Partie I. Des tableaux entiers particuliers.

Énoncé

Dans ce problème, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 et Sn désigne l'ensemble des permutations deJ1, nK.

Partie I. Des tableaux entiers particuliers.

On s'intéresse à des tableaux (n+ 1)×(n+ 1) vériant des propriétés particulières relativement au passage d'une case à sa voisine.

Une fonctionddeJ0, nK

2dansJ0, nKest appelée un D-tableau si et seulement si

∀(i, j)∈J1, nK

2:

(d(i, j)−d(i−1, j)∈J0,1K d(i, j)−d(i, j−1)∈J0,1K

∀k∈J0, nK:

( d(0, k) =d(k,0) =k d(n, k) =d(k, n) =n

On peut remarquer que, pour alléger l'écriture, on note d(i, j) au lieu de d((i, j))comme on devrait le faire pour désigner l'image parddu couple(i, j).

On dénit des fonctions particulièresµetµdeJ0, nK

2 dansJ0, nKpar :

∀(i, j)∈J0, nK

2:

(µ(i, j) = max(i, j)

µ(i, j) = min(i+j, n)

1. Exemples.

a. Un jeu de grille. Pour n = 4, compléter le tableau suivant pour former des D- tableaux. Combien de solutions ?

4 3

2 4

1 0

ji 0 1 2 3 4

b. Montrer queµetµsont desD-tableaux.

2. Propriétés. SoitdunD-tableau.

a. Montrer que :∀(i, j)∈J0, nK

2, µ(i, j)≤d(i, j)≤µ(i, j).

b. Soit(i, j)∈ J0, nK

2 et δ =d(i, j). Présenter dans des tableaux2×2 les valeurs possibles pourd(i−1, j),d(i, j−1),d(i−1, j−1).

3. SoitdunD-tableau. On dénit dansJ1, nKdes fonctions ϕ_d etϕ^∗_d par :

∀i∈J1, nK, ϕ_d(i) = min{j ∈J1, nKtels qued(i−1, j) =d(i, j)}

∀j∈J1, nK, ϕ^∗_d(j) = min{i∈J1, nKtels qued(i, j−1) =d(i, j)}

a. Justier que ces fonctions sont bien dénies et à valeurs dansJ1, nK.

b. Préciserϕd pour leD-tableau suivant :

4 4 4 4 4 4

3 3 4 4 4 4

2 2 3 4 4 4

1 1 2 3 3 4

0 0 1 2 3 4

ji 0 1 2 3 4

c. Préciser ϕ_µ.

4. Soitj₀∈J1, nK, on posei₀=ϕ^∗_d(j₀)et j₁=ϕ_d(i₀).

Montrer qued(i0−1, j0) =d(i0, j0)etd(i0−1, j0−1) =d(i0, j0)−1. En déduirej1≤j0. Pourquoi ne peut-on pas en déduirej1=j0?

Partie II. Bases et sous-espaces engendrés.

SoitEunK-espace vectoriel de dimensionnet deux bases A= (a₁, a₂,· · · , a_n), B= (b₁, b₂,· · · , b_n)

On noteA0=B0={0E}et, pour tout i∈J1, nK:

Ai= Vect (a1,· · ·, ai), Bi= Vect (b1,· · · , bi) On dénit une fonctionddansJ0, nK

2 associée à ces bases par :

∀(i, j)∈J0, nK

2, d(i, j) = dim(Ai+Bj)

1. Tableaux associés.

a. Préciser la fonctionddans le cas particulier oùB=A. b. Montrer quedest unD-tableau.

c. Soiti etj dansJ1, nKtels qued(i−1, j) =d(i, j).

Montrer que d(i−1, k) = d(i, k) pour tous les k ∈ Jj, nK. En déduire que ϕd

(déni0 comme en question I.3.) est bijective.

Dans toute la suite de cette partie, on noteraσ=ϕ_d. 2. Une famille intermédiaire.

a. Montrer que, pour touti∈J1, nK,

dim(Ai∩Bσ(i)) = dim(Ai−1∩Bσ(i)) + 1

b. En déduire qu'il existe des vecteurse₁,· · · , e_n tels que

∀i∈J1, nK:ei∈Ai∩Bσ(i) etei∈/Ai−1∩Bσ(i)

3. On notee⁰_i=e_σ−1(i)pour touti∈J1, nK.

a. Pour touti∈J1, nK, montrer que(e1,· · ·, ei)est une base deAi. b. Pour touti∈J1, nK, montrer que(e⁰₁,· · ·, e⁰_i)est une base deB_i.

