m aths au lycée Gustave Eiffel
Une année de mathématiques
en TS
Jérôme HERBAUT
Une année de
mathématiques en TS
cours
1 Les complexes
Part-Oane 8
1.1 Introduction . . . 9
1.1.1 Le nombre i . . . 9
1.1.2 Les nombres complexes sous forme algébrique . . . 10
1.2 Représentation graphique . . . 11
1.3 Conjugué d’un complexe . . . 12
1.3.1 Calculs avec le conjugué . . . 13
1.3.2 Inverse d’un complexe . . . 13
1.4 Equations du second degré . . . 14
1.4.1 Racines carrées d’un nombre réel dansC. . . 14
1.4.2 Equationaz2+bz+c= 0 . . . 14
2 La dérivation 15 2.1 Rappels . . . 16
2.1.1 Dérivation en un point . . . 16
2.1.2 Équation de la tangente . . . 16
2.1.3 Formules de dérivations . . . 16
2.1.4 Opérations sur les dérivées. . . 17
2.2 Dérivéé d’une fonction composée . . . 18
2.2.1 Fonction√ u . . . 18
2.2.2 Fonctionun . . . 18
2.2.3 Foncionx7→f(ax+b). . . 19
3 Les suites 20 3.1 Suite majorée, minorée ou bornée . . . 21
3.1.1 Définition . . . 21
3.1.2 Méthodes pour démonter qu’une suite est majorée ou minorée . . . 21
3.2 Limite de suites . . . 22
3.2.1 Suite convergente . . . 22
3.2.2 Suite divergente . . . 23
3.2.3 Limites usuelles . . . 24
3.3 Opérations sur les limites. . . 24
3.4 Les théorèmes importants . . . 25
3.5 Les théorèmes de comparaison. . . 26
4 Probabilités 27 4.1 Probabilités conditionnelles . . . 28
4.1.1 Un exemple d’introduction . . . 28
4.1.2 Définition . . . 29
4.1.3 Probabilité d’une intersection . . . 29
4.1.4 Utilisation d’un arbre pondéré. . . 29
4.2 Événements indépendants . . . 30
4.2.1 Un exemple d’introduction . . . 30
4.2.2 Indépendance de 2 événements . . . 31
6
4.2.3 Indépendance de 2 variables aléatoires . . . 31
4.3 La loi binomiale . . . 31
4.3.1 Définition et propriété . . . 31
4.3.2 Intervalle de fluctuation selon la loi binomiale . . . 32
4.3.3 Méthode . . . 32
4.3.4 Utilisation d’un algorithme . . . 32
4.3.5 Utilisation de l’intervalle de fluctuation . . . 33
4.4 La loi uniforme . . . 34
4.4.1 Introduction . . . 34
4.4.2 loi uniforme sur [0; 1] . . . 35
4.4.3 loi uniforme sur [a;b] . . . 36
4.5 Exercices . . . 37
5 Limites de fonctions 42 5.1 Introduction . . . 43
5.1.1 Lectures graphiques . . . 43
5.1.2 Lectures par tableau de valeurs . . . 44
5.2 Déterminer une limite . . . 44
5.2.1 Limite finie ou infinie d’une fonction à l’infini . . . 44
5.2.2 Limite infinie d’une fonction en un point . . . 45
5.2.3 Limites de fonctions usuelles . . . 45
5.2.4 Règles opératoires. . . 46
5.2.5 Cas des limites à l’infini des polynômes . . . 48
5.2.6 Limite par composée de fonctions . . . 49
5.2.7 Limite se ramenant au nombre dérivé . . . 50
5.3 Les asymptotes. . . 50
5.3.1 Les asymptotes horizontales . . . 50
5.3.2 Les asymptotes verticales. . . 51
5.4 Théorème de comparaison . . . 51
5.4.1 Théorème des gendarmes . . . 51
5.4.2 Limites par comparaison de fonctions . . . 52
6 La fonction exponentielle 53 6.1 Etude de la fonction vérifiantf0=f etf(0) = 1 . . . 54
6.1.1 Existence et unicité . . . 54
6.1.2 Représentation graphique de la fonction exp par la méthode d’Euler . . . 54
6.1.3 Fonction exp(u(x)) . . . 56
6.2 Propriétés . . . 56
6.2.1 Relation fonctionnelle . . . 56
6.2.2 Propriétés algébriques . . . 56
6.2.3 Nouvelle notation . . . 56
6.3 Etude de la fonction exponentielle . . . 57
6.3.1 Sens de variation . . . 57
6.3.2 Equations, inéquations . . . 57
6.3.3 Limites aux bornes . . . 57
6.3.4 Tableau de variations . . . 58
6.3.5 Étude locale en 0 . . . 58
6.3.6 Représentation graphique . . . 58
6.3.7 Autres limites à connaître . . . 58
7 Géométrie dans l’espace 59 7.1 Positions relatives de droites et de plans . . . 60
7.1.1 Positions relatives de deux droites . . . 60
7.1.2 Positions relatives d’une droite et d’un plan . . . 60
7.1.3 Positions relatives de 2 plans . . . 60
7.2 Orthogonalité dans l’espace . . . 61
7.2.1 Définitions . . . 61
7.2.2 Orthogonalité d’une droite et d’un plan . . . 62
7.2.3 Orthogonalité de deux droites de l’espace . . . 62
7.2.4 Plan médiateur . . . 62
7.3 Vecteur de l’espace . . . 63
7.3.1 Géométrie vectorielle dans l’espace . . . 63
7.3.2 Repérage dans l’espace . . . 65
7.3.3 Equation cartésienne d’une sphère . . . 66
7.4 Représentation paramétriques . . . 67
7.4.1 Représentation paramétrique d’une droite . . . 67
7.4.2 Représentation paramétrique d’un plan . . . 68
7.4.3 Plans parallèles à un plan de coordonnées . . . 68
8 Fonctions sinus et cosinus 70 8.1 Définitions . . . 71
8.2 Dérivabilité. . . 72
8.2.1 Limites préliminaires . . . 72
8.2.2 Dérivabilité des fonctions cosinus et sinus . . . 72
8.2.3 Fonctions cos(u) et sin(u). . . 72
8.3 Périodicité . . . 72
8.4 Parité . . . 72
8.5 Étude de la fonction sinus . . . 73
8.6 Étude de la fonction cosinus . . . 74
8.7 Valeurs remarquables . . . 74
8.8 Formulaire de trigonométrie . . . 75
9 Les complexes-Le retour 76 9.1 Forme trigonométrique . . . 77
9.1.1 Module d’un nombre complexe . . . 77
9.1.2 Argument d’un complexe non nul . . . 78
9.1.3 Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul . . . 78
9.2 Propriétés des modules et des arguments . . . 80
9.2.1 Conjugué et opposé . . . 80
