4ème3 2010-2011
Chapitre 2 : «
Chapitre 2 : « Droite des milieux dans un triangle ; notions Droite des milieux dans un triangle ; notions de démonstration»
de démonstration»
I. Propriété directe
Activité de constructions
Construire un triangle ABC tel que AB=7cm, BC=4 cm et CA=5 cm. On a placé les milieux I de
[AB] et J de [AC].
Il semble que la droite IJ soit parallèle au côté BC ou [BC]
Construis, cette fois-ci, un triangle HJK tel que HJ=6,8 cm, JHK=35° et HJK=46°.
On a placé les milieux A de [HJ] et B de [HK].
On remarque aussi que la droite
AB est parallèle au côté KJ ou [KJ ].
Définition
Dans un triangle, une droite qui passe par les milieux de deux côtés est appelée droite des milieux.
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Propriété 1
Dans un triangle, une droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côtés.
Illustration (à main levée)
Activité de constructions
• Construire un triangle IJK tel que IJ=8cm, IK=4 cm et JIK=40°. Place les milieux A et B de [IJ] et [KJ]. Que remarques-tu ?
On remarque que la longueur AB est environ la moitié de la longueur
IK.
• Construire un triangle ABC rectangle en A tel que AB=4 cm et BC=7cm. Place les milieux I de [AB] et J de [BC]. Que remarques-tu ?
On remarque aussi que IJ est environ la moitié de AC.
Si I est le milieu de [AC] et si J est le milieu de [AB]
alors (IJ) est parallèle à (AB)
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Propriété 2
Dans un triangle, un segment joignant les milieux de deux côtés est égal à la moitié du troisième côté.
Illustration
II. Notion de démonstration
Énoncé d'un problème
On considère un parallélogramme ABCD de centre O. I est le milieu de [AB]. Fais une figure puis démontre que OI est parallèle à BC.
Une rédaction possible de la solution
• 1 ère étape : « On décrit une partie de la figure en pensant à la propriété que l'on va utiliser »
I est le milieu de [AB] d'après l'énoncé. Puisque O est
l'intersection des diagonales, il est le milieu de [AC].
• 2 ème étape : « On énonce une loi générale : propriété, théorème, définition... » Dans un triangle, une droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.
• 3 ème étape : « On conclut par rapport à la question posée » Donc OI est parallèle à BC.
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Rappels : construction d'un parallélogramme
• On a pris l'écartement entre J et I, puis on a pointé sur K pour faire un premier arc de cercle.
• On a pris l'écartement entre J et K, puis on a pointé sur I pour faire un deuxième arc.
III. Une propriété réciproque
Activité (Faite à l'oral) Propriété réciproque
Si une droite passe par le milieu d'un côté et si elle est parallèle à un deuxième côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.
Illustration
Pour lundi 11/10
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