Pertes caractéristiques des électrons dans TlCl, TlBr, Tl I et calcul des fonctions optiques entre 3 et 25 eV

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Submitted on 1 Jan 1972

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Pertes caractéristiques des électrons dans TlCl, TlBr, Tl I et calcul des fonctions optiques entre 3 et 25 eV

J. Frandon, B. Lahaye

To cite this version:

J. Frandon, B. Lahaye. Pertes caractéristiques des électrons dans TlCl, TlBr, Tl I et cal- cul des fonctions optiques entre 3 et 25 eV. Journal de Physique, 1972, 33 (2-3), pp.229-235.

�10.1051/jphys:01972003302-3022900�. �jpa-00207244�

PERTES CARACTÉRISTIQUES ^{DES ÉLECTRONS DANS} TlCl, TlBr, ^{Tl I ET}

CALCUL DES FONCTIONS OPTIQUES ^ENTRE 3 ET 25 eV

J. FRANDON et B. LAHAYE

Laboratoire de

Physique

^{des Solides}

(*),

Université Paul Sabatier

118,

^{route de}

Narbonne,

31-Toulouse 04

(Reçu

^{le 21}

juillet 1971)

Résumé. - Les pertes d’énergie caractéristiques ^subies par ^un faisceau d’électrons de 20 keV à la traversée de films de TlCl, ^{TlBr et TlI ont} été mesurées avec un spectrographe magnétique. ^Les

constantes optiques ^{sont calculées} par ^une analyse ^de Kramers-Kronig ^à partir de la fonction 2014 Im 1/03B5, ^{et sont} comparées aux mesures d’absorption ^et de réflectivité. Les spectres ^sont interprétés

à l’aide d’un récent calcul de structure de bande.

Abstract. ²⁰¹⁴ Energy ^loss spectra of 20 keV electrons have been measured in transmission of thallous halides films. From the energy loss function ²⁰¹⁴ Im 1/03B5, optical ^{constants are} calculated by

means of Kramers-Kronig analysis ^and compared ^with absorption ^and reflectance data. The observ- ed singularities ^are interpreted ^{in terms of} plasma loss and band structure.

Classification

Physics Abstrdcts : 18.0, 18.10

I. Introduction. ^- La structure

électronique

^des

halogénures

^{alcalins a fait}

l’objet

de nombreux tra- vaux, basés ^en

particulier

^{sur la mesure du}

pouvoir

réflecteur dans l’ultraviolet à vide et la mesure des pertes

caractéristiques

des électrons. Les spectres

ont été

interprétés

^de

façon

satisfaisante à l’aide des calculs de structure de bande effectués _par

plusieurs

auteurs. Ils se caractérisent _par une structure essen-

tiellement

excitonique.

Les

halogénures

^{de thallium diffèrent des}

halogé-

nures alcalins notamment par leur

grande

^constante

diélectrique optique

^et par ^un seuil

d’absorption

^à

plus

^faible

énergie (3

^eV

environ).

^Leurs

propriétés plastiques

rendent difficile l’obtention de bonnes surfaces _pour les études

optiques

^{et la mise en évidence}

de structures

excitoniques

^{est délicate.}

Les études effectuées

jusqu’ici

ont surtout

porté

sur la

région

^du spectre voisine du seuil

d’absorption : Zinngrebe [1],

^Lefkowitz

[2],

^{Bachrach et Brown}

[3],

ont mis en évidence à basse

température

les transitions

excitoniques

dans TICI et TIBr par la mesure de

l’absorption optique.

^{Brothers et}

Lynch [4]

^{ont étudié}

la variation du seuil

d’absorption

^sous l’influence d’une

pression hydrostatique.

Dans la

région comprise

^{entre 3 et 21}

eV,

^Hinson

et Stevenson

[5]

^{ont mesuré le}

pouvoir

^réflecteur

d’échantillons massifs de TICI et TIBr et ils en ont déduit les fonctions

optiques

par la méthode des deux

angles

^et par

analyse

^de

Kramers-Kronig ;

ils font une

comparaison

^{entre les deux méthodes.}

Sakurai et Mannami

[6]

^ont

publié

^les spectres ^de (*) ^{Associé au} C. N. R. S.

pertes

caractéristiques d’énergie

^{des électrons dans}

TICI, TIBr, TII,

^mais l’intensité des spectres ^{est donnée}

en unités

arbitraires,

^ne pouvant conduire à aucun

calcul

quantitatif.