9.2.2 Argument d’un réel, d’un imaginaire pur . . . 80
9.2.3 Opérations . . . 80
9.3 Lien avec le plan complexe . . . 81
9.3.1 Utilisation des modules et des arguments . . . 81
9.3.2 Caractérisation géométrique par les nombres complexes . . . 81
9.4 Forme exponentielle. . . 83
9.4.1 La fonctionθ7→cos(θ) +isin(θ). . . 83
9.4.2 Forme exponentielle d’un nombre complexe. . . 84
9.4.3 Efficacités de la notation . . . 84
9.4.4 Applications . . . 85
10Continuité et théorème des valeurs intermédiaires 87 10.1 Continuité . . . 88
10.1.1 Fonction continue . . . 88
10.1.2 Les fausses idées. . . 89
10.1.3 Propriétés . . . 89
10.2 Théorème des valeurs intermédiaires . . . 90
10.2.1 Le théorème et ses corollaires . . . 90
10.2.2 TP : Résolution d’une équationf(x) =kavec la calculatrice graphique . . . 91
8
11Fonction logarithme népérien 93
11.1 Logarithme népérien d’un nombre . . . 94
11.1.1 Introduction . . . 94
11.1.2 La définition . . . 94
11.1.3 Propriétés algébriques . . . 95
11.2 Fonction logarithme népérien . . . 95
11.2.1 Définition . . . 95
11.2.2 Dérivée de la fonction ln . . . 95
11.2.3 Limites aux bornes de l’ensemble de définition . . . 95
11.2.4 Tableau de variations . . . 96
11.2.5 Courbe représentative . . . 96
11.2.6 Quelques formes indéterminées . . . 97
11.2.7 Fonction ln(u) . . . 98
11.2.8 Logarithme décimal. . . 99
12Les intégrales 100 12.1 Intégrale d’une fonction . . . 101
12.1.1 unité d’aire . . . 101
12.1.2 Aire et intégrale d’une fonction positive . . . 101
12.1.3 Intégrale d’une fonction négative . . . 102
12.1.4 Intégrale d’une fonction de signe quelconque . . . 103
12.1.5 Valeur moyenne d’une fonction . . . 104
12.2 Propriété de l’intégrale . . . 104
12.2.1 Théorème . . . 104
12.2.2 Intégrale debàad’une fonction continue . . . 104
12.2.3 Linéarité de l’intégrale . . . 104
12.2.4 Positivité de l’intégrale . . . 105
12.2.5 Ordre et intégrale . . . 105
12.2.6 Relation de Chasles . . . 105
12.2.7 Inégalité de la moyenne . . . 106
13Primitives et lien avec l’intégrale 107 13.1 Notion de primitive d’une fonction sur un intervalle . . . 108
13.1.1 Exemples et définition . . . 108
13.2 Ensemble des primitives . . . 108
13.2.1 Propriété . . . 108
13.2.2 Conditions initiales . . . 108
13.3 Primitives des fonctions usuelles . . . 109
13.4 Conséquences des théorèmes de dérivations . . . 109
13.5 Intégrales et primitives . . . 110
14Produit scalaire dans l’espace et applications 112 14.1 Produit scalaire dans l’espace . . . 113
14.2 Produit scalaire et orthogonalité dans l’espace . . . 113
14.2.1 Droites orthogonales . . . 113
14.2.2 Vecteurs orthogonaux. . . 114
14.2.3 Orthogonalité d’une droite et d’un plan . . . 114
14.2.4 Vecteur normal à un plan . . . 115
14.3 Equations cartésiennes de plan . . . 116
15Lois à densité 118 15.1 Introduction . . . 119
15.2 Densité et loi de probabilité d’une variable aléatoire continue . . . 120
15.3 Loi uniforme . . . 122
15.3.1 Définitions et propriété. . . 122
15.3.2 Espérance . . . 123
15.4 Loi exponentielle . . . 123
15.4.1 Définitions . . . 123
15.4.2 Interprétation graphique . . . 124
15.4.3 Espérance . . . 125
15.5 Lien entre le discret et le continu . . . 126
15.6 La loi Normale . . . 126
15.6.1 Loi normale centrée réduite . . . 126
15.6.2 Calculs de probabilités . . . 127
15.6.3 Loi normale et calculatrice . . . 128
15.6.4 Intervalle associé à une probabilité donnée . . . 129
15.6.5 Théorème de Moivre-Laplace . . . 130
15.6.6 Loi normale d’espéranceµet d’écart-typeσ . . . 130
15.6.7 Intervalles « Un, deux, trois sigmas » . . . 131
16Intervalles de fluctuation et de confiance 132 16.1 Intervalle de fluctuation . . . 133
16.1.1 Quelques rappels . . . 133
16.1.2 Intervalle de fluctuation asymptotique . . . 133
16.1.3 Utilisation de l’intervalle de fluctuation . . . 134
16.2 Estimation . . . 135
1
Les complexes Part-Oane
C H A P I T R E
Introduction
1
1 1 Le nombre i
Que représente le nombre i 1. algébriquement ? 2. géométriquement ?
Le nombre i est un nombre ditcomplexedéfini par i2=−1.
Définition 1 - 1
Si les points d’une droite sont des nombres, on doit pouvoir comprendre géomé- triquement la signification des opérations élémentaires entre nombres :
• x7→x−1 peut-être vu comme une translation ;
• x7→2xpeut-être vu comme une homothétie ;
• x7→ −xpeut-être vu comme une symétrie ;
• multiplier deux nombres revient à composer les transformations qui leur sont associées.
Remarque
Le nombre−1 est associé à la symétrie par rapport à l’origine sur la droite, c’est-à- dire à une rotation d’un demi-tour.
Chercher une racine carrée pour−1, c’est chercher une transformation qui, effec- tuée deux fois de suite, serait une rotation d’un demi-tour.
Remarque
Le nombre imaginaire i est associé à la rotation d’un quart de tour.
Propriété 1 - 1
Faire deux rotations d’un quart de tour, c’est faire une rotation d’un demi-tour, c’est-à- dire multiplier par−1.
On retrouve bien i2=−1.
x7→i·xpeut-être vue comme une rotation de centre O et d’angleπ2. Propriété 1 - 2
12 1.1. INTRODUCTION
Pour éviter toute confusion, le plan « complexe » est muni d’un repère orthonormé qui sera noté (O;#»u ,#»v).
