Partie I. Arithmétique des entiers de Gauss.

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MPSI B Année 2014-2015. DS 6 le 16/01/15 29 juin 2019

Ce problème porte sur les sommes de deux carrés de nombres entiers. On note Σ =

x²+y², (x, y)∈Z²

On appelle entier de Gauss un nombre complexe dont la partie réelle et la partie imaginaire sont des entiers relatifs. On noteZ[i]l'ensemble des entiers de Gauss.

Z[i] =

x+yi,(x, y)∈Z²

Fig. 1: Représentation des entiers de Gauss Question préliminaire.

Vérier queZ[i]est un sous-anneau deCcontenantZc'est à dire que Z⊂Z[i], ∀(z, z⁰)∈Z[i]²: z+z⁰∈Z[i]et zz⁰∈Z[i]

On introduit dans Z[i] des dénitions arithmétiques analogues à celles de Z; on convient de les noter en préxant par un G- . Par exemple :

Soit u6= 0 et v deux entiers de Gauss, on dit que uG-divise v si et seulement si il existew∈Z[i]tel quev=uw.

Soituun entier de Gauss, on noteZ[i]ul'ensemble des G-multiples deu. Z[i]u={wu, w∈Z[i]}

Partie I. Arithmétique des entiers de Gauss.

1. a. Montrer que

∀z∈Z[i], |z|²∈N; ∀(z, z⁰)∈Z[i]², |zz⁰|²=|z|²|z⁰|²

b. Montrer que, pour tout entiern,

n∈Σ⇔ ∃u∈Z[i]tel que n=|u|² En déduire que le produit de deux éléments deΣest dans Σ.

c. Soit u 6= 0 et z dans Z[i]. Montrer que si u G-divise z alors |u|² divise |z|². (divisibilité dansZ)

2. Un entier de Gaussuest dit G-inversible si et seulement si il existe v ∈ Z[i] tel que uv= 1.

a. Montrer que1,−1,i,−isont G-inversibles, préciser les entiers de Gauss inverses.

b. Soit uun entier de Gauss G-inversible, montrer que |u|² = 1. En déduire l'ensemble des éléments G-inversibles.

3. Un entier de Gauss non nul et non G-inversiblezest dit G-irréductible si et seulement si, pour tout G-diviseurvdez,|v|= 1ou|v|=|z|.

a. Étudier le caractère G-irréductible de1 +i, de5, d'un élément de Σ.

b. Montrer que tout entier de Gauss non nul et non G-inversible est G-divisible par un entier de Gauss G-irréductible. En déduire qu'il est le produit d'un nombre ni de G-irréductibles.

4. G-division euclidienne.

a. Montrer que, pour toutx∈R, il existe a∈Ztel que|x−a| ≤ ¹₂. b. Soitu6= 0et zdansZ[i], montrer qu'il existeq etrdansZ[i]tels que

z=qu+ravec|r|²<|u|² (On pourra considérer le nombre complexe _u^z.)

Partie II. Réseaux.

Dans ce problème, un réseau est une partie deZ[i]stable pour l'addition. Autrement dit, une partieRdeZ[i]est un réseau si et seulement si

∀(z, z⁰)∈ R², −z∈ Ret z+z⁰∈ R

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai S1406E

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Il est évident que Z[i] est stable par conjugaison et multiplication par i. On dénit les applicationsc,setrdeZ[i] dansZ[i]par :

∀z∈Z[i], c(z) =z, s(z) =i z, r(z) =iz

Un réseauRest dit 4-symétrique si et seulement si il est stable parr c'est à dire :

∀z∈ R, r(z) =iz∈ R Soitn≥2un entier naturel. On dénitS_n etT_n par :

S_n={z∈Z[i]tq Re(z)≡Im(z) modn}, T_n ={z∈Z[i]tq Im(z)≡0 modn}

1. Vérier ques◦c=−c◦s=r.

2. Soitu∈Z[i]. Montrer queZ[i]uest un réseau et qu'il est 4-symétrique.

Un réseau R est dit carré si et seulement si il existe u ∈ Z[i] tel que R = Z[i]u. Comment peut-on justier ce terme ?

3. Soit n ≥ 2 un entier naturel. Montrer que Sn et Tn sont des réseaux. Pour quelles valeurs denle réseauS_n est-il 4-symétrique ?

4. On se propose de montrer que tout réseau 4-symétrique est carré.

SoitRun réseau 4-symétrique non réduit à0.

a. Soitu∈ R. Montrer que tout G-multiple deuest dansR. b. Montrer qu'il existeu0∈ Rnon nul tel que

∀v∈ R, v6= 0⇒ |u0|²≤ |v|²

c. Montrer queR=Z[i]u₀. Dans quel cas a-t-on|u₀|= 1?