Partie III. Aspect matriciel.

Pour toute permutationϕ∈S_n, on noteP_ϕ la matrice dansM_n(K)telle que :

∀(i, j)∈J1, nK

2, terme d'indice(i, j)dePϕ=

(0 sii6=ϕ(j) 1 sii=ϕ(j) On dit quePϕest une matrice de permutation.

Une matriceP ∈ Mn(K)admet une décomposition de Bruhat si et seulement si il existe une permutationθ∈Sn et des matricesU etT dansMn(K)telles que

P=U PθT avec

(U triang. sup. avec des 1 sur la diagonale

T triang. sup. avec des termes non nuls sur la diagonale 1. Multiplication et matrices de permutation.

a. SoitM ∈ Mn(K)etϕ∈S_n. CommentM P_ϕ est-elle obtenue à partir deM? b. Soit ϕ et θ dans Sn. Montrer que PϕPθ est une matrice de permutation (à

préciser).

2. SoitP inversible dansMn(K). En considérantP comme la matrice de passage dans un espace vectorielE d'une base A= (a₁,· · · , a_n) à une baseB= (b₁,· · ·, b_n), montrer queP admet une décomposition de Bruhat.

Corrigé

Partie I. Des tableaux entiers particuliers.

1. Exemples.

a. On commence par compléter les bords avec 0, 1, 2, 3, 4 et 4, 4, 4, 4. Comme les sauts (de gauche à droite et de bas en haut) sont de 0 ou de 1. On complète ensuite la ligne d'index 2, les colonnes d'index 2 et 3. Les valeurs de d(1,1) et d(3,3) sont églement contraintes.

4 4 4 4 4 4

3 3 4 4 4

2 2 3 4 4 4

1 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

ji 0 1 2 3 4

Les valeurs ded(1,3)etd(3,1)sont à choisir parmi3 et4. On peut donc former quatreDtableaux à partir de la donnée de l'énoncé.

b. Pour montrer que µest unD-tableau, on remarque d'abord que si un des deux indices est nul, le plus grand des deux est l'autre doncµ(k,0) =µ(0, k) =k. De même, si l'un des deux estnc'est le plus grand :µ(k, n) =µ(n, k) =n. De plus, si un des deux indices augmente de 1, le plus grand des deux augmente de 0 ou de 1.

De même,µaugmente de 1 au plus lorsque l'un des indices augmente de 1. D'autre part,µ(0, k) = µ(0, k) = min(k, n) =k et si un des indices est n la somme des deux est supérieure à n doncµ(n, k) =µ(, k) = min(n+k, n) =n.

Les fonctionsµet µsont bien desD-tableaux.

2. a. On utilise le fait que la valeur dedd'une case à l'autre n'augmente que de 1 au plus.

d(i, j) = (d(i, j)−d(i−1, j)) +· · ·+ (d(1, j)−d(0, j))

| {z }

itermes≤1

+d(0, j)

=j

≤i+j⇒d(i, j)≤µ(i, j)

d(i, j) = (d(i, j)−d(i+ 1, j)) +· · ·+ (d(n−1, j)−d(n, j))

| {z }

n−itermes≥−1

+d(n, j)

=n

≥ −n+i+n=i

En raisonnant de même entre (i, j) et (n, j) on montre que d(i, j) ≥ j. On en déduitµ(i, j)≤d(i, j).

b. D'après les conditions imposées, six tableaux sont possibles : δ δ

δ δ

δ δ

δ−1 δ

δ−1 δ δ−1 δ

δ δ

δ−1 δ−1

δ−1 δ

δ−1 δ−1

δ−1 δ

δ−2 δ−1 , 3. a. Pour justier la dénition deϕd, il sut de remarquer que pour tout i, il existe unj tel que d(i−1, j) = d(i, j) à savoir j = n. L'ensemble de ces j étant une partie deJ0, nK, il admet bien un plus petit élément. Le raisonnement est le même pourϕ^∗_d. Pour toutj, il existe au moins univériant la relation à savoiri=n. b. Dans chaque colonne de 1 à 4 du tableau donné, on doit chercher en partant du

haut le dernier terme égal à celui à sa gauche. On en déduit : ϕd(1) = 4, ϕd(2) = 3, ϕd(3) = 1, ϕd(4) = 2,

c. Pour calculerϕµ(j), on cherche le plus petit desitel queµ(i−1, j) =µ(i, j)c'est à dire tel quemax(i−1, j) = max(i, j). Or

i≤j⇒max(i−1, j) =j= max(i, j) i=j+ 1⇒max(i−1, j) =i−1<max(i, j) =i

)

⇒ϕ_µ(j) =j.