Remarque
1 2 Les nombres complexes sous forme algébrique
Géométriquement, que représente 1. Le nombre complexex+ i·y?
2. La somme de deux nombres complexes ?
xest l’abscisse du point M yest l’ordonnée du point M
Dire que M et# »
OM ont pour coordonnées (x;y) revient à dire que M et # » OM ont pouraffixe z=x+ i·y .
Définition 1 - 2
xest la partie réelle dez, notéeRe(z) yest la partie imaginaire dez, notéeIm(z)
Ajouter deux nombres complexes peut-être vu comme ajouter deux vecteurs.
Propriété 1 - 3
(−1,2−1,8i) + (−2,8−1,4i) =−4−3,2i.
Exemple
Pour multiplier deux nombres complexes, il suffit d’appliquer les règles usuelles de calculs dansR.
Propriété 1 - 4
(2 + 1,5i)×(−1 + 2,4i) =−5,6 + 3,3i.
Exemple
L’ensemble des nombres complexes est notéC.
Définition 1 - 3
Cest alors un ensemble encore plus grand que tous les autres, et on a :N⊂Z⊂ D⊂Q⊂R⊂C.
Remarque
L’écriturez=x+ iyest l’écriturealgébriquedez(elle est associée aux coordonnées cartésiennes (x;y) du point d’affixez.
Définition 1 - 4
• siIm(z) = 0, on az=x,zest donc réel,
• siRe(z) = 0, on az= iy, on dit quezest un imaginaire pur.
Remarque
Soitz= 2 + 3i etz0= i−5, on a :
• z+z0= 2 + 3i + i−5 =−3 + 4i,
• z−z0= 2 + 3i−(i−5) = 2 + 3i−i + 5 = 7 + 2i,
• 2z−3z0= 2(2 + 3i)−3(i−5) = 4 + 6i−3i + 15 = 19 + 3i,
• zz0= (2 + 3i)(i−5) = 2i−10 + 3i2−15i = 2i−10−3−15i =−13−13i,
• z2= (2 + 3i)2= 22+ 2×2×3i + (3i)2= 4 + 12i + 9i2= 4 + 12i−9 =−5 + 12i.
Exemple
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire :
z=z0 ⇔ x+ iy=x0+ iy0 ⇔ x=x0ety=y0. Propriété 1 - 5
Déterminerxetytels que : (1 + i)x−y= 2−3i (x∈Rety∈R) Exemple
Représentation graphique
2
On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct O;→−
u ,→− v
.
• Au point M de coordonnées (a;b) on peut associer le nombre complexe z=a+ib,
On dit quez=a+ibest l’affixe du point M.
• Au vecteurw#»de coordonnées (a;b) on peut associer le nombre complexe z=a+ib,
On dit quez=a+ibest l’affixe du vecteurw.#»
• Lorsqu’on repère un point ou un vecteur par son affixe dans un repère orthonormal direct,
on dit qu’on se place dans le plan complexe.
Définition 1 - 5
14 1.3. CONJUGUÉ D’UN COMPLEXE
0 #»u
#»v
w#»
M(z=a+ib)
a
b b
On place dans le plan complexe les points Mid’affixeszi :
• z1= 2 + 3i
• z2= 3 +i
• z3=−1 + 2i
• z4= 2−i
• z5=i
• z6=−2i
• z7=−2
• z8=−i−3
bM1
bM2
bM3
bM4
bM5
bM6
bM7
bM8
bi
0 1
Exemple
Soient A et B les points d’affixes respectifszAetzB. Soientw#»et # »
w0les vecteurs d’affixes respectifszwetzw0. Soitkun nombre réel non nul.
• Le vecteurAB a pour affixe# » zB−zA,
• Le vecteurw#»+# »
w0a pour affixezw+zw0.
• Le vecteurkw#»a pour affixek×zw.
• Le milieu I de [AB] a pour affixezI=zA+zB 2 . Propriété 1 - 6
Soient A(3 +i), B(2−2i), C(2i) et D(1 + 5i).
Démontrer de deux manières différentes que ABCD est un parallélogramme.
Exemple
Conjugué d’un complexe
3
On appelleconjuguédu nombre complexez=a+ible nombrez=a−ib.
Définition 1 - 6
Géométriquement, si M1est le point d’affixez, le point M2d’affixezest le symétrique de M1par rapport à l’axe des abscisses.
0 #»u
#»v
M1(z)
M2(z) M3(−z)
M4(−z)
a b
− a
− b
Soitz= 3 + 5ietz0=−2 + 3i, on a :
• z+z0= (3 + 5i) + (−2 + 3i) = 1 + 8i,
z×z0= (3 + 5i)×(−2 + 3i) =−6 + 9i−10i+ 15i2=−6−i−15 =−21−i.
• z= 3−5i, z0=−2−3i.
• z+z0= (3−5i) + (−2−3i) = 1−8i, z+z0= 1−8i.
• z×z0 = (3−5i)×(−2−3i) = −6−9i+ 10i+ 15i2 =−6 +i−15 =−21 +i, z×z0=−21 +i.
Exemple
3 1 Calculs avec le conjugué
Soitzetz0deux nombes complexes, alors :
• z+z0=z+z0.
• z×z0=z ×z0.
• z=z.
• ∀n∈N?; (zn) =zn
• z∈R⇐⇒z=z.
• z∈iR⇐⇒z=−z.
• Re(z) =1 2(z+z).
• Im(z) = 1 2i(z−z).
Propriété 1 - 7
3 2 Inverse d’un complexe
Soitz=a+ib, on a :zz= (a+ib)(a−ib) =a2−(ib)2=a2+b2qui est un nombre réel.
Ainsi, on a :
1 z = z
zz = z
a2+b2 = a−ib a2+b2. Tout nombre complexe non nulzadmet un inverse noté 1z Propriété 1 - 8
Calculs d’inverses : 1. 1
1 +i= 1−i
(1 +i)(1−i)=1−i 2 =1
2−1 2i.
2. 1
2−3i = 2 + 3i
(2−3i)(2 + 3i)=2 + 3i 13 = 2
13+ 3 13i.
3. 2
i =2× −i i× −i =−2i
1 =−2i.
4. 2 +i
−3 +i= (2 +i)(−3−i)
(−3 +i)(−3−i)=−6−2i−3i+ 1
10 =−5−5i 10 =−1
2−1 2i.
Exemple
16 1.4. EQUATIONS DU SECOND DEGRÉ
Soitzetz0deux nombes complexes, alors :
• 1
z
=1
z. •
z z0
= z z0. Propriété 1 - 9
Equations du second degré
4
4 1 Racines carrées d’un nombre réel dansC
Tout nombre réel non nul admet deux racines dansC.