L’interprétation

^{de tous les résultats}

expérimentaux

s’est révélée délicate _parce

qu’aucun

^{calcul de bande}

n’avait été

publié

^{avant la}

parution

^{du travail d’Over-}

hof et Treusch

[7]

^{sur TICI et TIBr. Ces auteurs mon-}

trent que le gap direct ^se situe ^au

point

^{X de la zone}

de Brillouin et identifient

l’origine

^{de la structure}

observée _par Bachrach et Brown.

La mesure des pertes

caractéristiques d’énergie

par transmission

présente quelques

^{avantages par}

rapport aux mesures

optiques traditionnelles ;

^d’une part, ^elle permet ^de s’affranchir des conditions de

surface,

^ce

qui

^est

important

^{dans le cas des corps}

hygroscopiques

^{et non}

clivables ;

^d’autre part, ^le domaine

d’investigation

^{est très étendu et l’on peut}

facilement mettre en évidence des excitations

d’énergie supérieure

^{à 20 eV.}

Dans le travail

qui

^est

présenté ici,

l’intensité des spectres

d’énergie

d’un faisceau d’électrons de 20 keV traversant des films minces de

TICI, TIBr,

^{TII a été}

mesurée. Ces solides

possèdent

^la

symétrie cubique

et la

comparaison

^{des fonctions}

optiques

^déduites

de nos mesures par

analyse

^de

Kramers-Kronig

^et

des fonctions

optiques

^{tirées des mesures}

optiques [5]

permet ^une discussion utile des

interprétations

^{et des}

méthodes elles-mêmes.

II. Conditions

expérimentales.

^{- Les mesures sont}

faites _par transmission dans un

spectrographe magné- tique

^{à déviation de 900}

[8]. L’énergie

des électrons

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01972003302-3022900

230

incidents est de 20

keV,

^la

largeur

^à mi-hauteur de la focale

élastique

^est

comprise

^entre

0,8

^et

1,0

^eV.

L’ouverture du faisceau

électronique analysé, après

traversée de

l’échantillon,

^est de l’ordre de 10-3 rd.

Les échantillons ^sont des couches minces d’environ 1 000

A d’épaisseur, préparées

par

évaporation

^ther-

mique

^{sous vide sur un mince} support ^{de collodion}

préalablement déposé

^{sur une}

grille

^de

microscopie électronique.

^{Cette dernière est}

placée

^{dans un} porte-

objet

^{refroidi par une} circulation d’azote

liquide,

et conçu de

façon

^à ralentir la contamination :

l’objet

est

porté

^{à une}

température comprise

^{entre 77 OK}

et 273

OK,

^{et il existe un}

gradient

^de

température

^entre

l’échantillon ^et la

gaine

extérieure du

porte-objet.

Un

balayage

^{sur le}

champ magnétique

permet ^de faire défiler le spectre ^{devant une}

fente,

^derrière

laquelle

^est

placé

^le

système

^de détection. La durée

d’enregistrement

^d’un spectre ^{étendu sur 30 eV est} d’environ quatre ^minutes.

Les courants

électroniques

^{sont mesurés} par ^un ensemble comprenant :

- un

multiplicateur

d’électrons du type ^{« Channel-} électron _», donnant naissance à des

impulsions néga- tives ;

- une chaîne de comptage ^des

impulsions,

^étalon-

née en coups par seconde.

Pour des électrons de 20

keV,

l’efficacité de détec- tion est de l’ordre de 10

%.

Les conditions

expérimentales

^{sont choisies de}

telle sorte que les courants mis ^en

jeu

^{lors de l’enre-}

gistrement

^du spectre ^{soient de l’ordre de}

quelques

centaines de _{coups par} seconde

(correspondant

^à

quelques

^10-16

A).

^{A de telles}

intensités, l’amplitude

du bruit reste dans des limites

acceptables.

L’étalonnage

^en

énergie

^des spectres ^{est réalisé} à

partir

^d’un spectre

déjà

^connu

(aluminium).

^Pour

l’exploitation

^des spectres, ^{il est} nécessaire de faire

une

statistique

^{sur un}

grand

^nombre

d’enregistrements,

pour déterminer avec

précision

aussi bien la

position

en

énergie

que l’intensité relative des maximums.

III. Fonction

perte d’énergie.

