Conditions aux limites absorbantes pour le système de Maxwell en

Conditions aux limites absorbantes pour le système de Maxwell en

dimension 1 et 2

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Avertissement : le sujet proposé peut sembler long à la première lecture, mais c’est uniquement pour guider les élèves au mieux. Il permet d’illustrer certaines notions théoriques du cours par des résultats numériques.

1 Présentation du problème

Le rayonnement des champs électromagnétiques excités par une source dipolaire mag- nétiquem~ est donné par la résolution du système de Maxwell :

( 0∂ ~E

∂t −−rot→H~ = ~0 µ0∂ ~H

∂t +−rot→E~ = m~

avec des conditions initiales CI nulles àt= 0et s’il y a un obstacle métallique de type conducteur parfait des conditions aux limites CL sur la frontièreΓ:

E~∧~n = ~0 H.~~ n = 0

Classiquement on adimentionne le système pour se ramener à des champs de même grandeur et une vitesse de propagation de 1m/s. On pose comme nouvelles inconnues

E~ −→ q

0

µ0

E~ H~ −→ q_µ

0

0

H~ t −→ ct= √¹0µ0t

et le système adimensionné devient







∂ ~E

∂t −−rot→H~ = ~0

∂ ~H

∂t +−rot→E~ = m~ +CL+CI

On se limite à un problème bi-dimensionnel : il y a symétrie de translation par rapport à l’axe z, soit_∂z^∂ = 0.

Montrer que le système se découple en 2 systèmes découplés, l’un en(Ex, Ey, Hz) et l’autre en(Hx, Hy, Ez). Le premier problème est dit de polarisation TE (Transverse Electrique) et le deuxième problème est dit de polarisation TM (Transverse Magné- tique).

On se limitera dans la suite à la polarisation TE.

2 Schéma bi-dimensionnel

Montrer que le système 2D à résoudre s’écrit :















∂Ex

∂t −^∂H_∂y^z = 0

∂Ey

∂t +^∂H_∂x^z = 0

∂Hz

∂t +^∂E_∂x^y −^∂E_∂y^x = mz

+CI :

E_x(x, y,0) =E_y(x, y,0) =H_z(x, y,0) = 0

On propose pour résoudre le système de Maxwell précédent un schéma aux dif- férences finies dit Saute Mouton. Les champsE~etH~ sont positionnés sur des mailles décalées en temps et en espace. Le schéma est centré en temps et en espace :

ExetEysont déterminés aux temps(n+¹₂)∆t, H_zest déterminé aux tempsn∆t.

On utilise en espace une grille à pas∆x et∆y fixes, les points d’indice entier corrrespondront aux traits de la grille.

E_xest positionné aux points((i+¹₂)∆x, j∆y), E_yest positionné aux points(i∆x,(j+¹₂)∆y), H_yest positionné aux points(((i+¹₂)∆x,(j+¹₂)∆y).

Faire un dessin, on représenteraEx etEy par des flèches orientées suivant leur direction etHz par un point dans un rond (convention classique pour une direction perpendiculaire au plan).

On adopte la notation suivante des inconnues :









 Eⁿ⁺

1 2

x,i+¹₂,j = Ex( (i+¹₂)∆x, j∆y, (n+¹₂)∆t) E_y,i,j+ⁿ⁺¹² 1

2

= Ey( i∆x, (j+¹₂)∆y, (n+¹₂)∆t) H_z,i+ⁿ 1

2,j+¹₂ = H_z( (i+¹₂)∆x, (j+¹₂)∆y, n∆t) Le schéma s’écrit alors pour les points strictement intérieurs:

E^{n+ 12}

x,i+ 12,j−Eⁿ⁻

1 2 x,i+ 12,j

∆t −

Hⁿ_{z,i+ 1}

2,j+ 12−H_{z,i+ 1}ⁿ

2,j−1 2

∆y = 0

E^{n+ 12}

y,i,j+ 12

−Eⁿ⁻

1 2 y,i,j+ 12

∆t + ^H

n

z,i+ 12,j+ 12−Hⁿ

z,i−1 2,j+ 12

∆x = 0

Hⁿ⁺¹

z,i+ 12,j+ 12

−H_{z,i+ 1}ⁿ

2,j+ 12

∆t +

E^{n+ 12}

y,i+1,j+ 12

−E^{n+ 12}

y,i,j+ 12

∆x

−

E^{n+ 12}

x,i+ 12,j+1−E^{n+ 12}

x,i+ 12,j

∆y = mⁿ⁺

1 2

z,i+¹₂,j+¹₂

= mz((i+¹₂)∆x,(j+¹₂)∆y,(n+¹₂)∆t) Justifier brièvement que le schéma est d’ordre 2 en temps et en espace

Pour implémenter le schéma, on considérera∆x= ∆y. Le schéma est stable sous la condition CFL

∆t

∆x ≤

√2 2

3 Schéma mono-dimensionnel

On considérera dans ce cas qu’il y a symétrie de translation par rapport à la direction y, soit _∂y^∂ = 0

On ne garde alors comme inconnues queEyetHz. Justifier pourquoi. La grille est désormais mono-dimensionnelle.