• Sia >0 ; alors les racines sont
√ aet−
√ a.
• Sia <0 ; alors les racines sont i√
−aet−i√
−a.
Propriété 1 - 10
4 2 Equationaz2+bz+c= 0
Soitaz2+bz+c= 0 une équation du second degré oùa;b;c∈Raveca,0.
On pose∆=b2−4ac.
• Si∆>0, l’équation du second degré admet deux solutions réelles distinctes :
z1=−b+
√
∆
2a et z2=−b−
√
∆ 2a .
• Si∆= 0, l’équation du second degré admet une unique solution réelle : z0=−b
2a.
• Si∆<0, l’équation du second degré admet deux solutions complexes conju- guées :
z1=−b+i
√
−∆
2a et z2=−b−i
√
−∆
2a .
Propriété 1 - 11
Résoudre dansCles équations suivantes : 1. z2−2z+ 2 = 0.
2. z2+ 6z+ 34 = 0.
3. z2−2 cosθz+ 1 = 0,θ∈R.
Exemple
Soit P(z) =z3−8z2+ 24z−32, oùzest un nombre complexe.
1. Vérifier que P(4) = 0.
2. Déterminer les nombres réelsa,betctels que, pour tout nombre complexe z,
P(z) = (z−4)(az2+bz+c)
3. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équationz2−4z+ 8 = 0.
4. En déduire les solutions de l’équation P(z) = 0.
Exemple
2
La dérivation
C H A P I T R E
18 2.1. RAPPELS
Rappels
1
1 1 Dérivation en un point
Soitf une fonction définie sur I et aun élément de I, soit hun nombre réel différent de 0.
Si le rapport f(a+h)h−f(a)admet une limite finie L lorsquehtend vers 0, alors :
• On dit quef est dérivable ena.
• On appelle nombre dérivé cette limite et on la notef0(a) = L.
Ainsi,si la fonction est dérivable enaon af0(a) = lim
h→0
f(a+h)−f(a) h Définition 2 - 1
1 2 Équation de la tangente
Le nombre dérivé enadef est le coefficient directeur de la tangente àCf au point d’abscisseaayant pour équation :
y=f0(a)(x−a) +f(a). Propriété 2 - 1
f(a)
Cf
(T)
a
Au voisinage deaon a :
f(x)≈f0(a)(x−a) +f(a)
1 3 Formules de dérivations
f est dérivable sur f(x) = f0(x) =
R k(constante) 0
R x 1
R mx+p m
R x2 2x
R x3 3x2
R xn,nentier naturel nxn−1 R ax2+bx+c 2ax+b ]− ∞; 0[∪]0; +∞[ 1x −x12
]0; +∞[ √
x 2√1x
1 4 Opérations sur les dérivées
uetvsont des fonctions sif(x) s’ecrit alorsf est dérivable sur I définies et dérivables sur I etf0(x) est égal à Sommeu+v f(x) =u(x) +v(x) f0(x) =u0(x) +v0(x)
Différenceu−v f(x) =u(x)−v(x) f0(x) =u0(x)−v0(x)
Produit deupar un réelk f(x) =ku(x) f0(x) =ku0(x)
Produitu×v f(x) =u(x)×v(x) f0(x) =u0(x)×v(x) +v0(x)×u(x)
Inverse1
v pourv(x),0 f(x) = 1
v(x) f0(x) =− v0(x) v(x)2
Quotientu
v pourv(x),0 f(x) =u(x)
v(x) f0(x) =u0(x)×v(x)−v0(x)×u(x) v(x)2
Calculer les dérivées des fonctions suivantes : 1. f(x) =x3+x−5
2. g(x) = 7x2
3. h(x) = 4x2−3x+ 2 4. i(x) = (4x−1)(3x+ 7) 5. j(x) = 1
−4x+ 2 6. k(x) =3x2+ 1 5x−2 Exemple
20 2.2. DÉRIVÉÉ D’UNE FONCTION COMPOSÉE
Dérivéé d’une fonction composée
2
Soituune fonction dérivable sur un intervalle I etf une fonction dérivable sur un intervalle J tel que pour toutx∈I, on aitu(x)∈J. Alors la fonctionx7→f(u(x)) est dérivable sur I et admet pour fonction dérivée :
x7→u0(x)×f0(u(x)). Théorème 2 - 1
2 1 Fonction
√ u
admis
Soituune fonction dérivable sur I, telle queu(x)>0 sur I alors la fonctionf définie sur I parf(x) =p
u(x) est dérivable sur I et
f0(x) = u0(x) 2p
u(x) . Théorème 2 - 2
1. Calculer la dérivée de la fonction√ f définie et dérivable surRparf(x) = x2+ 4.
2. Soitf(x) =
√
x2−3x+ 4
(a) Déterminer sur quel intervallef est dérivable.
(b) Calculerf0(x).
Exemple
2 2 Fonctionun
admis
Soituune fonction dérivable sur I.
• Sin∈N∗, alors la fonction définie parf(x) = u(x)n
est dérivable sur I et f0(x) =n×u0(x)×(u(x))n−1.
• Sin∈Z∗ avecn <0 et siu(x),0 sur I alors la fonction définie parf(x) = u(x)n
est dérivable sur I et
f0(x) =n×u0(x)×(u(x))n−1. Théorème 2 - 3
1. Soitf la fonction définie et dérivable surR\{−1
4}parf(x) = 2x−3
4x+ 1 5
. Calculerf0(x).
2. Soitf(x) = 1 (3x2−4x+ 7)3.
(a) Déterminer sur quel ensemblef est dérivable.
(b) Calculerf0(x).
Exemple
Calculer les fonctions dérivées dans chacun des cas suivants : 1. f(x) = (2x+ 1)5+x2+ 5x+ 4
2. g(x) = 2x(x2+ 5)2 3. h(x) = (x+ 2)
√ 2x−1 Exemple
2 3 Foncionx7→f(ax+b)
admis
Soitf une fonction dérivable sur I et soitaetbdeux nombres réels tels que pour toutxde J,ax+b∈I, alors la fonctiongdéfinie parg(x) =f(ax+b) est dérivable J et :
g0(x) =a×f0(ax+b). Théorème 2 - 4
3
Les suites
C H A P I T R E
Suite majorée, minorée ou bornée
1
1 1 Définition
Soit (un) une suite numérique. On dit que :
• la suite estmajorées’il existe un réel M tel que pour toutn, on aitun≤M.
• la suite estminorées’il existe un réelmtel que pour toutn, on aitm≤un.
