Nom :
Classe : T S DS n°2
le 16/10/2015 Note :
… / 25
Avis de l’élève Avis du professeur
Compétences évaluées Oui Non Oui Non
Exercice 1
Justifier si des affirmations sont vraies ou fausses (Bonne connaissance du cours).
Exercice 2 Calculer les premiers termes d'une suite.
Etudier le sens de variation d'une fonction.
Rédiger des démonstrations par récurrence.
Démontrer qu'une suite est arithmétique.
Exprimer le terme général d'une suite en fonction de n.
Déterminer la limite d'une suite.
Déterminer un seuil à l'aide d'un algorithme.
Exercice 3 Représenter une figure de l'espace en perspective cavalière.
Démontrer qu'un point appartient à l'intersection de deux plans.
Démontrer que des droites sont parallèles dans l'espace.
Exercice 4 Exprimer un vecteur en fonction de deux autres.
Démontrer des égalités vectorielles.
Construire la section d'un solide par un plan.
Exercice 1 : Vrai – Faux … / 4
Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse en justifiant ta réponse.
1) Toute suite croissante est convergente.
2) Toute suite décroissante minorée par 0 converge vers 0.
3) Il existe au moins une suite non monotone et bornée qui converge.
4) La suite définie par un = n2 (3 + cos n) est minorée et convergente.
Exercice 2 : (un) est la suite définie sur N par u0 = 5 et un+1=4un−1
un+2 . … / 11
Soit f la fonction définie sur ]-2 ; +∞[ par f(x)=4x−1
x+2 . Pour tout entier naturel n on a un + 1 = f (un).
1) Calcule u1 et u2.
2) a) Etudie le sens de variation de la fonction f.
b) Démontre par récurrence que pour tout entier naturel n on a : un > 1.
c) Démontre par récurrence le sens de variation de la suite (un).
d) Que peut-on en déduire sur la convergence de la suite (un) ?
3) On se propose d'étudier la suite (un) en déterminant une expression de un en fonction de n.
Pour tout entier naturel n on pose : vn= 1 un−1.
a) Démontre que la suite (vn) est arithmétique de raison 1 3. b) Pour tout entier naturel n, exprime vn puis un en fonction de n.
c) Détermine la limite de la suite (un).
d) Détermine, à l'aide d'un algorithme que tu préciseras, le rang à partir duquel on a un < 1,01.
Exercice 3 : … / 4 On considère une pyramide SABCD de sommet S et dont la base ABCD est un parallélogramme.
Les points I et J sont les milieux respectifs des arêtes [SC] et [SB]. Les droites (AJ) et (DI) sont sécantes en K.
1) Fais une figure.
2) Démontre que les droites (AD) et (IJ) sont parallèles.
3) Démontre que K appartient au plan (SAB) et au plan (SCD).
4) Déduis-en que la droite (SK) est parallèle aux droites (AB) et (CD).
Exercice 4 : … / 6
ABCDEFGH est un pavé droit. Les points I, J et K sont tels que ⃗AI=1
3⃗AD , ⃗AJ=1
4⃗AE et ⃗EK=3 4⃗EF.
N est le milieu de [CD].
L'objectif de l'exercice est de construire la section du pavé droit par le plan (IJK).
1) a) Exprime ⃗IJ en fonction des vecteurs ⃗AD et ⃗AE.
b) Démontre que ⃗JK=3
4⃗AB+3 4⃗AE . c) Démontre que ⃗IN=1
2⃗AB+2 3⃗AD . 2) a) Déduis-en que 6⃗IJ−2⃗JK+3⃗IN=⃗0.
b) Que peut-on dire des points I, J, K et N ? Justifie.
3) a) Que peut-on dire des intersections du plan (IJK) avec les plans (ABC) et (EFG) ? Justifie.
b) Déduis-en la construction de l'intersection du plan (IJK) avec la face EFGH du pavé droit.
4) Termine la construction de la section du pavé droit par le plan (IJK).
Bonus : Les vecteurs ⃗AF, ⃗IK et ⃗KN sont-ils coplanaires ? Justifie. … / 2
Correction du DS n°2 Exercice 1 : Vrai – Faux
Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse en justifiant ta réponse.
1) Toute suite croissante est convergente.
Faux. La suite définie sur N par un = n est croissante mais elle diverge vers +∞.
2) Toute suite décroissante minorée par 0 converge vers 0.
Faux. La suite définie sur N* par un=2+1
n est décroissante, minorée par 0, mais convergente vers 2.
