2nde : correction du devoir sur feuille n
o3
I
Lorsque Yacine a déplacé son lecteur DVD, il a été obligé de débrancher trois câbles. Les trois câbles sont de couleurs différentes et correspondent chacun à une entrée spécifique.
Malheureusement, les entrées n’ont pas de couleur et Yacine ne se souvient plus dans quelle prise brancher chaque câble.
1. On peut s’aider d’un arbre, en notant les trois couleurs R, V et B pour rouge, vert et bleu.
b b
R b
V
b B
b
B
b V
b
V b
R
b B
b
B
b V
b
B b
R
b V
b
V
b R
Il y a doncsixbranchements possibles.
2. Il atort; il n’y a qu’un branchement correct sur les six possibles, donc il a une probabilité de1
6de réussir le bon branchement.
II
On a effectué un sondage sur les activités extra-sportives pra- tiquées par les élèves d’un lycée.
10 % des élèves font à la fois un sport et jouent d’un instrument de musique, 35 % font seulement du sport et 40 % ne pratiquent ni sport ni musique.
On interroge un élève au hasard à la sortie du lycée.
On note S l’événement « l’élève pratique un sport » et M l’évé- nement « l’élève pratique un instrument de musique ».
Faisons un graphique illustrant la situation :
S S∩M M
35 % 10 %
40 %
Traduisons les hypothèses à l’aide de S et M
• p(S∩M)=10 %=0,1
• p³ S∩M´
=35 %=0,35.
• p
³S∪M´
=40 %=0,4
Écrire les événements suivants à l’aide de M et S, puis calculer leurs probabilités :
1. « L’élève ne fait pas de sport, mais joue d’une instrument de musique. » est l’événementS∩M.
Sa probabilité estp³ S∩M´
=15 %= 0,15 en s’aidant du schéma.
2. « L’élève pratique un sport » est l’événement S.
p(S)=45 %= 0,45.
3. « L’élève joue d’un instrument de musique » est l’événe- ment M.
p(M)=25 %= 0,25
4. L’élève pratique un sport ou joue d’un instrument » est l’événement S∪M.
p(S∪M)=1−40 %=1−0,4= 0,6.
III
Tracer un triangle équilatéral ABC de côté 4 cm.
Construisons le point D vérifiant−−→ AD=1
2
−→AC+3 2
−→AB.
On construit E tel que−→ AE=1
2
−→
AC puis D tel que−→ ED=3
2
−→ AC. Alors 1
2
−→ AC+3
2
−→ AB=
−→ AE+
−→ ED=
−→
AD (relation de Chasles)
b
A
bB
bC
bE bD
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IV
Soit ABC un triangle quelconque. I et J sont les mieux respec- tifs de [AB] et [AC].
bA
bB
bC
c
a b
bI b
u J
1. →− IJ=
−
→IA+
−
→AJ= −
−
→AI+
−
→AJ=
−
→AJ−
−
→AI 2. On a−→
AI=1 2
−→ AB et−→
AJ=1 2
−→ AC 3. On en déduit :−→
IJ=
−
→AJ−
−
→AI=1 2
−→ AC−1
2
−→ AC=1
2
−→ AC=1
2
−→ AB
=1 2
³−→ AC−
−→ BC´
= 1 2
−→ BC
4. On en déduit que le segment joignant les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté et a pour longueur la moitié de celui-ci : on retrouve laréciproque du théorème de la droite des milieux(cas particulier de la réciproque du théorème de Thalès).
V
Soient [ AC ] et [ BD ] deux diamètres d’un cercleC.
bO
bA
bB
bC
bD
Par définition d’un diamètre, [AC] et [BD] se coupent en leur mi- lieu O, centre du cercle.
Le quadrilatère ABCD est donc un parallélogramme (et même un rectangle puisque les diagonales ont le même milieu) ?
Alors : AD+AB=ACcar la somme de deux vecteurs de même origine est le vecteur diagonale du parallélogramme formé sur des deux vecteurs (cf. cours)
On peut le démontrer de nouveau en utilisant−→ AB=
−→DC, donc
−→ AD+
−→ AB=
−→ AD+
−→DC=
−→ AC.
VI
Soit I le milieu d’un segment [AB ] et M un point n’apparte- nant pas à la droite (AB).
