Approximation des EDP1, master MIMSE Sp´e 1 Feuille TP 1 2014-2015
Probl`emes paraboliques, approximation par diff´erences finies
Dans ce TP, nous allons ´etudier plusieurs sch´emas num´eriques de type diff´erences finies pour r´esoudre l’´equation de la chaleur en 1D :
∂u
∂t − ∂2u
∂x2 = 0.
d´efinie sur l’intervalle ]xmin, xmax[, avec des conditions aux limites de Dirichlet, et la condition initiale u(0, x) =u0(x).
a) Compiler et ex´ecuter le programme contenu dans le fichier chaleur.f90. Avec quelle m´ethode l’´equation de la chaleur est-elle r´esolue ? Quelles condition initiale et conditions aux limites sont utilis´ees ? Faire varier les conditions aux limites et la solution initiale. Afficher les r´esultats avec gnuplot
b) Faire varier les param`etres dt, nx. Afficher les r´esultats avec gnuplot et ´etudier pour quelles valeurs de ces param`etres le sch´ema num´erique est stable.
b) Programmer dans une routine la m´ethode de Gauss-Seidel et la tester sur un exemple.
d) Ecrire une nouvelle routine afin de r´esoudre la mˆeme ´equation avec la m´ethode d’Euler implicite.
Etudier `a nouveau num´eriquement la stabilit´e d ela m´ethode.
e) Idem avec le sch´ema de Crank-Nicholson.
f) Comparer les solutions num´eriques obtenues avec ces trois sch´emas.
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