• la suite estbornées’il existe deux réelsmet M tels que pour toutn,m≤un≤ M.
Définition 3 - 1
Une suite majorée (resp. minorée) admet une infinité de majorants (resp. mino- rants).
Remarque
• La suite (u) définie parun=1n est bornée par 0 et 1.
• La suite (un) définie surNparun=n2est minorée par 0, par contre elle n’est pas majorée, elle n’est donc pas bornée.
• Il existe des suites non minorée et non majorée, par exempleun= (−2)n , n∈ N.
Exemple
1 2 Méthodes pour démonter qu’une suite est majorée ou minorée 1 2 a Utiliser les règles sur les inégalités.
1. Montrer que la suite (un) définie parun = 1 + sinn
1 +n2 est minorée par 0 et majorée par 2.
2. Montrer que la suite (un) =n+ 1
n+ 2est bornée.
Exemple
1 2 b Utiliser les variations d’une fonction.
Soitf la fonction définie sur [−1; 3] et dont le tableau de variations est donnée ci-dessous
x 0 3 +∞
Variations de f
−1
−2
7
On définit la suite (un) pour toutndeN,un=f(n).
Justifier que (un) est bornée.
Exemple
24 3.2. LIMITE DE SUITES
1 2 c Etudier le signe deun−Mouun−m.
Montrer que la suite (un) définie parun=2n2+ 3
n2+ 1 est minorée par 2.
Exemple
1 2 d Utiliser un raisonnement par récurrence.
On considère la suite (un) définie pour toutndeNpar :
u0= 0
un+1=3un+ 2 un+ 4
1. A l’aide de la calculatrice, conjecturer un encadrement de la suite (un) entre deux entiers naturels consécutifs.
2. Démontrer par récurrence cette conjecture.
Exemple
Limite de suites
2
2 1 Suite convergente
On dit qu’une suiteconverge vers un réell(ouadmet pour limitelquandntend vers +∞) si tout intervalle ouvert I contenantl contient aussi tous les termes de la suite à partir d’un certain rangp.
On note lim
n→+∞un=l. Définition 3 - 2
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
l un
n
Figure3.1 – Suite convergente versl
Lorsqu’elle existe, la limite d’une suite est unique Propriété 3 - 1
Toute suite convergente est bornée.
Propriété 3 - 2
Démonstration.
Notonsl la limite de cette suite.Soit I =]α; β[ un intervalle contenantl; d’après la définition d’une suite convergente, à partir d’un rangp, sin>palorsun∈I.
L’ensemble des nombresu0,u1,u2,. . .,up−1est fini donc parmi lesu0,u1,u2,. . .,up−1, il existe un minimum et un maximum ; notons lesaetb. On a donc pourn6p−1, un∈[a;b].
Posonsm= min(α;a) et M = max(β;b).
On a alors, pour toutnentier,un∈[m; M] donc toute suite convergente est bornée.
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
0 1 2 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 αl
β
p a
b
u0,. . . ,up−1∈[a;b] up,up+1, . . .∈]α;β[
un
n
Figure3.2 – Démonstration : une suite convergente est bornée
La suite de terme généralun=n+11 converge donc est bornée. On a 0< un61.
Exemple
BLa réciproque est fausse. Par exemple la suite de terme généralun = (−1)n est bornée mais pas convergente. Il en est de même pour celle de terme général un= cos(nπ).
Remarque
2 2 Suite divergente
Une suite qui ne converge pas est ditedivergente.
Définition 3 - 3
2 2 a Suites ayant pour limite+∞(ou−∞)
On dit qu’une suitediverge vers+∞, (ouadmet pour limite+∞) si tout intervalle ouvert de type ]A ; +∞[ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rangp.
On note lim
n→+∞un= +∞.
On définit de même une suite divergente vers−∞(avecun∈]− ∞; A[ à partir d’un certain rangp)
Définition 3 - 4
Toute suite croissante non majorée admet pour limite +∞. Propriété 3 - 3
Démonstration.
Soit A>0 donné. Montrons qu’à partir d’un certain rangp, les termes de la suite appartiennent à l’intervalle ]A ; +∞[
Comme la suite n’est pas majorée, il existe un entierptel queup>A.
Comme la suite est croissante, pour toutn > p, on aun> up.
26 3.3. OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
b b b b b b b b b b b b b b b
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
A
Figure3.3 – Suite divergente vers +∞
Donc, pour toutn > p, on aun> up>A alors, pour toutn > p, on a bienun>A.
Toute suite décroissante non minorée admet pour limite−∞. Propriété 3 - 4
2 2 b Exemple de suite n’ayant pas de limite
On a représenté ci-dessous la suite de terme généralun= (−1)n×n2.
b b b b b b b b b
0 20 40
−20
−40
1 2 3 4 5 6 7 8
b
wn
n
Figure3.4 – Suite n’admettant pas de limite (un) est divergente, elle n’a pas de limite.
2 3 Limites usuelles
nlim→+∞
1
n= 0 lim
n→+∞n= +∞ lim
n→+∞n2= +∞ lim
n→+∞
√ n= +∞ Propriété 3 - 5
• Si−1< q <1 alors lim
n→+∞qn= 0
• Siq >1 alors lim
n→+∞qn= +∞
• Siq≤ −1 alors la suite (qn)n≥0n’admet pas de limite.
• Siq= 1, alors (qn)n≤0est constante égale à 1 Propriété 3 - 6
Opérations sur les limites
3
En appliquant la règle des signes :
Produit d’une suite par une constante :Soitk∈R∗.
Si lim
n→+∞un= L ∞
alors lim
n→+∞kun= kL ±∞
Produit de deux suites: Si lim
n→+∞un L L,0 ±∞ 0
et lim
n→+∞vn= L0 ∞ ∞ ∞
alors lim
n→+∞un×vn= LL0 ±∞ ±∞ F.I Somme de deux suites:
Si lim
n→+∞un L L L +∞ −∞ +∞
et lim
n→+∞vn= L0 +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
alors lim
n→+∞un+vn= L + L0 +∞ −∞ +∞ −∞ F.I Quotient de deux suites:
Si lim
n→+∞un L L,0 L 0 ∞
et lim
n→+∞vn= L0,0 0+ou 0− ∞ 0 ∞ alors lim
n→+∞
un vn
= L
L0 ±∞ 0 F.I F.I
Calculer : 1. lim
n→+∞4−2×5n 2. lim
n→+∞(1−n)(1 n−3)
3. lim
n→+∞
−3n2+ 2n 4. lim
n→+∞
−10 n3+ 3n+ 1
5. lim
n→+∞
n2+ 3n−1 3n2−5 6. lim
n→+∞2
√ n−n Exemple
Les théorèmes importants
4
Important
Toute suite croissante majorée est convergente.