^{- La densité de}

probabilité

pour

qu’un

^électron

d’énergie Eo,

^tra-

versant une couche

cristalline, perde

^une

énergie E,

et soit diffusé sous un

angle 0,

^à l’intérieur d’un

angle

solide infinitésimal

dQ,

^{est déduite de la théorie}

diélectrique [9], [10] ;

^{elle s’écrit à un facteur}

près :

où 8 est la constante

diélectrique complexe,

^D

l’épais-

seur de

l’échantillon,

^et

(JE

⁼

E/2 Eo.

Si la couche cristalline est assez

mince,

^les

phéno-

mènes d’excitation

multiple

peuvent ^être

négligés, particulièrement

pour des solides non

métalliques.

Pour obtenir l’intensité

I,(E, 0)

^du faisceau d’électrons diffusés

inélastiquement,

^il faut toutefois tenir compte des fonctions de distribution

énergétique

^et

angulaire

g(E)

^et

f (0)

^du faisceau d’électrons diffusés élasti- quement

(dont

l’intensité est

désignée

par

Io) :

^elle

est donnée _par la convolution de

Pi

^avec les fonctions

g(E) etf (0)

En

séparant

^les

intégrations

^{sur 0’ et E’}

(voir [11]),

on aboutit _pour une observation suivant

l’angle

0 ⁼

0,

^{à la formule :}

où :

et

La formule montre que ^{nous ne} pouvons pas accéder

directement,

^à

partir

^{de nos} spectres, ^{à la} fonction perte

d’énergie.

^{Nous devons passer par}

quatre étapes

successives :

a)

Soustraction des pertes

d’énergie

^{dans le} support de collodion.

L’enregistrement

^d’un spectre ^obtenu

avec le seul support ^{de collodion} permet ^en

première approximation

^de déterminer la contribution de ce

support ^au spectre ^{final. Cette} contribution est rela- tivement faible et ne

présente

pas ^{une structure com-}

plexe ;

^une mauvaise évaluation de la perte ^{dans le} support ^de collodion introduit une erreur

toujours

inférieure à

10 %

^{sur la fonction} perte

d’énergie.

b)

^{Dans un second} temps, ^{on divise la fonction}

I,(E, 0)110

par la fonction

F(E),

^ce

qui

^{donne une}

fonction

proportionnelle

^à

So(E).

^{Le calcul est fait}

en prenant pour

f (0)

^{une fonction}

gaussienne,

^nor-

malisée à l’unité

pour 0

⁼

0,

^{et dont la}

largeur

^{à mi-}

hauteur est évaluée à 10-2 radian.

c)

^{La fonction}

So(E)

^{est un}

produit

^de convolution de la fonction perte

d’énergie

^{« vraie »} par la fonction

d’élargissement

^{propre de}

l’appareil g(E).

^{Pour obtenir}

l’allure de la fonction - Im

l/e,

^{nous avons utilisé}

une méthode itérative décrite _par

Burger

^{et Van}

Cittert

[12].

^{A l’ordre n, on a :}

Les fonctions

Sn(E)

^sont

obtenues, après

^normali-

sation de

g(E),

par des

produits

de convolution du type : ¹

Cette méthode modifie sensiblement l’allure des _spec- tres ^en affinant les

pics

^{sans toutefois en modifier}

la

position

^et le nombre. L’itération ^a été

arrêtée,

pour les spectres

présentés, à

^{l’ordre 5.}

d)

Normalisation de la fonction perte. ^{Dans un} dernier temps, ^{nous utilisons} la formule de norma-

lisation :

obtenue en

séparant

les contributions des pertes ^du côté basses

énergies (domaine

^de

l’infrarouge)

^{et du}

côté

grandes énergies (domaine expérimental) [13].

La constante E = n2 ^est la

partie

^{réelle de la constante}

diélectrique, extrapolée

pour les

grandes longueurs

d’onde.

L’application

^de cette constante de norma-

lisation conduit à des ordres de

grandeur

convenables pour les fonctions

optiques.

Pour des

énergies

inférieures à 4

eV,

^{la fonction} perte

d’énergie

^{est mal} connue, car, dans cette

région,

la contribution de la focale

élastique

^n’est pas tout à fait

négligeable.

^{Nous savons} que la fonction perte

présente

^{dans cette}

région

^une croissance lente et

sans structure très nette

[3], [5].

