suivante : _n

X

k=q

k q

= n+ 1

q+ 1

b. En déduire une expression factorisée des quatre sommes suivantes :

n

X

k=1

k,

n

X

k=2

k(k−1) et

n

X

k=1

k²,

n

X

k=3

k(k−1)(k−2).

On considère dans toute la suite de cette partie un nombre entiern >2 et une urne contenantnjetons numérotés de1 àn.

On extrait de cette urne successivement et sans remise deux jetons et on désigne alors par :

• N₁la variable aléatoire indiquant le numéro du premier jeton tiré.

• N2la variable aléatoire indiquant le numéro du second jeton tiré.

• Xla variable aléatoire indiquant le plus petit des numéros des deux jetons tirés.

• Y la variable aléatoire indiquant le plus grand des numéros des deux jetons tirés.

2. Lois conjointe et marginales deN1 etN2.

a. Déterminer les probabilitésP(N1=i)pour16i6netP(N2=j/N1=i)pour 16j6n.

En déduireP(N2=j)pour 16j6n, puis comparer les lois deN1 et N2. b. Calculer les espérancesE(N1)et E(N2), les variancesV(N1)et V(N2).

c. Déterminer les probabilités P(N₁ = i∩N₂ = j)pour 1 6i 6 n et 1 6 j 6 n en distinguant les deux casi=j eti6=j et déterminerE(N₁N₂). En déduire la covariance et le coecient de corrélation linéaire deN₁ etN₂.

d. Exprimer enn sous forme factorisée la varianceV(N1+N2). 3. Lois conjointe, marginales et conditionnelles deX et Y.

a. Soit(i, j)∈[[1, n]]². Déterminer la probabilité P((X =i)∩(Y =j)).

b. En déduire les probabilités P(Y =j)pour2 6j6net P(X =i)pour16i6 n−1.

(On vériera que les formules donnantP(Y =j)etP(X =i)restent valables si j= 1oui=n).

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai Benoît SaleurS1409E

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c. Déterminer les probabilitésPY=j(X =i)et PX=i(Y = j)pour 1 6i < j 6n, puis reconnaître la loi deX conditionnée par Y =j et la loi de Y conditionnée parX =i.

d. Comparer les lois des variables aléatoiresn+1−XetY. En déduire les expressions deE(X)en fonction deE(Y)et deV(X)en fonction deV(Y).

4. Espérances et variances de X etY.

a. Exprimer les espérancesE(Y)etE(X)en fonction den.

b. Exprimer sous forme factoriséeE[(Y(Y−2)], puisE(Y²), V(Y)etV(X)en fonction den.

5. Covariance et coecient de corrélation linéaire de X etY.

a. Vérier queX+Y =N1+N2, puis en déduire sous forme factorisée la variance deX+Y et la covariance de X et Y.

b. En déduire le coecient de corrélation deX etY.

On remarquera que ce coecient de corrélation linéaire deXetY est indépendant den.

Problème 2.

Dans ce problème, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 et Sn désigne l'ensemble des permutations deJ1, nK.

Partie I. Des tableaux entiers particuliers.

On s'intéresse à des tableaux (n+ 1)×(n+ 1) vériant des propriétés particulières relativement au passage d'une case à sa voisine.

Une fonctionddeJ0, nK

2dansJ0, nKest appelée un D-tableau si et seulement si

∀(i, j)∈J1, nK

2:

(d(i, j)−d(i−1, j)∈J0,1K d(i, j)−d(i, j−1)∈J0,1K

∀k∈J0, nK:

( d(0, k) =d(k,0) =k d(n, k) =d(k, n) =n

On peut remarquer que, pour alléger l'écriture, on note d(i, j) au lieu de d((i, j))comme on devrait le faire pour désigner l'image parddu couple(i, j).

On dénit des fonctions particulièresµetµdeJ0, nK

2 dansJ0, nKpar :

∀(i, j)∈J0, nK

2:

(µ(i, j) = max(i, j)

µ(i, j) = min(i+j, n) 1. Exemples.

a. Un jeu de grille. Pour n = 4, compléter le tableau suivant pour former des D- tableaux. Combien de solutions ?

4 3

2 4

1 0

ji 0 1 2 3 4

b. Montrer queµetµsont desD-tableaux.