3) Il existe au moins une suite non monotone et bornée qui converge.
Vrai. La suite définie sur N* par un=2+(- 1)n
n n'est pas monotone.
Elle est bornée entre 1 et 3 et converge vers 2.
4) La suite définie par un = n2 (3 + cos n) est minorée et convergente.
Faux.
∀n∈ℕ,-1≤cosn≤1 2≤3+cosn≤4 2n2≤n2(3+cosn)≤4n2
On peut considérer que (un) est minorée par 0 mais : lim
n→+∞2n2=+∞ et : lim
n→+∞4n2=+∞ Donc, d'après le théorème des gendarmes, (un) diverge vers +∞.
Exercice 2 : (un) est la suite définie sur N par u0 = 5 et un+1=4un−1 un+2 . Soit f la fonction définie sur ]-2 ; +∞[ par f(x)=4x−1
x+2 . Pour tout entier naturel n on a un + 1 = f (un).
1) Calcule u1 et u2.
u0=5 et ∀n∈ℕ, un+1=4un−1 un+2 . Donc : u1=4u0−1
u0+2 =4×5−1
5+2 =20−1 7 =19
7 u2=4u1−1
u1+2 = 4×19
7 −1 19
7 +2
= 76
7 −7 7 19
7 +14 7
= 69
7 33
7
=69 7 × 7
33=69 33=23
11
2) a) Etudie le sens de variation de la fonction f.
La fonction f est dérivable sur ]-2 ; +∞[ en tant que fonction homographique définie sur cet intervalle.
∀x∈]-2 ; +∞[, f (x)=4x−1
x+2 =u(x) v(x) avec :
{
u(v(x)=x)=4x+2x−1 et :{
u 'v '((x)=4x)=1∀x∈]-2 ; +∞[, f '(x)=u '(x)v(x)−u(x)v '(x) v2(x)
f '(x)=4(x+2)−(4x−1)
(x+2)2 =4x+8−4x+1 (x+2)2 = 9
(x+2)2
∀x∈]-2 ; +∞[, f '(x)>0. On en déduit que f est strictement croissante sur ]-2 ; +∞[.
b) Démontre par récurrence que pour tout entier naturel n on a : un > 1.
On note, pour tout entier naturel n, p(n) : « un > 1 » Initialisation :
u0 = 5 > 1. Donc p(0) est vraie.
Hérédité :
Soit k un entier naturel supérieur ou égal à 0.
Supposons que p(k) soit vraie.
On a alors : uk > 1
Or, la fonction f est croissante sur ]-2 ; +∞[ et uk > -2.
Donc : f (uk) > f (1) Or : f (1)=4×1−1
1+2 =3
3=1 et : f (uk)=uk+1 Donc : uk + 1 > 1.
On en déduit que p(k + 1) est vraie et que la propriété p(n) est héréditaire.
Conclusion :
p(0) est vraie et p(n) est héréditaire donc : ∀n∈ℕ, un>1.
c) Démontre par récurrence le sens de variation de la suite (un).
Le calcul des premiers termes de (un) nous permet de conjecturer que la suite est décroissante.
On note, pour tout entier naturel n, p(n) : « un + 1 < un » Initialisation :
u0 = 5 et u1=19
7 ≈2,7 . Donc p(0) est vraie.
Hérédité :
Soit k un entier naturel supérieur ou égal à 0.
Supposons que p(k) soit vraie.
On a alors : uk + 1 < uk
Or, la fonction f est croissante sur ]-2 ; +∞[ et -2 < 1 < uk + 1 < uk
Donc : f (uk + 1) < f (uk) Donc : uk + 2 < uk + 1
On en déduit que p(k + 1) est vraie et que la propriété p(n) est héréditaire.
Conclusion :
p(0) est vraie et p(n) est héréditaire donc : ∀n∈ℕ, un+1<un. On en déduit que (un) est décroissante sur N.
d) Que peut-on en déduire sur la convergence de la suite (un) ?
On a montré que la suite (un) était décroissante sur N et minorée par 1.
On en déduit que la suite (un) est convergente.
3) On se propose d'étudier la suite (un) en déterminant une expression de un en fonction de n.
Pour tout entier naturel n on pose : vn= 1 un−1.
a) Démontre que la suite (vn) est arithmétique de raison 13.