^{Nous avons donc}

extrapolé

^{nos fonctions} perte

d’énergie jusqu’à

^la

valeur du _gap

indiquée

^{par les} références

[3], [14].

Compte

^{tenu de cette}

extrapolation,

^{les fonctions} perte

d’énergie

^Im

(- l/e),

^pour

^TICI,

^{TIBr et TII}

sont données sur les

figures 1, 2,

^{3 et sont notées}

P(E).

IV. Détermination des fonctions

optiques

^{à l’aide}

des relations de

Kramers-Kronig.

^{- Deux relations}

de

Kramers-Kronig

^{relient la fonction} perte

d’énergie P(E)

^{et la}

partie

^réelle

p(E)

^de

e-’(E).

^{Nous utilisons}

la formule :

A

partir

des fonctions

p(E)

^et

P(E),

^{nous calculons}

toutes les fonctions

optiques

FIG. 1. ^- Fonction perte d’énergie ^{- Im} 1/E pour TICI.

FIG. 2. ^- Fonction perte d’énergie ^{- Im} 1/e pour TIBR.

FIG. 3. ^- Fonction perte d’énergie ^{- Im} 1/s pour TII.

232

n, k

^et

Rs désignent respectivement

^{l’indice de réfrac-}

tion,

l’indice d’extinction et le

pouvoir

réflecteur sous

incidence normale. Par

ailleurs,

^nous déterminons le nombre effectif

d’électrons,

^donné par :

où N est le nombre de molécules _par cm3.

Nous avons réalisé un programme permettant ^de calculer

p(E)

^et les fonctions

optiques

^entre

0,2

^et

150 eV. Pour des

énergies

^situées au-delà de la der- nière

singularité

apparente ^{sur les} spectres, ^{nous avons}

pris,

pour la fonction

P(E),

^{une variation en E-3}

[15].

Le _pas

d’intégration,

^déterminé par la

précision d’étalonnage

^{de nos} spectres, ^{est de}

0,2

eV. Dans les

figures

^{4 à}

6,

^nous

présentons

^{les résultats obtenus}

pour les fonctions _{81 et 82.} Il nous a semblé intéressant aussi de calculer la réflectivité sous incidence normale

(Fig. 7, 8, 9) qui

peut ^être

comparée

^{avec les mesures}

effectuées sous incidence de 200 _par Hinson et Steven-

son

[5].

En-dessous de 5 eV les fonctions _{e,, 92} et

Rs

^{ne sont}

connues que de

façon approximative.

V. Résultats

expérimentaux

^et discussion. ^- On constate une assez bonne

analogie

^{entre les} spectres

présentés

^{ici et ceux}

qui

^{sont obtenus} par Hinson et Stevenson en ce

qui

^{concerne la}

position

^en

énergie

FIG. 4. ^- Parties réelle et imaginaire ^si et 82 de la constante

diélectrique ⁸ pour TICI.

FIG. 5. ^- Parties réelle et imaginaire el et _e2 de la constante

diélectrique ⁸ pour TIBr.

FIG. 6. ^- Parties réelle et imaginaire el et _e2 de la constante

diélectrique ^e pour TII.

FIG. 7. ^- Réflectivité de TICI.

FIG. 8. ^- Réflectivité de TIBr.

FIG. 9. ^- Réflectivité de TII.

des

pics,

pour TICI et

TIBr,

^et les valeurs de _{e 1 et} e2 pour TICI.

Cependant,

^la

comparaison

^fait

apparaître quelques

différences. D’une part, ^{il semble} que dans

[5]

à la fin du domaine

expérimental,

^la méthode des deux

angles

^est

plus appropriée

que

l’analyse

de Kramers-

Kronig qui

^{ne fait pas} intervenir les

singularités

^situées

au-delà de 20 eV. D’autre part, ^{nos résultats montrent} des ordres de

grandeur

^voisins pour les fonctions perte

d’énergie

^dans

TICI,

^{TIBr et}

TII,

^ce

qui

^n’est pas le cas de la référence

[5] :

^ceci

s’explique

^{par le fait}

que nous avons

procédé

^{à une} normalisation des fonctions perte

d’énergie,

^{à l’aide de} constantes e,,,,

qui

^{sont très voisines} pour les trois

composés ;

^en

outre, ^{comme cela a été}

déjà dit,

les différences d’états de surface des échantillons n’entrent _pas en

jeu

^dans

notre cas.

