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Chapitre 2 : « Droite des milieux dans un triangle ; notions Droite des milieux dans un triangle ; notions de démonstration»

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Academic year: 2022

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4ème3 2010-2011

Chapitre 2 : «

Chapitre 2 : « Droite des milieux dans un triangle ; notions Droite des milieux dans un triangle ; notions de démonstration»

de démonstration»

I. Propriété directe

Activité de constructions

Construire un triangle ABC tel que AB=7cm, BC=4 cm et CA=5 cm. On a placé les milieux I de

[AB] et J de [AC].

Il semble que la droite IJ soit parallèle au côté BC ou [BC]

Construis, cette fois-ci, un triangle HJK tel que HJ=6,8 cm, JHK=35° et HJK=46°.

On a placé les milieux A de [HJ] et B de [HK].

On remarque aussi que la droite

AB est parallèle au côté KJ ou [KJ ].

Définition

Dans un triangle, une droite qui passe par les milieux de deux côtés est appelée droite des milieux.

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4ème3 2010-2011

Propriété 1

Dans un triangle, une droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côtés.

Illustration (à main levée)

Activité de constructions

• Construire un triangle IJK tel que IJ=8cm, IK=4 cm et JIK=40°. Place les milieux A et B de [IJ] et [KJ]. Que remarques-tu ?

On remarque que la longueur AB est environ la moitié de la longueur

IK.

• Construire un triangle ABC rectangle en A tel que AB=4 cm et BC=7cm. Place les milieux I de [AB] et J de [BC]. Que remarques-tu ?

On remarque aussi que IJ est environ la moitié de AC.

Si I est le milieu de [AC] et si J est le milieu de [AB]

alors (IJ) est parallèle à (AB)

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4ème3 2010-2011

Propriété 2

Dans un triangle, un segment joignant les milieux de deux côtés est égal à la moitié du troisième côté.

Illustration

II. Notion de démonstration

Énoncé d'un problème

On considère un parallélogramme ABCD de centre O. I est le milieu de [AB]. Fais une figure puis démontre que OI est parallèle à BC.

Une rédaction possible de la solution

• 1 ère étape : « On décrit une partie de la figure en pensant à la propriété que l'on va utiliser »

I est le milieu de [AB] d'après l'énoncé. Puisque O est

l'intersection des diagonales, il est le milieu de [AC].

• 2 ème étape : « On énonce une loi générale : propriété, théorème, définition... » Dans un triangle, une droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.

• 3 ème étape : « On conclut par rapport à la question posée » Donc OI est parallèle à BC.

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4ème3 2010-2011

Rappels : construction d'un parallélogramme

• On a pris l'écartement entre J et I, puis on a pointé sur K pour faire un premier arc de cercle.

• On a pris l'écartement entre J et K, puis on a pointé sur I pour faire un deuxième arc.

III. Une propriété réciproque

Activité (Faite à l'oral) Propriété réciproque

Si une droite passe par le milieu d'un côté et si elle est parallèle à un deuxième côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.

Illustration

Pour lundi 11/10

• Contrôle

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