La fonctionϕ_µ est donc l'identité deJ0, nK.

4. Soitj∈J1, nK, notonsi₀=ϕ^∗_d(j₀)et j₁=ϕ_d(i₀).

Examinons la dénition de i₀ à l'aide des tableaux de la question 2.b. en notantδ= d(i₀, j₀).

d(i₀, j₀−1) =d(i₀, j₀) d(i0−1, j0−1)6=d(i0−1, j0)

)

⇒ tableau de la forme x δ

y δ avecx6=y

⇒

(x=δ y=δ−1 ⇒

( d(i0−1, j0) =d(i0, j0) d(i₀−1, j₀−1) =d(i₀, j₀)−1 Par dénition deϕd :d(i0−1, j0) =d(i0, j0)entraînej1≤j0carj0est alors unj tel qued(i0−1, j) =d(i0, j)etj1est le plus petit de cesj.

On ne peut en déduire que j1 = j0 car il est possible qu'il existe un j < j0 tel que d(i0−1, j) =d(i0, j)(dans l'exemple de la question I.3.b : j0= 4,i0= 2,j1= 2).

Partie II. Bases et sous-espaces engendrés.

1. a. SiB=AalorsAi=Bi pour tous lesidoncAi+Bj=A_max(i,j)et d=µ. b. Comme A₀ = B₀ = {0E}, A_n = B_n = E et dim(A_k) = dim(B_k) = k, les

conditions imposées auxD-tableaux se vérient facilement :

∀k∈J0, nK:

(dim(A_k+B₀) = dim(A₀+B_k) =k

dim(Ak+Bn) = dim(An+Bk) = dim(E) =n

Comme de plusdim(Ak) = dim(Bk) =k, la dimension deAi+Bj augmente de 1au plus lorsque l'un des deux indices augmente de1.

c. On considère icii etj dansJ1, nKtels qued(i−1, j) =d(i, j).

Notons δ =d(i, j) et formons les tableaux de valeurs possibles pour d sur {i− 1, i} × {j, j+ 1}comme en I.2.b. À priori il y en a trois :

δ δ δ δ

δ+ 1 δ+ 1

δ δ

δ δ+ 1

δ δ

Mais le troisième est impossible car il correspond à un cas où dim(Ai−1+Bj) = dim(Ai+Bj) = dim(Ai−1+Bj+1)

À cause des inclusions entre eux, les sous-espaces sont égaux A_i−1+Bj=Ai+Bj=A_i−1+Bj+1

On en tire Bj+1 ⊂ Ai +Bj d'ou Ai+Bj+1 = Ai+Bj en contradiction avec l'inégalité des dimensions.

Ainsi, si une égalité d(i−1, j) = d(i, j) est vériée pour un certain j, elle est valable aussi pourj+ 1 donc pour tous lesj plus grands.

On peut revenir alors sur la question I.4. où l'on se trouvait dans la conguration d(i0−1, j0) =d(i0, j0)etd(i0−1, j0−1)< d(i0, j0−1)

et en déduire cette fois quej0est bien le plus petit desjpour lesquelsd(i−1, j) = d(i, j).

On a montré que j1 = j0 c'est à dire ϕd◦ϕ^∗_d = Id

J1,nK. On en déduit que ϕd

est surjective. Or une application surjective d'un ensemble ni dans lui même est bijective doncϕ_d est bijective de bijection réciproqueϕ^∗_d.