Les fonctions _el et e2

(Fig. 4, 5, 6) présentent

^un

maximum très

prononcé

^au

voisinage

^du gap, associé naturellement à des faibles valeurs des fonctions perte

d’énergie.

Pour des

énergies

inférieures à celle du

plasmon,

nous remarquons ^comme Hinson et

Stevenson,

que les maximums des fonctions - Im

1/e,

el et E2 ^se succèdent dans cet ordre dans le sens des

énergies croissantes,

contrairement au cas des

halogénures

alcalins

(Tableau I) ;

la même situation semble se

produire

pour ^un certain nombre de solides à

grande

constante

diélectrique

^{comme on le} constate par ^exem-

ple

^{sur les}

figures

^de la référence

[16].

^Par contre, pour des

énergies supérieures

^{à celle du}

plasmon

on retrouve l’ordre habituel de succession des maxi-

mums des fonctions

optiques.

En

dépit

^{de leur}

grande

^constante

diélectrique

^et

de leur

petit paramètre

cristallin les

halogénures

^de

thallium ont un caractère

ionique

^{et l’on doit s’atten-}

dre à observer des structures

excitoniques

^vraisem-

blablement moins

marquées

que dans les

halogénures

alcalins. Il serait intéressant de

procéder

^{à une étude}

optique (pouvoir

réflecteur ou

absorption)

^au-delà

de

6,5

^{eV et à basse}

température

pour savoir si les transitions

excitoniques

^{sont bien}

prépondérantes

dans les

halogénures

^{de thallium.}

Dans la discussion

qui suit,

^{nous nous référons aux}

figures

^{11 et 12 tirées} de l’article de Overhof et Treusch.

Nous avons attribué les

pics

^des spectres ^{de fonctions}

optiques

^{à des} transitions

excitoniques

^au

voisinage

de

singularités

^de type

Mo, qui

^sont nombreuses

d’après

la référence

[7] ;

l’attribution de ces

pics

^{à des}

juxta- positions

^de

singularités M i

^et

M2

^{semble exclue}

car il ne nous a pas été

possible

d’identifier des sin-

gularités Mi

^sur le schéma de bande. Celui-ci étant

assez

complexe

compte ^{tenu en}

particulier

^de

l’impor-

tance du

clivage spin-orbite

^{de la}

première

^{bande de}

conduction,

l’identification des

pics

^{observés est}

assez difficile.

TABLEAU 1

Energie

^{en eV des maximums}

des fonctions

BJ, B2, - lm 8-1

234

FIG. 10. ^- Nombre effectif d’électrons _{nef! pour} TICI.

FIG. 11. - Schéma de structure de bande de TICI d’après

Overhof et Treusch.

FIG. 12. ^- Schéma de structure de bande de TIBr d’après

Overhof et Treusch.

Il semble _{que le}

pic

^{situé autour de}

6,4

^{eV dans la} fonction ₉₂

(Fig.

^{4 et}

5),

^{soit dû à la}

superposition

de deux transitions non résolues

désignées

^{dans la}

référence

[3]

par les numéros 4 et 5. Le

pic

^{4 corres-}

pond

^{à des} transitions

R 6 + --> R6

pour

TIBr,

^et

R6 --> R8

pour

TICI ;

^le

pic

^{5 est attribué pour TIBr}

à une transition

X: -+ Xi,

^mais pour TICI il n’a _pas été mis en évidence _par Bachrach et Brown car il se

situe en dehors de leur domaine

expérimental.

La fonction - Im

1/E

^{de TIBr}

présente,

^{comme dans}

la référence

[5]

^un

pic large

^{et mal résolu entre 7 et}

10

eV,

^ce

qui

^{se traduit sur} 82 par ^un

épaulement

^vers

8 eV et par ^un maximum à

10,6 eV ;

^{dans les} spectres de

T1C1,

^{ce sont deux}

pics

bien résolus

qui apparaissent

à

8,5

^{eV et} 10 eV dans la fonction perte

d’énergie,

à 9 eV et

11,3

^{eV dans} B2’

Plusieurs

transitions,

^entre bandes de valence et

bandes de conduction élevées

pourraient

^{en être}

l’origine.

^Nous remarquons ^en

particulier

^{sur le schéma}

de bande

qu’un pic excitonique pourrait

^{se trouver}

au

voisinage

^de deux bords

Mo, ri

^ou

TÇ - F8+

(11,5

^eV pour

TICI,

^et

10,5

eV pour

TIBr) ;

^le

clivage spin-orbite T6 - -rj

^de

l’halogène

^ne peut ^évidem-

ment pas être résolu.

