Chapitre 2 : «
Chapitre 2 : « Droite des milieux dans un triangle ; notions Droite des milieux dans un triangle ; notions de démonstration»
de démonstration»
I. Propriété directe
Activité de constructions
Construire un triangle IJK tel que IK=7,7cm ; KJ=6 cm ; IJ=3,8cm
On a placé les milieux A de [JK] et B de [JI].
Il semble que la droite AB soit parallèle à IK.
Construis maintenant un triangle XYZ tel que XY=6,8cm ; XYZ=35° et YXZ=46°.
On a placé les milieux O de [ZY] et P de [XY].
On remarque aussi que la droite
OP est parallèle à la droite XZ
Définition
Dans un triangle, une droite qui passe par les milieux de deux côtés est appelée droite des milieux.
Remarque
Dans un triangle, il y a trois droites des milieux.
Propriété 1 (à savoir jusqu'à la fin du collège)
Dans un triangle, une droite passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.
Illustration
Activité de constructions
• Construire un triangle ABC tel que AB=5 cm, AC=8cm et BAC=40°. Place ensuite les milieux I de [AB] et J de [BC]. Que remarques-tu ?
Il semble que la longueur IJ soit la moitié de la longueur AC
• Construis un triangle EFG rectangle en G tel que EF=8cm et EG=4 cm. Place les milieux O et P de [EF] et [EG].
Il semble, ici aussi, que PO est environ égal à la moitié de EG
Propriété 2
Dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés est égal à la moitié du troisième côté.
Illustration
II. Notion de démonstration
Énoncé d'un problème
On considère un parallélogramme ABCD de centre O. I est le milieu de [AB]. Fais une figure puis démontre que OI est parallèle à BC.
Figure
Un modèle de démonstration
• 1 ère étape : « On décrit la figure »
I est le milieu de [AB] d'après l'énoncé. O est le milieu de [AC] car les diagonales se coupent en leurs milieux.
• 2 ème étape : « On énonce la loi mathématique : propriété, définition, règle, théorème... »
Dans un triangle... (voir propriété 1)
• 3 ème étape : « On conclut » Donc OI est parallèle à BC
Rappel : construction d'un parallélogramme au compas
• On a pris l'écartement entre B et A, puis on a pointé sur C pour faire un premier arc de cercle.
• Ensuite, on a pris
l'écartement entre B et C, puis on a pointé sur A pour le deuxième arc.
• Propriétés du parallélogramme
✗ Les côtés opposés sont de même longueur : AB=CD et BC=AD.
✗ Les diagonales se coupent en leur milieu : P est le milieu de [AC] et [BD].
III. Une propriété réciproque
Activité
(Fait à l'oral en classe)
Propriété réciproque
Si une droite est parallèle à un côté et si elle passe par le milieu d'un deuxième côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.
Illustration
Un exemple type
On considère un triangle ABC rectangle en B. I est le milieu de [AB]. d est une droite passant par I et perpendiculaire à [AB].
Fais une figure puis démontre que [AB] passe par le milieu de [AC].
• On sait que d passe par le milieu de [AB]. Puisque d et BC sont perpendiculaires à
AB, elles sont aussi parallèles entre elles.
• Si une droite passe par le milieu d'un côté … (voir propriété réciproque)
• Donc d passe par le milieu de [AC].
Pour lundi 11/10
• Devoir à rendre sur feuille bien présenté et bien rédigé.