Partie 1 : Numérique (19 points)

Corrigé des Épreuves Communes de mathématiques

Coefficient: 2 1h 30min

Calculatrice autorisée mercredi 5 février 2014

La présentation et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans le devoir (2points). En particulier, il est conseillé d’aérer sa copie et d’encadrer (ou de souligner) vos résultats. Les détails de tous les calculs ou raisonnements sont demandés.

Partie 1 : Numérique (19 points)

.Exercice 1 (6points) :

Calculer en donnant tous les détails. Le résultat sera donné sous forme entière ou fractionnaire simplifiée.

• A=(−7)+(−2+4)×(3−8) A= −7+2×(−5)

A= −7−10 A= −17(l pt)

• B= 6+8×(−7)

−13×(−2)−21 B= 6−56

26−21 B=−50

5 B= −10(l pt)

• C=3

7−2+ 5 14 C= 6

14−28 14+ 5

14 C=−22

14 + 5 14 C=−17

14 (l pt)

• D=5 4×

µ5 3−2

9

¶

D=5 4×

µ15 9 −2

9

¶

D=5 4×13

9 D=65

36(l pt)

• E=5 4×12

35 E=5

4×4×3 5×7 E=3

7 (0,5 pt)

• F= 7 18:49

63 F= 7

18×63 49 F= 7

2×9×9×7 7×7 F=1

2(l pt)

• G= µ−1

2

¶4

G=(−1)⁴ 2⁴ G= 1

16 (0,5 pt)

.Exercice 2 (4points) :

Exprimer sous formeaⁿ(aétant un entier positif etnun entier relatif) en détaillant : a) 2⁶×5⁶=(2×5)⁶=10⁶(0,5 pt)

b) 3²×3⁴=3²⁺⁴=3⁶(0,5 pt) c) 12⁷

3⁷ = µ12

3

¶7

=4⁷(0,5 pt)

d) 5³×5×5⁻⁵=5³×5¹×5⁻⁵=5³⁺¹⁻⁵=5⁻¹(0,5 pt)

e) 10⁵

10²=10⁵⁻²=10³(0,5 pt) f) 5³

5⁻⁷=5³⁻⁽⁻⁷⁾=5³⁺⁷=5¹⁰(0,5 pt) g) (10⁻³)⁻⁴=10^−3×(−4)=10¹²(0,5 pt) h) 10³×10⁻⁴

10⁻²×10⁵ = 10³⁻⁴

10⁻²⁺⁵ =10⁻¹

10³ =10⁻¹⁻³=10⁻⁴(0,5 pt)

.Exercice 3 (4points) :

1Ï On donneG=4 210. Recopier et compléter : a) G=42,1×10²(0,5 pt)

b) G=4 210 000×10⁻³(0,5 pt) 2Ï Écrire sous forme décimale :

a) 0,005 879 4×10⁴=58,794(0,5 pt) b) 23,08×10⁻³=0,023 08(0,5 pt)

3Ï SoitA=25×10⁶×3×10⁻² 150×10⁸ .

CalculerA en détaillant, et donner l’écriture dé- cimale, puis scientifique du résultat.

A= 25×3×10⁶⁻² 25×3×2×10⁸ A= 10⁴

2×10⁸ A=1

2×10⁴⁻⁸ A=0,5×10⁻⁴ A=5×10⁻¹×10⁻⁴ A=5×10⁻¹⁻⁴

A=5×10⁻⁵: écriture scientifique deA A=0,000 05 : écriture décimale deA(2 pts)

.Exercice 4 (2points) :

En expliquant votre raisonnement, déterminer le signe des expressions suivantes :

a) A=(−1)⁴.Aest un produit de quatre facteurs négatifs, le nombre quatre étant pair,Aest positif.(1 pt)

b) B= −3⁴. On aB= −3×3×3×3,Best donc un produit comportant un seul facteur négatif ; le nombre un étant impair, Best négatif.(1 pt)

.Exercice 5 (3points) :

Écrire les nombres suivants en notation scientifique en détaillant votre démarche (si nécessaire) : A=51 892,7 B=0,050 347 C=3 217×10⁻²¹ D=0,524 893×10¹⁷ On a, de façon directe :

A=5,189 27×10⁴(0,5 pt) B=5,034 7×10⁻²(0,5 pt)

CetDnécessitent quelques détails supplémentaires : C=3,217×10³×10⁻²¹

C=3,217×10³⁻²¹ C=3,217×10⁻¹⁸(1 pt)

D=5,248 93×10⁻¹×10¹⁷ D=5,248 93×10⁻¹⁺¹⁷ D=5,248 93×10¹⁶(1 pt)

Partie 2 : Géométrique (19 points)

.Exercice 6 (6,5points) :

DEFest un triangle rectangle enEtel queDE=7 cm etEF=24 cm.