Les maximums intenses de la fonction perte ^d’éner-

gie,

^à

12,5

eV pour

TICI, 11,8

eV pour

TIBr,

^et

12,6

^eV

pour

TII,

^ne

correspondent

pas à des maximums dans les fonctions el et 82, et peuvent ^{être attribués}

sans

ambiguïté

^à l’excitation de

plasmons

^{de valence.}

Dans cette

région,

^le

pouvoir

réflecteur

présente

^une

brusque

décroissance

(Fig. 7, 8, 9) ;

^{el et B2 vérifient}

pour ^ces mêmes

énergies

les conditions d’excitation du

plasmon.

Celui-ci doit se trouver du côté des

grandes énergies

par rapport ^{à une}

singularité

^de

type

M2

^ou

M3.

^{On note}

qu’une

transition

F6, - -ri (13

^eV pour TICI et 12 eV pour

TIBr) correspond

à une

singularité M3.

La valeur de _neff

correspondant aux énergies

^d’exci-

tation du

plasmon

^{est de} l’ordre de

5,5,

^{valeur autour} de

laquelle

^{on observe un}

palier (Fig. 10,

pour

TICI),

montrant une saturation des transitions interbandes dans ce domaine.

Si on se réfère à la

figure 10,

^{il semble}

qu’avant

²²

eV,

seules des transitions entre bandes de valence et bandes de conduction peuvent

exister,

^{le nombre} d’électrons de valence n’étant _pas

épuisé.

^On peut

s’interroger cependant

^{sur la}

possibilité

d’identifier les

pics

^{situés au-delà du}

plasmon

par des transitions à

partir

^{de bandes}

plus profondes.

^En

particulier,

^le

maximum de ₈₂ situé à 13 eV pour TIBr

pourrait

^être

attribué à une transition vers le minimum

X6

^{de la}

première

^{bande de}

conduction, depuis

^{la bande}

correspondant

^{aux électrons Tl’ 5}

d ;

^en

effet,

^Overhof

et Treusch situent cette dernière à environ 10 eV au-dessous du sommet de la bande de

valence,

^soit

donc à environ 13 eV au-dessous de la

première

^bande

de conduction. Pour

TICI,

^le

pic

^de

plasmon (12,5 eV),

peut masquer ^cette transition : il

présente

^effecti-

vement une certaine

dissymétrie.

^Pour

TII,

^le

pic

très

large

^{observé à}

12,6

^{eV dans la}

fonction -Im E-1

est

probablement

^{la somme de}

plusieurs pics,

^le

plus

intense étant le

plasmon. Remarquons

que le calcul de la structure de bande de TII n’a pas été fait. Les deux

pics

^{suivants se} retrouvent dans les fonctions perte

d’énergie

^{des trois}

composés, pratiquement

^aux

mêmes

énergies (15

^{eV et}

^16,8 eV).

Au-delà de 18

eV,

on n’observe

qu’une

^{structure très} peu

marquée

^dans

les courbes

représentatives

^de sl, 82 et

Rs,

alors que les fonctions - Im

E-1

montrent encore des maximums

assez nets. Il est à noter que les conditions d’excita- tion d’un second

plasmon

^semblent réalisées dans

TICI,

^{TIBr et TII vers 18}

eV,

^{mais aucun}

pic

^{de la}

fonction perte

d’énergie

^ne

correspond

^clairement

à cette excitation.

VI. Conclusion. ^- Au cours de ce

travail,

^nous

avons

essayé d’exploiter

^{les données}

expérimentales

et de les

interpréter

^{en fonction d’un schéma de}

structure de bande. On peut penser, ^{comme ce} fut le cas pour les

halogénures alcalins, qu’il

^{faudra des}

expériences optiques

^et aussi des calculs de bande

plus

raffinés et dans un domaine

d’énergie plus étendu,

pour arriver à une meilleure

compréhension

^des

propriétés électroniques

^des

halogénures

^{de thallium.}

Remerciements. ^- Ce travail a été effectué sous

la direction de Monsieur F.

Pradal,

Directeur de Recherche au C. N. R. S. Nous le remercions _pour les fructueuses discussions _que nous avons eues avec

lui.

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