2. Propriétés. SoitdunD-tableau.

a. Montrer que :∀(i, j)∈J0, nK

2, µ(i, j)≤d(i, j)≤µ(i, j). b. Soit(i, j)∈ J0, nK

2 et δ =d(i, j). Présenter dans des tableaux2×2 les valeurs possibles pourd(i−1, j),d(i, j−1),d(i−1, j−1).

3. SoitdunD-tableau. On dénit dansJ1, nKdes fonctions ϕ_d etϕ^∗_d par :

∀i∈J1, nK, ϕ_d(i) = min{j ∈J1, nKtels qued(i−1, j) =d(i, j)}

∀j∈J1, nK, ϕ^∗_d(j) = min{i∈J1, nKtels qued(i, j−1) =d(i, j)}

a. Justier que ces fonctions sont bien dénies et à valeurs dansJ1, nK.

b. Préciserϕ_d pour leD-tableau suivant :

4 4 4 4 4 4

3 3 4 4 4 4

2 2 3 4 4 4

1 1 2 3 3 4

0 0 1 2 3 4

ji 0 1 2 3 4

c. Préciser ϕµ.

4. Soitj0∈J1, nK, on posei0=ϕ^∗_d(j0)et j1=ϕd(i0).

Montrer qued(i0−1, j0) =d(i0, j0)etd(i0−1, j0−1) =d(i0, j0)−1. En déduirej1≤j0. Pourquoi ne peut-on pas en déduirej1=j0?

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Partie II. Bases et sous-espaces engendrés.

SoitE unK-espace vectoriel de dimensionnet deux bases A= (a1, a2,· · · , an), B= (b1, b2,· · · , bn)

On noteA0=B0={0E}et, pour tout i∈J1, nK:

Ai = Vect (a1,· · ·, ai), Bi = Vect (b1,· · · , bi) On dénit une fonctionddansJ0, nK

2 associée à ces bases par :

∀(i, j)∈J0, nK

2, d(i, j) = dim(A_i+B_j)

1. Tableaux associés.

a. Préciser la fonctionddans le cas particulier oùB=A. b. Montrer quedest unD-tableau.

c. Soiti etj dansJ1, nKtels qued(i−1, j) =d(i, j).

Montrer que d(i−1, k) = d(i, k) pour tous les k ∈ Jj, nK. En déduire que ϕd

(déni0 comme en question I.3.) est bijective.

Dans toute la suite de cette partie, on noteraσ=ϕ_d. 2. Une famille intermédiaire.

a. Montrer que, pour touti∈J1, nK,

dim(A_i∩B_σ(i)) = dim(A_i−1∩B_σ(i)) + 1

b. En déduire qu'il existe des vecteurse₁,· · · , e_n tels que

∀i∈J1, nK:ei∈Ai∩B_σ(i) etei∈/A_i−1∩B_σ(i) 3. On notee⁰_i=e_σ−1(i)pour touti∈J1, nK.

a. Pour touti∈J1, nK, montrer que(e1,· · ·, ei)est une base deAi. b. Pour touti∈J1, nK, montrer que(e⁰₁,· · ·, e⁰_i)est une base deB_i.

Partie III. Aspect matriciel.

Pour toute permutationϕ∈Sn, on notePϕ la matrice dansMn(K)telle que :

∀(i, j)∈J1, nK

2, terme d'indice(i, j)deP_ϕ=

(0 sii6=ϕ(j) 1 sii=ϕ(j)

On dit quePϕ est une matrice de permutation.

Une matriceP ∈ Mn(K) admet une décomposition de Bruhat si et seulement si il existe une permutationθ∈Sn et des matricesU etT dansMn(K)telles que

P =U PθT avec

(U triang. sup. avec des 1 sur la diagonale

T triang. sup. avec des termes non nuls sur la diagonale 1. Multiplication et matrices de permutation.

a. SoitM ∈ M_n(K)etϕ∈S_n. CommentM P_ϕ est-elle obtenue à partir deM? b. Soit ϕ et θ dans S_n. Montrer que P_ϕP_θ est une matrice de permutation (à

préciser).

2. SoitP inversible dansMn(K). En considérantP comme la matrice de passage dans un espace vectorielE d'une base A= (a₁,· · · , a_n) à une baseB= (b₁,· · ·, b_n), montrer queP admet une décomposition de Bruhat.