Théorème 3 - 1
On considère la suite (un) définie pour toutndeNpar :
u0= 0
un+1=13un+ 2 1. Montrer queunest croissante et bornée entre 0 et 3.
2. En déduire que (un) converge 3. Déterminer la limite de (un).
Exemple
Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Théorème 3 - 2
28 3.5. LES THÉORÈMES DE COMPARAISON
Les théorèmes de comparaison
5
Théorème des gendarmes
Soit trois suites (un), (vn) et (wn) telles queun≤vn≤wnpour tout entiernà partir d’un certain rang. Si les suites (un) et (wn) convergent toutes les deux vers le même réell, alors la suite (vn) est convergente et converge versl.
Théorème 3 - 3
b b b b b b b b b b
+
+ + + + + + + + +
qp qp qp qp qp qp qp qp qp qp
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n
Figure3.5 – Illustration du théorème des gendarmes
Soitula suite définie surNparun=sin(n)n .
Comme pour toutn, on a−1≤sin(n)≤1, on en déduit que−n1≤un≤ 1
n. Étant donnée que lim
n→+∞
−1 n = lim
n→+∞ 1
n = 0, on en déduit queuconverge vers 0.
Exemple
Etudier la limite de la suite définie parun= 5−3 sin(2n) 2n+ 1 . Exemple
Corollaire du théorème des gendarmes
Soit deux suites (un) et (vn) telles queun≤vn pour tout entiernà partir d’un certain rang,
• si lim
n→+∞un= +∞alors lim
n→+∞vn= +∞;
• si lim
n→+∞vn=−∞alors lim
n→+∞un=−∞. Corollaire 3 - 1
Etudier la limite de la suite définie parun= 4 cos(3n)−n2. Exemple
4
Probabilités
C H A P I T R E
30 4.1. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
Probabilités conditionnelles
1
1 1 Un exemple d’introduction
Une auto-école a fait une étude sur la réussite de ses clients lors de leur première présentation au permis de conduire. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous.
Candidats Ont réussi N’ont pas réussi Total
Ont suivi la conduite accompagnée 171 9 180
N’ont pas suivi la conduite accompagnée 252 68 320
Total 423 77 500
On choisit un candidat au hasard dans cet échantillon. On considère les événe- ments :
• R :« Le candidat a réussi et a obtenu son permis lors de la première présen- tation. »
• A :« Le candidat a pratiqué la conduite accompagnée. » 1. Calculer les probabilités suivantes :
P(R), P(R), P(A), P(A) et P(A∩R)
2. Le candidat choisi déclare qu’il a pratiqué la conduite accompagnée.
(a) Quelle la probabilité qu’il aie réussi à avoir son permis lors de la pre- mière présentation ?
On note cette probabilité PA(R) et on l’appelle probabilité condition- nelle de R sachant A.
PA(R)=
Peut-on calculer PA(R) à partir de probabilités de la question 1 ? PA(R)=
(b) Quelle est la probabilité que le candidat n’aie pas réussi lors de la première présentation ?
3. Calculer et interpréter les probabilités PA¯(R) et PA¯(R).
PA¯(R) =
PA¯(R) = Exemple
1 2 Définition
Soit A un événement de probabilité non nulle et B un événement.
On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A et on note PA(B) le nombre :
PA(B) =P(A∩B) P(B) Définition 4 - 1
Lors d’un sondage sur les loisirs dans une classe de 32 élèves, 12 élèves ont déclaré jouer au foot et 16 jouer aux jeux vidéo. 8 élèves de la classe jouent aux deux. On choisit un élève au hasard.
On note F l’événement « l’élève joue au foot » et V l’événement « L’élève joue aux jeux vidéo. »
Déterminer P(F), P(V), P(F∩V), PV(F) et PF(V).
Exemple
1 3 Probabilité d’une intersection
Si P(A),0 et P(B),0 alors P(A∩B) = PA(B)×P(A) = PB(A)×P(B) Propriété 4 - 1
Si A et B sont incompatibles alors PA(B) = 0 Remarque
Dans une société, 40% des employés sont des cadres dont 20% parlent anglais. On interroge une personne au hasard, soit A « La personne parle anglais » et C « La personne est un cadre ».
1. Calculer la probabilité que la personne interrogée soit un cadre qui parle anglais.
2. On sait que P(A) = 0,1, calculer la probabilité d’être un cadre sachant qu’on parle anglais.
Exemple
Soient trois événements A, B et C tels que P(B),0.
• PB(B) = 1.
• PB(A∪C) = PB(A) + PB(C)−PB(A∩C).
• Si A et C sont incompatibles ; PB(A∪C) = PB(A) + PB(C).
Propriété 4 - 2
1 4 Utilisation d’un arbre pondéré
On peut représenter la situation précédente (Cf exemple4.1.1 page ci-contre).
32 4.2. ÉVÉNEMENTS INDÉPENDANTS
A 0.36
A 0.64
0.95 R
0.05 R
0.7875 R
0.2125 R p(A∩R) =p(A)×pA(R) = 0,36×0,95 = 0,342 p(A∩R) =p(A)×pA(R) = 0,36×0,05 = 0,018 p(A∩R) =p(A)×pA(R) = 0,64×0,7875 = 0,504 p(A∩R) =p(A)×pA(R) = 0,64×0,2125 = 0,136
On retrouvep(R) =p(A∩R) +p(A∩R) = 0,342 + 0,504 = 0,846.
Remarque
• La somme des probabilités des branches issues d’un même noeud vaut 1.
• La probabilité d’une extrémité est égale au produit des probabilités des branches qui y mènent.
• La probabilité d’un événement présent sur plusieurs extrémités est la somme des probabilités des extrémités qui le composent.
Propriété 4 - 3
Événements indépendants
2
2 1 Un exemple d’introduction
Une enquête menée auprès de 50 élèves pour savoir s’ils aimaient le tennis à la télévision a donné les résultats suivants :
aiment n’aiment pas Total
Filles 16 4 20
Garçons 24 6 30
Total 40 10 50
On choisit un élève au hasard.
On note F :« L’élève est une fille . » et A :« L’élève aime regarder le tennis à la télévision. »
Calculer P(F), P(A) et P(A∩F).
En déduire PF(A) et PA(F). Que remarquet-on ? Exemple
2 2 Indépendance de 2 événements
En language usuel, on dit que deux événements A et B sont indépendants si la réalisa- tion de l’un n’influence pas celle de l’autre.