Les indices en y disparaissent. Montrer que le schéma devient :

E_y,i^{n+ 12}−Eⁿ⁻

1 2 y,i

∆t + ^H

n z,i+ 12

−H_z,i−ⁿ 1 2

∆x = 0

Hⁿ⁺¹

z,i+ 12−H_{z,i+ 1}ⁿ

2

∆t + ^E

n+ 12 y,i+1−E_y,i^{n+ 12}

∆x = mⁿ⁺

1 2

z,i+¹₂

= mz((i+¹₂)∆x,(n+¹₂)∆t) Le schéma est stable sous la condition CFL

∆t

∆x ≤1

4 Implémentation numérique 1D puis 2D

Le domaine en espace est théoriquement infini : en pratique, on se limite à un domaine borné (un segment ou un carré) centré sur l’origine. La source sera placée au centre du domaine au milieu d’une cellule en E.

L’implémentation du schéma se fait par boucles en temps en effectuant à chaque itération les opérations suivantes :

Etape n :

( - détermination desExau temps(n+¹₂)∆tcas 2D) - détermination desEyau temps(n+¹₂)∆t

- détermination desHzau temps(n+ 1)∆t - prise en compte de l’excitation

Remarque : on n’est pas obligé de stocker en mémoire toutes les valeurs des champs en espace à tout instant.

Les sorties intéressantes seront : -des cartes de champ à certains instants

-la variation au cours du temps de certaines inconnues.

La dépendance en temps de l’excitation peut être : -sin²ωtsur une demi itération de sinus

-sinωtsur une période ou durant tout l’intervalle de simulation (on s’intéressera alors au régime établi)

On pourra aussi tester (facultatif, mais cela aide à la compréhension des propriétés numériques du schéma (dispersion)) : -une fonction gaussienne (on l’attaque avec une valeur très faible, elle atteint son max et tend si vite vers 0 qu’on peut la considérer à support compact)

ωest la pulsation de l’excitation, elle est reliée à la longueur d’onde parλ= ^2π_ω. Le pas de maillage doit vérifier un critère de l’ordre de∆x < ₁₀^λ, voir∆x < ₂₀^λ pour bien approcher le phénomène de propagation.

On s’entrainera à l’utilisation du code en considérant différents maillages ₁₀^λ, ₂₀^λ,

λ 30,₄₀^λ.

On adimensionnera la sourcem_zen la multipliant par∆xcas 1D et∆x²cas 2d (pourquoi ?) pour vérifier la convergence en maillage (Ne pas oublier la condition CFL)

Pour obtenir une solution de référence, indépendante de la taille du domaine de calcul, on utilisera un domaine de calcul grand (tel qu’à la vitesse 1m/s l’onde inci- dente n’ait pas eu le temps d’arriver au bord du domaine de calcul pour le temps T de simulation fixé).

5 Conditions aux limites au bord du domaine de calcul

On prend ensuite un domaine de calcul plus petit. Ne pas mettre de condition aux lim- ites aux bornes du domaine de calcul revient en fait à mettre des conditions aux limites nulles pour les champs électriques tangents aux frontières.

Qu’observe-ton ?

L’explication physique est : une condition E tangent nul est une condition d’objet métallique. L’onde se réfléchit alors sur la frontière du domaine.

Il est donc indispensable de mettre des conditions aux limites aux bornes du domaine.

La réflexion sur un objet plan métallique obéit aux lois de Descartes : l’incidence normale est donc la plus désastreuse : l’onde réfléchie se superpose directement à l’onde incidente et on observe un phénomène d’interférence.

On va considérer les ondes planes à incidence normale.

Vérifier que sont solutions des équations de Maxwell les ondes planes de la forme.

E(~ X, t)~ = V~ sinω(t−~u. ~X) H(~ X, t) = (~~ u∧V~) sinω(t−~u. ~X)

avec~uvecteur unitaire représentant la direction de propagation de l’onde et

~

u.~V = 0, ~u.~ez= 0, ~V .~ez= 0

5.1 Première approche

Pour une onde plane, on a donc la propriété suivante(~u, ~E, ~H)est un trièdre direct.

On ne veut pas que les ondes réfléchies reviennent dans le domaine de calcul,en particulier celles de direction~u=−~noù~nest la normale extérieure unitaire au point de la frontière.

On choisit donc d’imposer aux bornes du domaine la condition

~

n∧E~−H~ =~0

On impose donc aux champs électromagnétiques de se comporter comme l’onde plane d’incidence la normale extérieure sortante.

5.2 Deuxième approche

Vérifier que pour une onde plane :

∂(E.~~ V)

∂t +∂(E.~~ V)

∂~u = 0 avec^∂f_∂~u =−−→

gradf.~u.