Partie III. Armures et satins.

Dans cette partie¹, pdésigne un nombre premier eta∈Z. On dénitRa par Ra=

xp+yip+z(1 +ia),(x, y, z)∈Z³

1. a. Montrer queRa est un réseau.

1D'aprèsLa géométrie des tissusd'Édouard Lucas. L'armure est le mode d'entrecroisement des ls de chaîne et des ls de trame. Les armures peuvent être représentées par des réseauxRa.

Fig. 2: Un réseau carré.

b. Montrer² queR0=Tp et queR1=Sp. c. Soitaet bdansZ, montrer que

Ra =Rb⇔a≡b modp

2. On suppose quea6≡0 modp. On dit dans ce cas queRa est un satin.

a. Montrer qu'il existea⁰ ∈Ztel queaa⁰≡1 modp. b. Montrer quec(Ra) =R_−a et ques(Ra) =Ra⁰. c. Montrer que si a⁰≡ −a modpalorsR_a est carré.

d. Le réseau de la gure2 est un satin. Déterminer pet a et vérier qu'il est bien carré.

3. a. Montrer que

∀(z, z⁰)∈Z[i]², Im(zz⁰)∈Z b. Montrer que

∀(u, u⁰)∈ R²_a, Im(u u⁰)≡0 modp En déduire queRa6=Z[i].

2NotationsT pour toile etSpour sergé : des types particuliers de tissus.

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c. Montrer que, dans un satinRa, il existeuetu⁰ tels queIm(u u⁰) =p. 4. On suppose qu'il existea∈Ztel quea²+ 1≡0 modp.

a. Montrer queRa est carré.

b. Montrer quepest la somme de deux carrés d'entiers.

Partie IV. Sommes de deux carrés.

Notons Pc l'ensemble des nombres premiers p pour lesquels −1 est un carré modulop c'est à dire tels que

∃a∈Ztel quea²+ 1≡0 modp

NotonsP_c⁰ l'ensemble des nombres premiers qui ne vérient pas cette propriété. On forme ainsi une partition de l'ensembleP de tous les nombres premiers.

1. a. Montrer quePc⊂Σ.

b. Soitnentier naturel non nul. On considère sa décomposition en facteurs premiers.

Montrer que si les valuations v_p(n)sont paires pour les diviseurs premiers dans P_c⁰, alorsn∈Σ.

2. Soitpun nombre premier dansΣavecp=x²+y² pourxety non nuls dansZ.

a. Montrer qu'il existeλet µdansZtels queλx−µy= 1. On posea=λy+µx. b. Exprimerxety en fonction deλ,µ,a.

c. Montrer que(λ²+µ²)p= 1 +a². En déduire quep∈ Pc.

3. Montrer que toutp∈ P_c⁰ est G-irréductible. En déduire, pour tout nombre premierp, l'équivalence entre les trois propositions.

p∈Σ⇔p∈ Pc⇔pn'est pas G-irréductible 4. a. Présenter un G-algorithme d'Euclide et justier sa terminaison.

b. Dénir une notion de G-pgcd et énoncer un G-théorème de Bezout.

c. Calculer un G-pgcd de5 + 5iet de−3 + 4i. 5. a. Énoncer et démontrer un G-théorème de Gauss.

b. Soit n ∈ Σ et p ∈ P_c⁰ un diviseur premier de n. Montrer p² divise n et que le quotient est dansΣ. En déduire que la valuationv_p(n)est paire.

Partie V. Congruences modulo 4.

Cette partie utilise la dénition deP_c de la partie IV mais aucun des résultats démontrés dans les parties précédentes.

Soitp >2 un nombre premier etI=J1, p−1K.

1. Soitx∈I. Préciser l'unique élément deIcongru à −xmodulop. Montrer qu'il existe dansIun unique élément notéx⁰ tel quexx⁰≡1 modp. Cette notationx⁰est valable dans toute la partie.

2. On dénit dansI une relation./par :

∀(x, y)∈I², x ./ y⇔(x⁴+ 1)y²≡(y⁴+ 1)x² modp Montrer que./est une relation d'équivalence.

3. a. L'équationx≡ −x modpadmet-elle une solution dansI? b. Déterminer lesx∈I tels quex=x⁰.

c. On considère l'équationx=p−x⁰avecx∈I. Déterminer l'ensemble des solutions dans le cas où il existea∈Itel que a²+ 1≡0 modp.

Que se passe-t-il lorsqu'il n'existe pas un tela? 4. Factoriser

(x⁴+ 1)y²−(y⁴+ 1)x² En déduire la classe d'équivalence pour./ d'unx∈I. 5. Montrer quep∈ Pc si et seulement sip≡1 mod 4.