1.
bA
bB
b
I
bM
bC
bD
E
2. Les quadrilatères AIMC et IBDM sont des parallélo- grammes par construction.
3. On a−−→ CM=
−
→AI,−→ AI=
−
→IB et−→ IB=
−−→
MD car nous avons deux pa- rallélogrammes et I est le milieu de [AB].
On en déduit−−→ CM=
−−→
MD donc M est le milieu de [CD].
4. −→ IC=
−→ IM+
−−→ MC=
−→BD+
−−→ DM=
−−→
BM carI M=
−→BD et−−→ DM=
−−→ MC.
5. Soit E le symétrique de I par rapport à M.
(a) On en déduit→− IE=2−→
IM (b) −→
IC+
−→ ID=
³−→ IM+
−−→ MC´
+
³−→ IM+
−−→ MD´
=2−→ IM+
³−−→ MC+
−−→ MD´
=2−→ IM+
−
→0 =2−→ IM=
−
→IE car M étant le milieu de [CD],
−−→ MC+
−−→ MD=
−
→0 .
VII
Soit ABCD un carré de centre O. I et J sont les milieux respec- tifs de [AB] et [CD].
K est un point de [BD] autre que O. L est le symétrique de K par rapport à O.
bA bB
bC
bD
bO
bI
bJ
bK
bL
Le but de l’exercice est d’étudier la nature du quadrilatère ILJK.
1. Dans le repère³ A ;−→
AB ;−→ AD´
, on a : A(0 ; 0), B(1 ; 0), C(1 ; 1), D(0 ; 1), I
µ1 2; 0
¶ , J
µ1 2 ; 1
¶ et K¡
x;y¢ .
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2. Cherchons les coordonnéesxLetyLde L : x0=x+xL
2 doncxL=2x0−x=1−x; de même,yL=1−y dpnc L(1-x ; 1-y)
−
→JK Ã
x−1 y−21
! et−→
LI Ã
x−1 2
−1
! .
Les deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, donc sont égaux. ILJK est donc un parallélogramme.
3. Question facultative :
ILJK est un rectangle si, et seulement si, le triangle IJK est rectangle en K. Comme O est le milieu de [IJ], le triangle IJK est rectangle en K si, et seulement si, O est le centre du cercle circonscrit au triangle IJK, donc OI=OJ=OK.
Il est clair que OI=OJ=1
2. on doit donc avoir OK=1 2.
VIII
Partie A
1. 16−(x−2)2=16−£
x2−4x+4¤
=16−x2+4x−4
= −x2+4x+12.
2. 16−(x−2)2 = 42−(x−2)2 = [4−(x−2)] [4+(x−2)]= (6−x)(2+x) .
3. 16−(x−2)2=0⇔ (6−x)(2+x)=0.
Un produit dd facteurs est nul si, et seulement si, l’un des facteurs est nul. L’équation a donc deux solutions :
S={−2 ; 6}
Partie B
Sur la figure ci-dessous ,ABC Dun carré de 8 cm de côté.B′ est un point mobile sur [AB] etC′etD′sont tels queAB′C′D′ soit un carré.
On posex=AB′.
1. Figure en vraie grandeur avecx=3 :
bB
bC
bD
bA
a
b
c d
bB′
bC′
bD′
a1
b′
c′ d′
b′1 b1
c1′
d1′
c′2
c d1
2. La partie grisée (hachurée) est constitué d’un triangle et d’un trapèze.
L’aire du triangle vaut 3×5 1 = 15
2 ; celle du trapèze vaut (3+8)×5
2 =55
2 donc l’aire hachurée vaut15 2 +55
2 =35.
3. Avecx=6, on a une figure semblable.
4. L’intervalle auquel appartientxest I=[0 ; 8]. 5. L’aire du triangleBCC′estA¡BCC′¢=x(8−x)
2 .
6. On noteA(x) l’aire de la surface hachurée en fonction de x. L’aire du trapèze CDD’C’ est (x+8)×(8−x)
2
=(8+x)(8−x)
2 =64−x2 2 .
L’aire hachurée estA(x)=x(8−x)
2 +(8+x)(8−x) 2
=8x−x2+64−x2
2 =
−2x2+8x+64
2 = −x2+4x+32 . 7. A(x)=20⇔ −x2+4x+32=20⇔ −x2+4x+12=0.
On retrouve l’équation de la première partie, qui a pour solutions -2 et 6. Commex∈[0 ; 8], la solution est x=6
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