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Exercices sur les fonctions continues

Exercice 1 Soit x ∈ R. On rappelle que l'unique entier z ∈ Z tel que z ≤ x < z + 1

s'appelle la partie entière de x et se note E(x). Soit g l'application de R vers R dénie en posant :

g(x) = xE(1

x) si x 6= 0, et g(0) = 1.

Etudier la continuité de g et tracer sommairement son graphe.

Exercice 2 On désigne par h l'application de R vers R dénie par : h(x) =

½ sin_x¹ si x 6= 0 0 si x = 0 Etudier la continuité de h.

Exercice 3 On désigne par k l'application de R vers R dénie par :

k(x) =

½ 1 si x ∈ Q

−1 si x 6∈ Q 1. Montrer que k est discontinue en tout point de R.

2. Etudier la continuité de |k|, puis celle de k ◦ k.

Exercice 4 Soit f et g deux applications de R vers R.

On dénit les applications u et v en posant, pour tout ∈ R : u(x) = max[f (x), g(x)] et v(x) = min[f (x), g(x)].

Montrer que si fet g sont continues en x0∈ R, il en est de même de u et de v.

Exercice 5 Soit f une application de R vers R, telle que pour tout couple (x, y) ∈ R × R, on ait :

|f (x) − f (y)| ≤ 3| sin x − sin y|.

1. Montrer que 2π est période de f.

2. Montrer que f est continue sur R.

Exercice 6 Soit f une application de R vers R dont les restrictions à Q et à {RQ sont constantes.

On suppose de plus que f est continue en 0.

Montrer que f est constante sur R.

Exercice 7 Soit f une application de R vers R.

On suppose qu'il existe T ∈ R, T > 0, T période de f, et que f possède une limite L, L ∈ R, quand x tend vers +∞.

Montrer que f est constante sur R.

Exercice 8

1. Soit fune application continue de [0, 1] vers [0, 1].

Montrer qu'il existe α ∈ [0, 1] tel que f(α) = α.

2. Soient f et g des applications continues de [0, 1] vers [0, 1] telles que f ◦ g = g ◦ f.

a) On considère l'ensemble Y = {y ∈ [0, 1] ; f(y) = y}. Montrer que Y possède une borne supérieure (que l'on notera M) et une borne inférieure (que l'on notera m).

b) Soit (yn)n≥0 une suite convergente d'éléments de Y . On suppose que limn→∞yn= a. Montrer que a ∈ Y .

c) Montrer que M ∈ Y et que m ∈ Y . d) Montrer que g(Y ) ⊂ Y .

e) En déduire que g(M) ≤ f(M) et que f(m) ≤ g(m).

f) Montrer enn qu'il existe β ∈ [0, 1] tel que f(β) = g(β).

Exercice 9 Soient a et b deux nombres réels tels que a < b, et soit f une

1. Soient p et q deux nombres réels strictement positifs. Montrer que : pf (a) + qf (a) < pf (a) + qf (b) < pf (b) + qf (b).

2. En déduire qu'il existe un nombre réel c ∈ ]a, b[, tel que : pf (a) + qf (b) = (p + q)f (c).

Exercice 10 Soit f une application continue de [0, 1] vers R telle que f (0) = f (1).

Montrer que pour tout entier n ≥ 1, il existe un réel xn∈ [0, 1], tel que l'on ait :

f (x_n) = f (x_n+1 n).

Exercice 11 Soit n ∈ N, n ≥ 2.

On considère l'application polynômiale fn, de [0, +∞[ vers R, dénie, pour tout x ∈ [0, +∞[, par :

fn(x) = xⁿ+ xⁿ⁻¹+ xⁿ⁻²+ ... + x²+ x − 1.

1. Montrer qu'il existe αn∈ [0, +∞[, unique, tel que : fn(αn) = 0.

2. On considère la suite de nombres réels (αn)n≥2 ainsi dénie. Montrer qu'elle est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 12 Soit n ∈ N, n ≥ 2.

On considère l'application gn, de R vers R, dénie, pour tout x ∈ R, par : g_n(x) = x − cosx

n. 1. Montrer que gn est strictement croissante.

