Feuille 5 bis : Probabilités.
Semestre 1 - 2015
Exercice 1. Loi uniforme et espérance. On considère une route de longueurLjoignant deux villesAet B. Un incendie survient de façon aléatoire (de manière uniforme) sur cette route. On noteX la variable aléatoire qui donne la distance entre la ville Aet l'incendie. Autrement ditX ∼ U([0, L]). Pour se xer les idées on place un repère d'origineA.
On suppose qu'il y a une caserne de pompiers entreAetB située à une distance pdeA.
a. On noteY la variable aléatoire qui donne la distance entre les pompiers et un incendie. Exprimer Y en fonction deX.
b. Calculer la distance moyenne que doivent parcourir les pompiers pour atteindre un incendie.
c. Montrer que la valeur de p optimale (c'est-à-dire celle qui fait que la distance moyenne entre un incendie et les pompiers soit minimale) est L2.
Exercice 2. Fonction de répartition et densité. On s'intéresse à la portée d'un tir de canon. La portée d (enm) est fonction de la vitesse du projectile v (en m.s−1) à l'état initial, et de l'angle de tir α(en radians). Plus précisément en négligeant tous frottements, on a
d=v2
g sin(2α), avec l'estimation g= 9,81m.s−2.
a. D'après la formule précédente, quel angle maximise la portée ? Calculer cette distance maximale lorsquev= 500m.s−1.
b. A cause des problèmes mécaniques, on ne peut pas garantir précisément l'angle, et on suppose que α subit une variation aléatoire uniforme entre π4 −180π et π4. On note A la variable aléatoire qui renvoie l'angle. Donner la loi et la densité deA.
c. La distanceD devient donc aléatoire. Calculer la fonction de répartition deD. d. En déduire la densité de D.
e. Calculer la probabilité que la distance de la portée soit à plus de 2 m de la portée maximale souhaitée.
f. Reprendre les questions deb.àe.en supposant maintenant queAsuit une loi normale de moyenne m= π4 et de variance 360π .
Exercice 3. TCL. Une société d'assuranceA doit assurer100 véhicules identiques de valeur10 000 e.
Sur un an, la probabilité pour qu'un véhicule soit accidenté et irréparable est dep= 0,01. Les accidents sont supposés indépendants. On suppose que A doit payer le 31décembre tous les sinistres de l'année (remboursement intégral des voitures accidentées).
a. A combien doit s'élever la réserve nancière de la société d'assuranceApour qu'elle puisse indem- niser tous les sinistres dans99% des cas ? (Utiliser la table de la loi normale)
b. Une autre société d'assuranceBeectue le même travail queAmais pour100autres véhicules. La fusion des entreprisesAetBest-elle intéressante nancièrement ? Pour voir cela, calculer la réserve nancière dont les deux sociétées fusionnées auraient besoin pour200véhicules.
Exercice 4. TCL. On souhaite organiser un planning des entretiens de recrutement dans une école d'ingénieurs, pour laquelle250 candidats sont retenus. Les autres années,10%des personnes convoquées ne viennent pas à l'entretien. Cela permet d'avoir une idée probabiliste de ce qui va se réaliser cette année. On noteX le nombre de personnes présentes pour passer l'entretien.
a. Donner la loi exacte deX.
b. Calculer de façon approchée (TCL) la probabilité que moins de 230 personnes se présentent à l'entretien.
c. Supposons que sur deux journées, on ne puisse interroger que70candidats. Combien faut-il convo- quer de personnes pour être sûr à 90% que tous puissent passer leur entretien dans ces deux journées ?
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