2. a. On utilise la formule sur la dimension d'une somme de deux sous-espaces dans la dénition deσ(i)(lesdimBσ(i) se simplient) :

dim(A_i−1+B_σ(i)) = dim(Ai+B_σ(i))

⇒dim(A_i−1) + dim(B_σ(i))−dim(A_i−1∩B_σ(i))

= dim(Ai) + dim(B_σ(i))−dim(Ai∩B_σ(i))

⇒dim(A_i−1)−dim(A_i−1∩B_σ(i)) = dim(A_i)−dim(A_i∩B_σ(i))

On conclut par :

dimAi= dimA_i−1+ 1⇒dim(Ai∩B_σ(i)) = dim(A_i−1∩B_σ(i)) + 1 b. Comme, à cause des dimensions,A_i−1∩B_σ(i)est une partie stricte deAi∩B_σ(i),

il existe desei dansAi∩B_σ(i)mais pas dansA_i−1∩B_σ(i).

3. a. On raisonne par récurrence suri. Le vecteure1est non nul dansA1∩Bσ(1) donc (e1)est une famille libre de vecteurs deA1. C'est bien une base cardimA1= 1. Supposons que(e₁,· · ·e_i−1)soit une base deA_i et considéronse_i. Par hypothèse il appartient à A_i∩B_σ(i) mais pas à A_i−1∩B_σ(i). Comme il appartient àA_i, la famille(e₁,· · ·, e_i)est une famille ài éléments dans A_i. Comme d'autre part il n'appartient pas à A_i−1 = Vect(e₁· · ·, e_i−1), on peut utiliser une propriété usuelle du cours :

(e₁,· · ·e_i−1)libre ei∈/ Vect(e1· · ·, e_i−1)

)

⇒(e1,· · ·ei)libre

On en déduit que(e₁,· · ·e_i)est une base deA_icari= dimA_i.

b. La famille (e⁰₁,· · · , e⁰_n) est obtenue par permutation des vecteurs de la base (e1,· · ·, en). C'est donc aussi une base ; en particulier elle est libre ainsi que les familles(e⁰₁,· · ·, e⁰_i).

La condition de la question 2.b. est valable pour tous lesi. En substituantσ⁻¹(i) ài, on déduit

e⁰_i∈A_σ−1(i)∩B_i

DeB1⊂ · · · ⊂Bi, on tire quee⁰_k∈Bi pourkentre1et i. La famille(e⁰₁,· · ·, e⁰_i) est donc une famille libre de Bi qui est de dimension i; c'est une base de ce sous-espace.

Partie III. Aspect matriciel

1. a. La matrice M P_σ est obtenue à partir de M en permutant ses colonnes. Plus précisément, la colonneideM Pσ est la colonneσ(i)deM.

On remarque en particulier quePσ=I Pσ est obtenue en permutant les colonnes de la matrice identité.

b. On peut appliquer la question précédente, en désignant par Ci(M) la colonne i d'une matriceM :

Ci(PϕPθ) =C_θ(i)(Pϕ) =C_ϕ(θ(i))(I) =C_ϕ◦θ(i))(I) =Ci(P_ϕ◦θ)

On en déduitPϕPθ=P_ϕ◦θ.

2. Dans cette question, considérons P comme la matrice de passage d'une base A = (a1,· · ·, an)dans une baseB= (b1,· · ·, bn).

On est alors en mesure d'utiliser les résultats de la partie II dont on adopte les nota- tions. On dispose en particulier d'une permutationσ, d'une base E = (e1,· · ·, en)et de la base permutéeE⁰= (e⁰₁,· · ·, e⁰_n).

Pour tous les i ∈ J1, nK, on a prouvé en II.3. que (e1,· · ·, ei) est une base de Ai et (e⁰₁,· · ·, e⁰_i)est une base deB_i. On en déduit que les matrices de passage entreAetE d'une part et entreBetE⁰ d'autre part sont triangulaires supérieures. En remplaçant lese_ipar desλ_ie_iavec desλ_ibien choisis, on peut supposer que les matrices de passage entreAetE n'ont que des1 sur la diagonale.

PosonsU =P_AE : matrice de passage deAversE.

En revanche, pour les matrices de passage entreBet E⁰, les termes diagonaux ne sont pas égaux à1, ils sont seulement non nuls.

PosonsT =P_E⁰_B et écrivons les matrices de passage comme des matrices de l'identité dans des bases distinctes pour l'espace de départ et d'arrivée

P = Mat_BAId_E= (Mat_EAId_E) (Mat_E⁰_EId_E) (Mat_BE⁰Id_E)

=PAEPEE⁰PE⁰B=U P_σ⁻¹T