En privilégiant de même l’onde plane sortante d’incidence normale, on obtient

∂(E~∧~n)

∂t +∂(E~∧~n)

∂~n = 0

qui se réécrit en notantET le champ tangent aux bornes du domaine (soitExou Eysuivant le côté) :

∂ET

∂t +∂ET

∂~n = 0

5.3 Remarques Générales

La première approche donne un opérateur d’ordre 0 enE~etH. La deuxième approche~ donne un opérateur différentiel d’ordre 1 enE~seul.

Implémentation numérique : dans les deux cas, on va discrétiser par différences finies la condition aux limites. Les conditions s’inscriront dans le schéma de la manière suivante :

Etape n :

(- détermination desExau temps(n+¹₂)∆tcas 2D) (- Conditions aux limites sur les bords Ex cas 2D) - détermination desE_yau temps(n+¹₂)∆t - Conditions aux limites sur les bords Ey - détermination desH_zau temps(n+ 1)∆t - prise en compte de l’excitation

En effet, sur les bords du domaine pour la discrétisation choisie ne se trouvent positionnés que des champs E. Plaçons nous sur un bord y=cste, par exemple de~ normale extérieure~n=~exqui correspond à l’indice M pouri.(Ce qui est commun au cas 1D et 2D) Faire un dessin

Il y a plusieurs possiblités d’implémenter la condition aux limites issue de la pre- mière approche:

-schéma décentré en temps et en espace -schéma décentré en temps, centré en espace -schéma centré en temps, décentré en espace -schéma centré en temps et en espace.

Soit les schémas suivants :

(1)E_y,M,j+ⁿ⁺¹² 1

2 =H_z,M−ⁿ 1

2,j+¹₂∀n, j

(2) Eⁿ⁺

1 2

y,M,j+¹₂ +Eⁿ⁺

1 2

y,M−1,j+¹₂

2 =H_z,Mⁿ

−¹2,j+¹₂∀n, j (3)Eⁿ⁺

1 2

y,M,j+¹₂ +Eⁿ⁻

1 2

y,M,j+¹₂

2 =H_z,Mⁿ

−¹2,j+¹₂∀n, j

(4)

E^{n+ 12}

y,M,j+ 12

+E^{n+ 12}

y,M−1,j+ 12

2 +

Eⁿ⁻

1 2 y,M,j+ 12

+Eⁿ⁻

1 2 y,M−1,j+ 12

2

2 =H_z,Mⁿ

−¹2,j+¹₂∀n, j On remarque que toutes ces possiblités permettent de déterminerE_y,M,j+ⁿ⁺¹² 1

2

une fois déterminés tous les champs au temps(n− ¹₂)∆tet les champs intérieurs par le schéma classique au temps(n+¹₂)∆t.

Etablir de même pour la deuxième approche 4 schémas de type différences finies.

On implémentera les 4 différents schémas pour les deux approches Il n’y a donc pas unicité du choix du schéma de la condition aux limites.

Illustrer les propriétés numériques des différents schémas On s’intéressera en particulier à l’influence de la condition aux limites sur l’ordre du schéma global en temps et en espace.

Dans le cas 1D, on peut effectuer une analyse par onde plane du schéma de la condition aux limites.

On se place toujours sur le bord droit d’indice i=M.

Soit l’onde plane incidente discrète (avec origine des x en M):

Einc_y (xn, tp) =exp^{iω(p∆t−n∆x)}

et l’onde réfléchie associé (Rreprésente le coefficient de réflexion numérique)

Eref_y (xn, tp) =Rexpiω(p∆t+n∆x)

Le champ magnétique associé est :

Hinc_z (xn, t_p) =exp^{iω(p∆t−n∆x)} et

Href_z (xn, t_p) =−Rexpiω(p∆t+n∆x)

On injecte ces représentations dans les différents schémas afin de déterminerR.

Cas 0 : condition nulleEy(0, tp) = 0

on trouveexp^{iω(p∆t−n∆x)}+Rexpiω(p∆t+n∆x)= 0enn= 0.

soit1 +R= 0,

R=−1 C’est la condition parfaitement réfléchissante.

Cas 1E_y,M,j+ⁿ⁺¹² 1

2 =H_z,Mⁿ

−¹2,j+¹₂

Après simplification parexp^iω(p∆t), on obtient

exp^{iω(∆t2 )}+Rexp^{iω(∆t2 )}=exp^{iω(∆x2 )}−Rexp^{−iω(∆x2 )} Soit

R= exp^{iω(∆x2 )}−exp^{iω(∆t2 )} exp^{−iω(∆x2 )}+exp^{iω(∆t2 )}

En effectuant un développement limité en∆xet∆t, on obtient

R=1 +iω^∆x₂ −1−iω^∆t₂ +O(∆x²) +O(∆t²) 2 +O(∆x) +O(∆t)

Soit

R=O(∆x) +O(∆t)

On constate queRtend vers 0 quand∆xet∆tmais seulement à l’ordre 1.

En effectuant cette analyse sur les autres schémas (sans oublier la deuxième approche), montrer la concordance entre la théorie et les résultats numériques