∀n∈ℕ, on a : vn+1−vn= 1
un+1−1− 1 un−1 vn+1−vn=
1 4un−1
un+2 −1
− 1
un−1= 1
4un−1−(un+2) un+2
− 1
un−1= un+2
4un−1−un−2− 1 un−1
vn+1−vn= un+2 3un−3− 1
un−1= un+2
3un−3− 3
3un−3=un+2−3
3un−3 = un−1 3(un−1)=1
3 On en déduit que la suite(vn) est arithmétique de raison 1
3. b) Pour tout entier naturel n, exprime vn puis un en fonction de n.
v0= 1
u0−1= 1 5−1=1
4.
Puisque (vn) est arithmétique de raison r=1
3 et de premier terme v0=1
4 alors :
∀n∈ℕ, vn=v0+nr=1 4+n
3=3+4n 12 Or : ∀n∈ℕ, vn= 1
un−1 Donc : v1
n
=un−1 Donc : un=1
vn+1= 12
3+4n+1=12+3+4n
3+4n =15+4n 3+4n c) Détermine la limite de la suite (un).
Si on cherche à calculer directement la limite de (un) on va tomber sur la forme indéterminée ∞
∞. un=15+4n
3+4n =
4n(15 4n+1) 4n( 3
4n+1)= 15 4n+1
3 4n+1 Or : lim
n→+∞
15
4n=0 Donc, par somme de limites : lim
n→+∞(15
4n+1)=1.
De même : lim
n→+∞( 3
4n+1)=1.
Donc, par quotient de limites : lim
n→+∞un=1 1=1.
d) Détermine, à l'aide d'un algorithme que tu préciseras, le rang à partir duquel on a un < 1,01.
On utilise l'algorithme suivant :
N prend la valeur 0 U prend la valeur 5 Tant que U ≥ 1,01
N prend la valeur N + 1 U prend la valeur 4 U−1
U+2 Fin tant que
Afficher N
L'algorithme retourne N = 300. Donc : ∀n∈ℕ, si n≥300 alors un<1,01.
Exercice 3 :
On considère une pyramide SABCD de sommet S et dont la base ABCD est un parallélogramme.
Les points I et J sont les milieux respectifs des arêtes [SC] et [SB]. Les droites (AJ) et (DI) sont sécantes en K.
1) Fais une figure.
2) Démontre que les droites (AD) et (IJ) sont parallèles.
I et J sont les milieux respectifs de [SC] et [SB].
Donc, d'après le théorème des milieux, les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.
ABCD est un parallélogramme donc (BC) et (AD) sont parallèles.
La droite (BC) est parallèle aux droites (IJ) et (AD). On en déduit que les droites (AD) et (IJ) sont parallèles.
3) Démontre que K appartient au plan (SAB) et au plan (SCD).
K = (AJ) ∩ (DI).
K ∈ (AJ) et (AJ) ⊂ (SAB) donc K ∈ (SAB) K ∈ (DI) et (DI) ⊂ (SCD) donc K ∈ (SCD)
K ∈ (SAB) et K ∈ (SCD) donc K ∈ (SAB) ∩ (SCD).
4) Déduis-en que la droite (SK) est parallèle aux droites (AB) et (CD).
Lorsque deux plans sont sécants ils le sont selon une droite.
S ∈ (SAB) ∩ (SCD) et K ∈ (SAB) ∩ (SCD) donc (SAB) ∩ (SCD) = (SK).
(AB) ⊂ (SAB) donc (AB) // (SAB).
(AB) // (CD) et (CD) ⊂ (SCD) donc (AB) // (SCD).
D'après le théorème du toît, la droite (AB) qui est parallèle aux plans (SAB) et (SCD) est aussi parallèle à leur intersection (SK). On montre de même que la droite (CD) qui est parallèle aux plans (SAB) et (SCD) est parallèle à (SK).
Exercice 4 :
ABCDEFGH est un pavé droit. Les points I, J et K sont tels que ⃗AI=1
3⃗AD , ⃗AJ=1
4⃗AE et ⃗EK=3 4⃗EF.
N est le milieu de [CD].
L'objectif de l'exercice est de construire la section du pavé droit par le plan (IJK).
1) a) Exprime ⃗IJ en fonction des vecteurs ⃗AD et ⃗AE.
