Approximation des EDP1, master MIMSE Sp´e 1 Feuille 4 2014-2015
Probl`emes paraboliques, approximation par diff´erences finies
Dans la suite, on consid`ere
∂u
∂t −∂2u
∂x2 = 0 et l’´equation de Schrodinger
i∂u
∂t +∂2u
∂x2 = 0
d´efinies sur l’intervalle ]0,1[, avec des conditions aux limites de Dirichlet, et la condition initiale u(0, x) =u0(x).
a) Etudier la stabilit´e, et le cas ´ech´eant l’ordre de convergence de la m´ethode d’Euler explicite (coupl´ee `a une discr´etisation centr´ee d’ordre deux classique pour la d´eriv´ee spatiale) pour l’´equation de la chaleur et l’´equation de Schrodinger.
b) Idem pour la m´ethode d’Euler implicite.
c) On consid`ere maintenant le sch´ema de Richardson pour l’´equation de la chaleur :
un+1k −un−1k
2dt −unk+1−2unk+unk−1
dx2 = 0
Etudier la stabilit´e, et le cas ´ech´eant l’ordre de convergence de cette m´ethode.
d) Etudier la stabilit´e de la variante o`u les termes spatiaux sont implicit´es :
un+1k −un−1k
2dt −un+1k+1−2un+1k +un+1k−1
dx2 = 0
e) On consid`ere maintenant le sch´ema de Crank-Nicholson pour l’´equation de la chaleur :
un+1k −unk
dt −unk+1−2unk+unk−1
dx2 = 0
Etudier la stabilit´e, et le cas ´ech´eant l’ordre de convergence de cette m´ethode.
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