2. Montrer qu'il existe βn dans l'intervalle ]0, 1[, unique, tel que : gn(βn) = 0.

3. On considère la suite de nombres réels (βn)n≥2 ainsi dénie. Montrer qu'elle est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 13 Soient f et g deux applications de [0, 1] vers R, continues sur [0, 1], et telles que, pour tout x ∈ [0, 1], on ait :

0 < f (x) < g(x).

1. Pour tout x ∈ [0, 1], on pose : h(x) = ^{f (x)}_g(x). Montrer que l'application h, de [0, 1]vers R ainsi dénie est continue sur [0, 1], et que, pour tout x ∈ [0, 1], 0 < h(x) < 1.

2. Montrer qu'il existe deux nombres réels α et β ∈ [0, 1], tels que, pour tout x ∈ [0, 1], on ait : 0 < h(α) ≤ h(x) ≤ h(β) < 1 .

3. Montrer que, pour tout n ∈ N, n ≥ 1, l'équation : h(x) = xⁿ (∗) possède au moins une solution a ∈ ]0, 1[.

4. On suppose de plus, dans tout ce qui suit, que l'application h est stricte- ment décroissante.

a) Montrer que, pour tout n ∈ N, n ≥ 1, l'équation ci-dessus (*) possède alors une unique solution dans ]0, 1[ que l'on notera an. On pose ensuite b_n = h(a_n).

b)Montrer que la suite de nombres réels (an)n≥1ainsi obtenue est stricte- ment croissante, et que la suite (bn)n≥1est strictement décroissante.

c)En déduire que les suites (an)n≥1 et (bn)n≥1sont convergentes et déter- miner la limite de chacune d'entre elles.

Exercice 14 Soit f une application continue de R vers R.

On suppose qu'il existe λ ∈ R et µ ∈ R tels que

x→+∞lim f (x) = λ et lim

x→−∞f (x) = µ Montrer que f est bornée.

Exercice 15 Soit f une application continue de R vers R, admettant un nombre réel T , T > 0, pour période.

Montrer que f est bornée.

On utilisera encore dans cet exercice le Théorème d'ARCHIMEDE qui, rappelons le, s'énonce comme suit :

Etant donné un nombre réel x strictement positif, alors, pour tout nombre réel y, il existe un nombre entier naturel n, tel que nx ≥ y.

Exercice 16 Soit f une application continue de [0, +∞[ vers R, pour laquelle il existe un réel K, tel que pour tout x ∈ [0, +∞[, on ait :

f (x + 1) = f (x) + K.

1. Soit n ∈ N. Montrer que, pour tout x ∈ [0, +∞[, f(x + n) = f(x) + nK.

2. Montrer que :

x→+∞lim f (x)

x = K.

Exercice 17 Déterminer l'ensemble E des applications continues de R vers R, telles que :

f ◦ (−f ) = IdR.

Exercice 18 Soit f une application de R vers R, que l'on suppose monotone et surjective. Montrer que f est continue sur R.

Exercice 19 Soit f l'application de R vers R, dénie pour tout x ∈ R, par : f (x) = x².

Montrer que f est continue sur R, mais non uniformément continue.

Exercice 20 Soit g l'application de R⁺ vers R, dénie pour tout x ≥ 0, par : g(x) = cos(x²).

Montrer que g est continue sur R⁺, bornée, mais non uniformément continue.

Exercice 21

1. Soient a et b des nombres réels positifs. Etablir l'inégalité :

|√ a −√

b| ≤p

|a − b|.

2. Soit h l'application de R⁺ vers R, dénie pour x ≥ 0,par : h(x) =√

x.

Montrer que h est uniformément continue sur R⁺, mais n'est pas lipschit- zienne.

Exercice 22 Soit k l'application de R vers R, dénie pour tout x ∈ R, par : k(x) = 1

1 + |x|. Montrer que k est lipschitzienne.

Exercice 23 Soient f et g deux applications de R vers R, que l'on suppose lipschitziennes et bornées.

Montrer que l'application fg est lipschitzienne.

Exercice 24 Soit f une application continue de R⁺ vers R, pour laquelle il existe λ ∈ R, tel que :

limx→+∞f (x) = λ.

Montrer que f est uniformément continue sur R⁺.