⃗IJ=⃗IA+⃗AJ (d'après la relation de Chasles)
⃗IJ=-⃗AI+⃗AJ
⃗IJ=- 1
3⃗AD+1 4⃗AE b) Démontre que ⃗JK=3
4⃗AB+3 4⃗AE . ⃗JK=⃗JE+⃗EK
⃗JK=⃗JA+⃗AE+⃗EK
⃗JK=-⃗AJ+⃗AE+⃗EK
⃗JK=-1
4 ⃗AE+⃗AE+3 4⃗EF
⃗JK=3
4⃗AE+3 4⃗EF
Or, ABCDEFGH est un pavé droit. Donc ⃗EF=⃗AB . On en déduit : ⃗JK=3
4⃗AB+3 4⃗AE c) Démontre que ⃗IN=1
2⃗AB+2 3⃗AD . ⃗IN=⃗ID+⃗DN
⃗IN=⃗IA+⃗AD+⃗DN
⃗IN=-⃗AI+⃗AD+⃗DN
⃗IN=-1
3⃗AD+⃗AD+1
2⃗DC (Puisque N est le milieu de [CD] alors ⃗DN=1 2⃗DC )
⃗IN=2
3⃗AD+1 2⃗DC
Or, ABCDEFGH est un pavé droit. Donc⃗DC=⃗AB.
On en déduit : ⃗IN=1
2⃗AB+2 3⃗AD
L
M
2) a) Déduis-en que 6⃗IJ−2⃗JK+3⃗IN=⃗0.
6⃗IJ−2⃗JK+3⃗IN=6(-1
3⃗AD+1
4⃗AE)−2(3
4⃗AB+3
4⃗AE)+3(1
2⃗AB+2 3⃗AD) 6⃗IJ−2⃗JK+3⃗IN=- 2⃗AD+6
4⃗AE−6
4⃗AB−6
4⃗AE+3
2⃗AB+2⃗AD 6⃗IJ−2⃗JK+3⃗IN=- 2⃗AD+2⃗AD+6
4⃗AE−6
4⃗AE+3
2⃗AB−3
2⃗AB=0⃗ b) Que peut-on dire des points I, J, K et N ? Justifie.
6⃗IJ−2⃗JK+3⃗IN=⃗0.
On en déduit que les vecteurs ⃗IJ , ⃗JK et ⃗IN sont coplanaires.
Les points I, J, K et N sont donc coplanaires eux aussi.
3) a) Que peut-on dire des intersections du plan (IJK) avec les plans (ABC) et (EFG) ? Justifie.
Les plans (ABC) et (EFG) sont parallèles car ABCDEFGH est un pavé droit.
Si un plan est sécant à deux plans parallèles alors les droites d'intersections des plans sont parallèles.
b) Déduis-en la construction de l'intersection du plan (IJK) avec la face EFGH du pavé droit.
Le plan (IJK) coupe le plan (ABC) selon la droite (IN).
On en déduit que le plan (IJK) coupe le plan (EFG) selon la parallèle à (IN) passant par K.
On trace cette parallèle. Elle coupe l'arête [FG] en L. L'intersection de (IJK) avec la face EFGH est [KL].
4) Termine la construction de la section du pavé droit par le plan (IJK).
Le plan (IJK) coupe le plan (ABF) selon la droite (JK). Les plans (ABF) et (DCG) sont parallèles.
Le plan (IJK) coupe donc le plan (DCG) selon la parallèle à (JK) passant par N.
On trace cette parallèle. Elle coupe l'arête [CG] en M. L'intersection de (IJK) avec la face DCGH est [NM].
La section du pavé droit ABCDEFGH par le plan (IJK) est l'hexagone IJKLMN.
Bonus : Les vecteurs ⃗AF, ⃗IK et ⃗KN sont-ils coplanaires ? Justifie.
Les points I, J, K et N sont coplanaires dans le plan (IJK).
Donc les vecteurs ⃗JK , ⃗IK et ⃗KN sont coplanaires.
Montrons que ⃗AF est colinéaire à ⃗JK :
⃗AF=⃗AJ+⃗JK+⃗KF Or : ⃗EK=3
4 ⃗EF donc : ⃗KF=1
4⃗EF. De plus : ⃗AJ=1 4 ⃗AE . Donc : ⃗AF=1
4 ⃗AE+⃗JK+1 4⃗EF ⃗AF=1
4 (⃗AE+⃗EF)+⃗JK ⃗AF=1
4 ⃗AF+⃗JK ⃗AF−1
4 ⃗AF=⃗JK 3
4 ⃗AF=⃗JK ⃗AF=4
3 ⃗JK
Puisque les vecteurs ⃗AF et ⃗JK sont colinéaires et que les vecteurs ⃗JK , ⃗IK et ⃗KN sont coplanaires alors les vecteurs ⃗AF, ⃗IK et ⃗KN sont coplanaires.