On dit que deux événements A et B sont indépendants si P(A∩B) = P(A)×P(B) Définition 4 - 2
Si A et B sont indépendants et de probabilité non nulle alors PA(B) = P(B) et PB(A) = P(A).
Propriété 4 - 4
2 3 Indépendance de 2 variables aléatoires
Soit X et Y deux variables aléatoires sur Ω. On note X(Ω) = {x1;x2;. . .;xn}et Y(Ω) ={y1;y2;. . .;yn}. On dit que X et Y sontindépendantssi pour toutietj, les événements (X =xi) et (Y =yj) sont indépendants.
C’est à dire P
(X =xi)∩(Y =yj)
= P(X =xi)×P(Y =yj).
Définition 4 - 3
On considère un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On jette successivement deux fois le dé et on note les numéros obtenus.
• On appelle X la variable aléatoire égale au premier numéro obtenu.
• On appelle Y la variable aléatoire définie par « la somme des deux numéros est un nombre premier ».
Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ? Exemple
La loi binomiale
3
3 1 Définition et propriété
Rappels
Uneépreuve deBernoulliest une expérience aléatoire pour laquelle il n’y a que deux issues, nommées, en général, « succès » et « échec » et notées, en général, S et S. On notepla probabilité du succès.
Quand une même épreuve deBernoulliest répétée plusieurs fois de manière indépendante, on dit qu’on est en présence d’unschéma deBernoulli. On noten le nombre de fois que l’épreuve deBernoulliest répétée.
Soit X la variable aléatoire qui à chaque issue d’un schéma deBernoulliassocie le nombre de succès qu’elle comporte. On appelleloi binomialela loi de probabilité de X. On la noteB(n, p).
Définition 4 - 4
34 4.3. LA LOI BINOMIALE
Rappels
Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomialeB(n, p). Alors :
• p(X =k) =
n k
pk(1−p)n−k
• L’espérance de X est E(X) =np
• La variance de X est : V(X) =np(1−p)
• L’écart-type de X est : σ(X) =p
np(1−p) Propriété 4 - 5
3 2 Intervalle de fluctuation selon la loi binomiale
L’ intervalle de fluctuation au seuil de 95% d’une fréquence, sur un échantillon aléatoire de taillen, selon la loi binomiale de paramètresnetpestha
n;bni avec :
• a: le plus petit entier tel que P(X6a)>0,025.
• b: le plus petit entier tel que P(X6b)>0,975.
Définition 4 - 5
3 3 Méthode
Pour déterminer un intervalle de fluctuation des fréquences au seuil de 95 % dans le cas d’une loi binomiale de paramètres (n;p) :
1. Dresser le tableau des probabilités cumulées P(X6k).
2. Chercher le premier entierktel que P(X6k) dépasse 0,025. On le noteadans la suite.
3. Chercher le premier entierktel que P(X6k) atteint ou dépasse 0,975. On le notebdans la suite.
4. L’intervalleha
n;bni
est un intervalle de fluctuation des fréquences au seuil de 95 %.
3 4 Utilisation d’un algorithme 3 4 a Langage formalisé
Algorithme :Intervalle de fluctuation selon la loi binomialeB(n;p) Variables : N, P, A, B
Entrées : N, P Traitement
A←0
tant queP(X6A)60,25faire A←A + 1
fin B←A
tant queP(X6B)<0,975faire B←B + 1
fin A←A÷N B←A÷N Fin
Sorties : Afficher « L’intervalle de fluctuation est » [A; B]
3 4 b Programmation
TI-82 Stats.fr
:Input "N",N :Input "P",P :0→A
:While binomFRép(N,P,A)60.025 :A+1→A
:End :A→B
:While binomFRép(N,P,B) < 0.975 :B+1→B
:End :A÷N→A :B÷N→B
:Disp "Intervalle [A,B]"
:Disp "A=",A :Disp "B=",B
Casio Graph 35+
"N" ?→N↵
"P" ?→P↵
0→A↵
While BinomialCD(A,N,P)60.025↵ A+1→A↵
WhileEnd↵ A→B↵
While BinomialCD(B,N,P) < 0.975↵ B+1→B↵
WhileEnd↵ A÷N→A↵ B÷N→B↵
"Intervalle [A,B]"↵
"A="↵
A ↵
"B="↵
B ↵
3 5 Utilisation de l’intervalle de fluctuation
On utilise l’intervalle de fluctuation, comme en Seconde ou en Première, lorsque la proportionpdans la population est connue ou bien si on fait une hypothèse sur sa valeur :
Représentativité : si la proportionpd’un caractère dans une population est connue, il permet de décider si un échantillon de taillenissu de cette population est représentatif de la population : si la fréquencef du caractère dans l’échantillon appartient à cet intervalle, on considère, au seuil de 95 %, que l’échantillon est représentatif.
Hypothèse surp : si on émet une hypothèse sur la proportionpd’un caractère dans une population, il permet de savoir si on doit rejetter cette hypothèse :
• Si la fréquencef observée dans un échantillon de taille nappartient à l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95, on considère que l’hypothèse selon laquelle la proportion estpdans la population n’est pas remise en question et icile risque d’erreur n’est pas quantifié.
En effet le risque de 5% signifie que la probabilité qu’on rejette à tort l’hypothèse alors qu’elle est vraie, est approximativement égale à 0,05.
• sinon on rejette l’hypothèse faite sur la proportionpavec un risque de 5%
de se tromper.
Le responsable de la maintenance des machines à sous d’un casino doit vérifier qu’un certain type de machine est bien réglé sur une fréquence de succès de 0,06.
1. Lors du contrôle d’une machine, le technicien constate qu’elle a fourni 8 succès sur 65 jeux. Doit-il remettre en question le réglage de la machine ? 2. Lors du contrôle d’une autre machine, il constate qu’elle a fourni 12 succès
sur 100 jeux. Doit-il remettre en question le réglage de la machine ? Exemple
36 4.4. LA LOI UNIFORME
On fait l’hypothèse que tous les ans à Gustave Eiffel il y a, en Terminale S, deux élèves sur trois qui sont des hommes soit une proportionp=23. En Terminale S1, sur 36 élèves il y a 16 hommes. On supposera que la constitution d’une classe de 36 élèves peut être assimilée à un tirage aléatoire avec remise.
1. Déterminer si on doit rejeter l’hypothèse de départ, au seuil de 95 %.
2. Après vérification auprès de l’administration, il s’avère que cette hypothèse est juste. Que peut-on dire alors de la TS1?
Exemple
La loi uniforme
4
4 1 Introduction
On choisit au hasard un nombre réel dans l’intervalle [0; 1].
