Enonc´e noE435 (Diophante) Jouer petit ou doubler la mise
Zig et Puce jouent `a une variante de NIM. Ils fixent d’un commun accord le nombre de d´epart d= 2 et la cible c= 34. A tour de rˆole chacun d’eux remplace le nombre X que lui laisse l’autre joueur par X+ 1 ou par 2X.
Le premier joueur qui est oblig´e d’´ecrire un nombre strictement plus grand que la cible a perdu.
Le tirage au sort donne la main `a Zig. Qui gagne la partie ?
G´en´eraliser avecdquelconque etcquelconque> d. Dans quels cas y a-t-il une strat´egie gagnante pour le 1er joueur ? pour le 2`eme joueur ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Celui qui ´ecrit 34 a gagn´e. Celui qui ´ecrit 33 ou 17 va perdre. Celui qui
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ecrit 32 va gagner, son adversaire ne pouvant ´ecrire qu’un nombre perdant.
Et ainsi de suite, 31 et 16 sont des nombres perdants, etc.
Connaissant le caract`ere gagnant ou perdant des entiers > x, on peut ajouter x parmi les nombres gagnants si x+ 1 et 2x sont perdants ; on peut ajouter x parmi les nombres perdants six+ 1 ou 2x sont gagnants.
On forme ainsi, de proche en proche `a partir dec= 34, la liste des nombres gagnants
34, 32, 30, 28, 26, 24, 22, 20, 18, 8, 6, 2.
Zig joue le premier, partant de 2 il est oblig´e d’´ecrire 3 ou 4, nombres perdants. Puce va ´ecrire 6 ou 8, nombres gagnants, et ainsi de suite. Au final, Puce gagnera.
Cas g´en´eral.
Si cest impair, les nombres gagnants sont tous les impairs : le premier qui
´
ecrit un nombre impair pourra toujours en ´ecrire un autre, jusqu’au gain final, son adversaire ne pouvant ´ecrire que des nombres pairs. Le premier joueur a une strat´egie gagnante (´ecrire impair) si et seulement sidest pair.
Sicest pair, on dresse comme dans le cas de 34 les listes d’entiers gagnants ou perdants :
gagnants perdants
c c−1,c/2
c−2 c−3,c/2−1 c−4 c−5,c/2−2 . . . .
a) Sic/2 est impair, on arrive `a gagnants perdants
. . . .
c/2 + 3 c/2 + 2, (c+ 6)/4 c/2 + 1 (c+ 2)/4
et tous les nombres `a partir de (c+ 2)/4 ont ´et´e ´ecrits. Le prochain `a ´ecrire est (c−2)/4, qui est gagnant ; il reste `a poursuivre la liste comme pour la ciblec0 = (c−2)/4.
b) Sic/2 est pair, on arrive `a gagnants perdants
. . . .
c/2 + 4 c/2 + 3,c/4 + 2 c/2 + 2 c/2 + 1,c/4 + 1
et tous les nombres `a partir de c/4 + 1 ont ´et´e ´ecrits. Le prochain `a ´ecrire estc/4, qui est gagnant ; il reste `a poursuivre la liste comme pour la cible c0=c/4.
En notantG(c) l’ensemble des valeurs gagnantes pour la ciblec, on peut r´eunir les cas a) et b) dans la formule suivante : G(2m) est la r´eunion de G(bm/2c) et de l’ensemble des nombres pairs> met≤2m.
Le second joueur a une strat´egie gagnante si et seulement si d∈G(c).
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