Approximation des EDP1, master MIMSE Sp´e 1 Feuille 5 2014-2015
Sch´emas num´eriques pour l’´equation des ondes
On consid`ere les deux discr´etisations suivantes pour l’´equation des ondes un+1j −2unj +un−1j
dt2 −c2unj+1−2unj +unj−1 dx2 = 0 et
un+1j −2unj +un−1j
dt2 −c2un+1j+1 −2unj +un+1j−1
dx2 = 0
a) Quelles conditions suppl´ementaires faut-il imposer pour pouvoir calculer la solution num´erique ? b) Les discr´etisations propos´ees sont-elles stables ?
c) Montrer que pour la premi`ere discr´etisation on a conservation de l’´energie discr`ete.
d) En utilisant la forme diagonalis´ee de l’´equation des ondes, proposer une autre discr´etisation par diff´erences finies.
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