Partie 1 : Numérique (18 points)

Corrigé des Épreuves Communes de mathématiques

Coefficient: 2 2h 00

Calculatrice autorisée jeudi 23 mai 2013

La présentation et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans le devoir (3points). En particulier, il est conseillé d’aérer sa copie et d’encadrer (ou de souligner) vos résultats. Les détails de tous les calculs ou raisonnements sont demandés.

Partie 1 : Numérique (18 points)

.Exercice 1 (4,5 points) :

Dans une salle de cinéma, le tarif normal est 10e, et le tarif réduit est 7e. Un samedi, les 300 places de la salle ont été occupées lors de la première séance de la soirée, ce qui a rapporté une recette de 2 640e^.

1Ï On désigne parxle nombre de places au tarif normal.

a) Que représente l’expression 10x?

Elle représente le prix payé pourxpersonnes au tarif normal.

b) Et l’expression 300−x?

Elle représente le nombre de personnes restantes dans la salle, donc aussi le nombre de personnes ayant payé au tarif réduit.

c) Que représente l’expression 7(300−x) ?

C’est la recette obtenue pour les personnes ayant payé au tarif réduit.

2Ï Quelle équation permet de traduire que la recette de cette séance s’est élevée à de 2 640e^? 10x+7(300−x)=2 640

3Ï Résoudre l’équation précédente. Combien de spectateurs ont payé le tarif normal ? Le tarif réduit ? 10x+7(300−x)=2 640 est équivalent à :

10x+7×300−7x=2 640 3x+2 100=2 640 3x=2 640−2 100

3x=540 x=540

3 =180

180 personnes ont donc payé au tarif normal, et par conséquent 300−180=120 ont payé au tarif réduit.

.Exercice 2 (3 points) :

Dans la figure ci-contre,xdésigne un nombre positif.

1Ï Exprimer en fonction dexl’aire de la surface hachurée.

L’aire de la surface hachurée est égale à l’aire du grand rectangleABC Dà laquelle on retire celle du petit rectangleDEGF.

AABC F GE=AABC D−ADEGF

AABC F GE=AB×BC−F D×E D AABC F GE=23×(2x+8)−x(x+5) 2Ï Développer puis réduire l’expression :

23(2x+8)−x(x+5).

On nous demande en fait de développer et de ré- duire l’expression précédente.

AABC F GE=23(2x+8)−x(x+5) AABC F GE=23×2x+23×8−x×x−x×5

AABC F GE=46x+184−x²−5x AABC F GE= −x²+41x+184

A B

C

D E

F G

2x+ 8

x+ 5 23

x

.Exercice 3 (3,5 points) : 1Ï Développer et réduire les trois expressions suivantes :

M=x(x+1)+x(8−x)+7(x+1)

M=x×x+x×1+x×8+x×(−x)+7×x+7×1 M=x²+x+8x−x²+7x+7

M=16x+7 N=9x+7(x+1)

N=9x+7×x+7×1 N=9x+7x+7

N=16x+7 P=(x+7)(x+1)+x(8−x)

P=x×x+x×1+7×x+7×1+x×8+x×(−x) P=x²+x+7x+7+8x−x²

P=16x+7 2Ï Que peut-on en déduire ?

Que les expressionsM,N etPsont égales.

.Exercice 4 (7 points) :

1.Résoudre chaque équation : a) 11+8x=2−3x

8x+3x=2−11 11x= −9

x=−9 11

L’équation possède une solution :x=−9 11. b) −2

3x+2=4−5 3x

−2 3x+5

3x=4−2 3

3x=2 x=2

L’équation possède une solution :x=2.

c) 5 7x= −8

x= −8÷5 7 x= −8×7 5 x= −56

5

L’équation possède une solution :x = −56

5 (ou en- corex= −11, 2).

2.Calculer en détaillant : a) 6

5+4 7

6 5+4

7=42 35+20

35 6

5+4 7=62

35 b) 25

49×14 15

25 49×14

15=5×5 7×7×7×2

5×3 25

49×14 15=10

21 c) 7

15− 4 15×7

3 7 15− 4

15×7 3= 7

15−28 45 7

15− 4 15×7

3=21 45−28

45 7

15− 4 15×7

3=−7 45

Partie 2 : Géométrique (19 points)

.Exercice 5 (7 points) :

L’unité de mesure est le mètre.

Les dessins ne sont pas à l’échelle.