IetHsont les milieux respectifs des segments [GF] et [GD].

Le schéma ci-contre n’est pas représenté en vraie grandeur.

1Ï Montrer queDF=25 cm. Justifier.

DansDEFrectangle enE, on applique le théorème de Pythagore : DF²=DE²+EF²

DF²=7²+24² DF²=49+576 DF²=625 Ainsi,DF=p

625=25 cm.(2,5 pts) 2Ï CalculerH I en détaillant.

Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux cô- tés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.

Dans le triangleDGF, les pointsHetIsont les milieux respectifs des cô- tés [GD] et [GF]. La longueur du segment [H I] est donc égale à la moitié du troisième côté [DF] :

H I=DF 2 =25

2 =12,5 cm.(4 pts)

7cm

24cm D

E

F G

H

I

.Exercice 7 (6points) :

Au lycée professionnel, Jacques et Patrick, futurs maçons, s’entrainent en construisant un mur chacun.

Leur professeur M. Ecker vient vérifier si chaque mur est bien « droit », c’est-à- dire perpendiculaire au sol.

Ayant oublié sa caisse à outils dans son atelier, il ne possède que le mètre ruban qu’il avait dans sa poche.

Pour chacun des murs, M. Ecker place au pied du mur un point I puis un point H à 60 cm de hauteur sur le mur et un autre point S au sol à 80 cm de I, puis il mesure la longueur HS.

Pour le mur de Jacques il trouve 1 m et pour celui de Patrick 95 cm.

1Ï Le mur de Jacques est-t-il « droit » ? Détailler votre raisonnement.

On commence d’abord par convertir les longueurs à la même unité, le cm semble adapté puisque seule une longueur reste à convertir et on a : H I=1 m=100 cm.

Dans le triangleH I S, on calcule : – le carré du plus long côté :

H I²=100²=10 000.

– la somme des carrés des deux autres côtés : H I²+I S²=60²+80²=3 600+6 400=10 000

On constate alors queH I²=H I²+I S² et par conséquent, le triangle H I Sest rectangle enId’après la réciproque du théorème de Pythagore.

Le mur de Jacques est droit.(3,5 pts) 2Ï Et celui de Patrick ? Justifier.

Dans le triangleH I S, on calcule : – le carré du plus long côté :

H I²=95²=9 025.

– la somme des carrés des deux autres côtés : H I²+I S²=10 000 (voir question 1).

On constate alors queH I²6=H I²+I S² et par conséquent, le triangle H I Sn’est pas rectangle d’après la contraposée du théorème de Pytha- gore.

Le mur de Patrick n’est pas droit.(2,5 pts)

H

I

S Mur

.Exercice 8 (6,5points) :

Pour trouver la hauteur d’une éolienne, on a les renseignements suivants :

Les pointsO,AetCsont alignés.

Les pointsO,BetDsont alignés.

Les anglesOAB etAC D sont droits.

OA=11 m ;AC=594 m, etAB=1,5 m.

Le schéma n’est pas représenté en vraie grandeur.

Le segment [C D] représente l’éolienne.

hauteurdel’éolienne

O C

D

A B

1Ï Expliquer pourquoi les droites (AB) et (C D) sont parallèles.

On sait que (AB)⊥(OC) et que (C D)⊥(OC). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Par conséquent, (AB)//(C D).(1,5 pt)

2Ï Calculer la hauteurC Dde l’éolienne. Justifier.

Les pointsO,AetCétant alignés, on a :OC=OA+AC=11+594=605 m.

Dans le triangleODCon sait queA∈[OC],B∈[OD] et (AB)//(C D), donc, d’après le théorème de Thalès, on a : OA

OC =OB OD = AB

C D De l’égalitéOA

OC = AB

C D, on obtient : C D=AB×OC

OA =1,5×605

11 =82,5 m.

La hauteur de l’éolienne est donc de 82,5 m.(5 pts)