Par quelle loi de probabilité sur [0; 1] peut-on modéliser ce choix ? Partie A :
Préciser quel universΩse trouve associé cette expérience.
En quoi se distingue-t-il des univers déjà rencontrés ? Partie B :
LorsqueΩest un ensemble fini{a1, a2, ..., an}, définir une loi de probabilité P surΩ, c’est se donner les réels P({a1}), ...,P({an}), tous positifs ou nuls et de somme 1.
Cette approche « points par points » peut-elle se généraliser ici ? 1. Conjectures :
Quelles probabilités pourrait-on associer aux événements : « obtenir 0 », « obte- nir 0,5 », « obtenir
√ 3
2 » ou « obtenirπ» ?
2. Les issues devant être équiprobables, on pose pour tout réelxde [0; 1], P({x}) =k avec k réel fixé.
Supposonsknon nul et considérons l’événement En={1
n,2n, . . . ,nn}. Exprimer P(En) en fonction deket den.
Montrer que pournsuffisamment grand on a P(En)>1.
Que peut-on en déduire pourk ?
Bilan : Donner P({x}) quandx∈[0; 1] et quandx<[0; 1].
Partie C :
Simulation avec excel : ALEA() permet d’obtenir un nombre au hasard dans [0; 1[. On partage [0; 1[ en dix sous intervalles disjoints d’amplitude 0,1.
On simule le choix de 10000 nombres au hasard dans [0; 1[ puis on calcule la fréquence des nombres qui appartiennent à chacun des intervalles.
En B3, on a saisi : En C3, on a saisi :
L’unité graphique de l’axe des ordonnées a été choisie de telle façon que l’aire de chaque rectangle ait pour mesure la fréquence de la classe correspondante.
Quel probabilité est-il naturel d’associer à chaque sous intervalle ? Soit X la variable aléatoire qui indique le nombre obtenu.
Calculer alors :
• P(X<0,5)
• P(X<0,2)
• P(X>0,8)
• P(0,3<X<0,8)
De manière générale, on considère l’intervalle I = [α;β] contenu dans [0; 1].
Conjecturez la valeur de P(X∈I).
Partie D :
1. Que vaut la somme des aires des rectangles de l’histogramme ?
2. Au vu de l’histogramme, on considère naturellement le carré de côté 1.
(a) Quelle est l’aire, en u.a de ce carré.
(b) On considère l’intervalle I = [α;β] contenu dans [0; 1].
Quelle est l’aire, en u.a, du rectangle s’appuyant sur l’intervalle I et de hauteur 1 ?
4 2 loi uniforme sur[0; 1]
4 2 a Définitions et propriétés
La loi uniforme modélise le choix d’un nombre réel X au hasard dans l’intervalle [0; 1].
Définition 4 - 6
Si une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [0; 1] alors pour tout intervalle [α;β] inclus dans [0; 1]
P(α6X6β) =β−α. Propriété 4 - 6
Si X suit la loi uniforme sur [0; 1] alors∀x∈R, P({x}) = 0.
Remarque
38 4.4. LA LOI UNIFORME
4 2 b Interprétation graphique
On obtient une interprétation graphique de la probabilité précédente en considérant l’aire du rectangle grisée représenté ci-dessous.
1
0 α β 1
4 2 c Exemple
La machine mesurant la concentration d’une substance est déréglée et donne un nombre au hasard entre 0 et 1.
Les résultats X affichés par la machine suivent la loi uniforme sur [0; 1].
Déterminer la probabilité que la concentration affichée soit comprise entre 0,5 mg/l et 0,75 mg/l.
Exemple
Pierre et Paul se donne rendez-vous à minuit dans un café. Pierre décide d’arriver à 00h30 et Paul au hasard entre 0h et 1h. Soit X la variable aléatoire égale à l’heure d’arrivée de Paul.
Calculer les probabilités des événements suivants :
• A=« Paul arrive avant Pierre »
• B=« Pierre attend Paul plus de 20 min » Exemple
4 3 loi uniforme sur[a;b]
4 3 a Définitions et propriété
La loi uniforme sur un intervalle [a;b] modélise le choix d’un nombre réel X au hasard dans l’intervalle [a;b].
Définition 4 - 7
Si une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a;b] alors pour tout intervalle [c;d] inclus dans [a;b]
P(c6X6d) =d−c b−a. Propriété 4 - 7
4 3 b Interprétation graphique
On obtient une interprétation graphique de la probabilité précédente en considérant l’aire du rectangle grisée représenté ci-dessous.
a c d b
1 b−a
4 3 c Exemple
À partir de 7 heure, les bus passent toutes les 15 minutes à un arrêt A. Un usager se présente en A entre 7h et 7h30.
On suppose que la durée entre 7h et son arrivée en A suit un loi de probabilité uniforme sur l’intervalle [0; 30].
Quelle est la probabilité qu’il attende son prochain bus : 1. moins de 5 minutes ?
2. plus de 10 minutes ? Exemple
Exercices
5
4 - 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de six questions ; chacune comporte trois réponses, une seule est exacte. On notera sur la copie uniquement la lettre correspondant â la réponse choisie.
Un lecteur d’une bibliothèque est passionné de romans policiers et de biographies.
Cette bibliothèque lui propose 150 romans policiers et 50 biographies.
40 % des écrivains de romans policiers sont français et 70 % des écrivains de biogra- phies sont français.
Le lecteur choisit un livre au hasard parmi les 200 ouvrages.
1. La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier est :
(a) 0,4; (b) 0,75; (c) 1
150.
2. Le lecteur ayant choisi un roman policier, la probabilité que l’auteur soit français est :
(a) 0,3; (b) 0,8; (c) 0,4.
3. La probabilité que le lecteur choisisse un roman policier français est :
(a) 1,15; (b) 0,4; (c) 0,3.
4. La probabilité que le lecteur choisisse un livre d’un écrivain français est :
(a) 0,9; (b) 0,7; (c) 0,475.
5. La probabilité que le lecteur ait choisi un roman policier sachant que l’écrivain est français est :
(a) 4
150; (b) 12
19; (c) 0,3.
6. Le lecteur est venu 20 fois à la bibliothèque ; la probabilité qu’il ait choisi au moins un roman policier est :
(a) 1−(0,25)20; (b) 20×0,75; (c) 0,75×(0,25)20. 4 - 2 La Réunion, Juin 2005
On considère trois urnesU1,U2etU3.
L’urneU1contient deux boules noires et trois boules rouges ; l’urneU2contient une boule noire et quatre boules rouges ; l’urneU3contient trois boules noires et quatre boules rouges.