Roméo (R) veut rejoindre Juliette (J) à sa fenêtre. Pour cela, il place une échelle [J R] contre le mur [J H]. Le mur et le sol sont perpendiculaires.

On donneH R=3 etJ H=4.

1Ï a) Montrer queJ R=5.

DansJ R Hrectangle enH, on applique le théo- rème de Pythagore :

J R²=J H²+H R² J R²=4²+3²

J R²=16+9 J R²=25 J R=p

25=5

La longueur de l’échelle de Roméo est de 5 m.

b) Calculer cosH J R, puis la valeur de l’angle H J R arrondie au degré.

DansJ R Hrectangle enH, on a : cosH J R= J H

J R cosH J R=4

5 On en déduit queH J R =cos⁻¹(4

5)=37° au de- gré près.

2Ï L’échelle glisse.

On donneI R⁰=5 etƒH I R⁰=40°.

a) Calculer H R⁰ (donner la valeur arrondie au dixième).

Le triangleI H R⁰étant rectangle enH, ses angles aigus sont complémentaires, et on a ainsi :

ƒI R⁰H=90−ƒH I R⁰=90−40=50°.

D’autre part, comme I H R⁰ est rectangle enH, on a :

cosƒI R⁰H=H R⁰ I R⁰

On en déduit donc queH R⁰=I R⁰×cosƒI R⁰H, soit H R⁰=5×cos50=3, 2 m au dixième près.

b) Calculer I H (donner la valeur arrondie au dixième).

DansI H R⁰est rectangle enH, on a : cosƒH I R⁰=I H

I R⁰

On en déduit donc que I H =I R⁰×cosƒH I R⁰ = 5×cos(40)=3, 8 m au dixième près.

H J

R

J

I

R

H

.Exercice 6 (5 points) : Un cercleC de centreOet un cercleC⁰de centreO⁰(OetO⁰distincts, les rayons n’étant pas nécessairement les mêmes) se coupent enAetB.

Cest le point diamétralement opposé àAsurC. La droite (C B) recoupeC⁰enD

1Ï Faire une figure.

C

C^′

O

O^′ A

B C

D

2Ï Montrer queABCest rectangle.

Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un de ses côtés, alors il rectangle.

ABCest inscrit dans un cercle qui a pour diamètre son plus grand côté ([AC]), il est donc rectangle enB.

3Ï Que peut-on en déduire pourAB D?

Comme on vient de montrer que (AB)⊥(C B) à la question précédente et que nous savons queC,BetDsont alignés, on en déduit que (AB)⊥(B D), et donc que le triangleAB Dest rectangle enB.

4Ï Démontrer que [AD] est un diamètre deC⁰.

Si un triangle est rectangle, alors il est inscrit dans un cercle de diamètre son hypoténuse.

Le triangleAB Dest rectangle enB, il est donc inscrit dans un cercle de diamètre son hypoténuse [AB], c’est donc le cercleC⁰.

.Exercice 7 (7 points) : Dans la figure ci-contre :

• le triangleE DF est rectangle enE;

• Hest le milieu de l’hypoténuse [DF] ;

• E D Hƒ=28˚.

1Ï a) Montrer queD H Eest isocèle.

Comme le triangle E DF est rectangle en E, le centre de son cercle circonscrit est donc le mi- lieu de son hypoténuse [DF] : c’est par consé- quent le pointH. Ce point est à égale distance des trois sommetsD,EetF, et en particulier on a :H D=H E, ce qui nous montre queD H E est isocèle enH.

b) Quelle est la nature deE H F? Justifier.

De la même manière, on sait que H F = H E d’après la question précédente, donc H E F est isocèle enH.

2Ï Calculer la mesure des angles de chacun des trianglesD H EetE H F.

Dans un triangle isocèle, les angles à la base principale ont la même mesure.

Ainsi, dans D H E isocèle en H, on sait que E D Hƒ = ƒH E D =28°. D’autre part, la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°, donc on en déduit que dans le triangleD H E on a : D H Eƒ = 180−(ƒE D H +E D Hƒ) = 180−2×28 = 180−56=124°.

D, H et F étant alignés, D H Fƒ = 180° =D H Eƒ+ E H F. On en déduit queE H F =180−D H Eƒ=180− 124=56°.

Ainsi, dans H E F isocèle en H, les angles H E F et H F E ont la même mesure. Par conséquent : H E F =H F E =180−56

2 =124 2 =62°.

E D

F H

28^◦