Correction du devoir n

Correction du devoir n

1

I

On considère les points R(1 ; -1), S(-2 ; 0), T(0 ; 6) et U(3 ; 5).

1. Voir figure

bR

bS

bT

bU

2 4 6

−2

−2 O 2

2. RSTU semble être un rectangle.

3. Soient M le milieu de la diagonale [RT] et M’ le milieu de [SU].

xM=xR+xT

2 =1

2etyM=yR+yT

2 =5

2donc M µ1

2; 5 2

¶ .

x^′_M=xS+xU

2 =1

2ety^′_M=yS+yU

2 =5

2 donc M^′ µ1

2; 5 2

¶ . M et M’ onrt les même coordonnées donc M = M’.

RSTU est donc unparallélogramme.

4. Étudions les longueurs de ces diagonales.

RT= q

(xT−xR)²+¡ yT−yR

¢₂

=p

((0−1)²+(6−(−1)))²=p

1+49= p 50 SU=

q

(xU−xS)²+¡ yU−yS

¢2

=p

((3−(−2))²+(5−0))²=p

25+25= p 50 .

Le parallélogramme a deux diagonales de même lon- gueur : c’est unrectangle.

II

Figure :

bT

bA

bC

bK

bE

1 2 3

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3 OO

1. • T A= q

(xA−xT)²+¡ yA−yT

¢₂

= q

(−1,2−(−2,2))²+(3,6−1,2)²=p

1²+2,4²

= p

6,76=2,6.

• AC = p

(6−(−1,2))²+(0,6−3,6)² = p

7,2²+(−3)² = p60,84=7,8.

• T C =p

(6−(−2,2))²+(0,6−1,2)²=p

8,2²+(−0,6)² = p67,6 .

T A²+AC²=6,76+60,84=67,6 ;T C²=67,6 doncT C²= T A²+AC².

D’après la réciproque du théorème de Pythagore,T AC estrectangleen A.

2. Kest le milieu de [T C].

xK=xT+xC

2 =−2,2+6 2 =3,8

2 =1,9 ; yK=yT+yC

2 =1,2+0,6

2 =1,8

2 =0,9 doncKa pour coor- données K(1,9 ; 0,9).

3. Soit E le point tel queEC ATsoit un parallélogramme ; c’est alors un parallélogramme qui a un angle droit, donc c’est unrectangle.

Il suffit donc de chercher le quatrième sommet d’un paral- lélogramme.

Puisque K est le milieu de la diagonale [T C] de ce parallé- logramme,K doit aussi être le milieu de l’autre diagonale [AE].

On doit donc avoir : xK=1,9=xA+xE

2 donc 1,9=−1,2+xE

2 d’où−1,2+xE = 2×1,9=3,8 et doncxE=3,8−(−1,2)=3,8+1,2=5 yK =0,9= yA+yE

2 donc 0,9= 3,6+yE

2 d’où 3,6+yE = 2×0,9=1,8 et doncyE=1,8−3,6= −1,8.

E doit avoir pour coordonnées E(5 ;−1,8) pour que EC ATsoit un rectangle.

III

Dans le repère orthonormé (0 ; I ; J) d’unité 1 cm, on consi- dère les points suivants : A(6 ; 0), B(0 ; 4), C(1 ; -1).

1. Figure :

1 2 3 4 5

−1

−2

1 2 3 4 5 6

−1

bA

bB

bC

c

a

b

bK

bO

d f

2. • AB= q

(xB−xA)²+¡ yB−yA

¢₂

=p

(−6)²+4²=p

36+16= p 52=2p

13.

• BC q

(xC−xB)²+¡ yC−yB

¢₂

=p

1²+(−5)²=p

1+25= p 26

• AC q

(xC−xA)²+¡ yC−yA

¢₂

=p

(−5)²+(−1)²=p

25+1= p 26 BC²=52 etAB²+AC²=26+26=52.

Par conséquent :BC²=AB²+AC². D’après laréciproque du théorème de Pythagore, le triangleABCestrectangle en A.

3. Kest le milieu de [AB] donc de l’hypoténuse.

(a) Les coordonnées de K sont : xK = xA+xB

2 =3 et yK=yA+yB

2 =2 donc K(3 ; 2) .

(b) PuisqueK est le milieu de l’hypoténuse [AB] du tri- angleABC,K est lecentre du cercle circonscrità ce triangle.

Le triangleO ABest lui aussi rectangle en O (puisque le repère est orthonormé) doncOappartient aussi au cercle de diamètre [AB], qui a pour centreK. K CetK Osont tous deux des rayons de ce cercle cir- conscrit au triangleABC, donc K O=K C .

Kest équidistant des pointsOetCdoncKappartient à la médiatrice de [OC].

On peut aussi calculer directement les longueurs K Oet K C et montrer que l’on a la même valeur qui estp

13.

IV

a) Le minimum de la fonction est 1, donc toutes les valeurs de f(x) sont positives. L’ensemble des valeurs dex pour les- quellesf(x)Ê0 est donc S_{=[−4 ; 4].}

b) f(−4)=3, donc sur l’intervalle [−4 ; 2], la seule valeur pour laquellef(x)Ê3 estx= −4.

Sur [2 ; 4], on sait que f(3)=3 et que f est croissante, donc pourxÊ3,f(x)Ê3.

L’ensemble des nombres x tels que f(x) Ê 3 est donc S _{={−4}∪[3 ; 4].}

c) L’ensemble des nombres x tels que f(x) < 3 est S _{=]−4 ; 3[.}

d) Comme 1 est le minimum de f, atteint enx=2, l’ensemble des nombresxtels quef(x)<1 est S_{= ;.}

V

On obtient comme figure :

bA(0, 0)

bB(b; 0)

b

C¡ x_C;y_C¢

bI

c b a

L

J

I

x y

1. • Puisque A est l’origine du repère, on a : A(0 ; 0)

• Puisque B est à une distancec de Aavec une abscisse positive, les coordonnées de B sont B(c; 0)

2. I est le milieu de [AB], donc xI = xA+xB

2 = c

2 etyI =0 puisqueIappartient à l’axe des abscisses.I

³c 2; 0´

. 3. L²=C I²=(xI−xC)²+¡

yC−yI

¢₂

=

³c 2−xC

´2

+y_C²

=c² 4 −2×c

2×xC+x_C²+y_C²= x_C²+y_C²−cxC+c² 4 4. De même :

a²=BC²=(xC−xB)²+¡ yC−yB

¢2

=(xC−c)²+¡ yC−0¢2

=x_C²−2cxC+c²+y_C²= x_C²+x²_C−2cxC+c². b²=AC²= x_C²+y_C²

5. Alors :1 4

¡2a²+2b²−c²¢

=a² 2 +b²

2 −c² 4

=x_C² 2 +y_C²

2 −cxC+c² 2 +x_C²

2 +y_C² 2 −c²

4 =x_C²+y_C²−cxC+c²

′

=L².

Par conséquent : L²=1 4

¡2a²+2b²−c²¢ .

Ainsi peut-on calculer la longueur d’une médiane d’un tri- angle en fonction des longueurs des trois côtés.