HAL Id: jpa-00212829
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00212829
Submitted on 1 Jan 1961HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Calcul pratique de l’influence défocalisante de la charge
d’espace. Application au cas des faisceaux d’électrons
relativistes
Albert Septier
To cite this version:
6.
79 A.
CALCUL PRATIQUE DE L’INFLUENCE
DÉFOCALISANTE
DE LA CHARGE D’ESPACE APPLICATION AU CAS DES FAISCEAUXD’ÉLECTRONS
RELATIVISTESPar ALBERT
SEPTIER,
Laboratoire
d’Électronique
et de Radioélectricité de la Faculté des Sciences de Paris.Résumé. 2014 Partant de
l’équation du mouvement d’une particule relativiste (v # c) située à l’extérieur du faisceau, nous donnons des formules et un abaque permettant de calculer, pour des conditions initiales quelconques, le rayon du faisceau en un point de l’axe d’un espace de glis-sement. Nous appliquons la méthode à des faisceaux d’électrons de 2 et 100 MeV.
Abstract. 2014
Using the equation of motion of a relativistic particle situated on the surface of
the beam, we obtain some formulae and a chart permitting us to calculate, for any initial condi-tions, the radius of the beam at a point on the axis of a drift space. The method isapplied here to electron beams of 2 and 100 MeV.
SUPPLÉMENT AU No 6.
PHYSIQUE APPLIQUÉE TOME 22, JUIN, PAGE 79 A.
1. Introduction. -
On considère le cas d’un
faisceau
possédant
lasymétrie
de révolution autourde l’axe Oz. Le faisceau contient N
particules
par unité delongueur,
c’est-à-dire unecharge
élec-trique Q
= Ne. Cescharges
possèdent
une vitesselongitudinale vz
=pc
constante dans letemps,
lesparticules
sedéplaçant
dans un espacedépourvu
dechamp
accélérateur. Cescharges
en mouvementcréent un
champ électrique
radial Erqui
exerce sur elles une forcedéfocalisante,
et unchamp
magné-tique
Be
focalisant. A lalimite,
si Vz = c, les deuxforces sont
égales
etopposées
et le faisceau ne di-vergeplus. Toutefois,
pour des faisceaux intenses de vitesse très voisine de cle calcul montre que la défocalisation due à la
charge
d’espace
est encoreimportante
etqu’il
faut tenir
compte
de ce facteur dans un certainnombre d’accélérateurs de haute
énergie
fournis-sant des faisceaux de
grande
intensité(1
à 10am-pères
parexemple).
2. Calcul de la force défocalisante. - On calcule
la force
agissant
sur uneparticule
P située sur la surface extérieuredu
faisceau.2.1. CHAMP ÉLECTRIQUE. - Le théorème de
Gauss
appliqué
à uneportion
du faisceau indéfiniformant un
cylindre
de rayon r et delongueur
unité
( fig.
1),
contenant unecharge
totaleQ,
con-duit par raison de
symétrie
à la relation trèssimple :
.soit
Q
peut
s’exprimer
en fonction de l’intensité .I dufaisceau .
d’où
2.2 CHAMP
MAGNÉTIQUE.
-Le théorème
d’Am-père
appliqué
aucylindre précédent
conduit à larelation soit
2.3. FORCE DÉFOCALISANTE. - La force
totale FT
agissant
sur laparticule
esttoujours
défo-calisante,
la forceélectrique
FE étanttoujours
supérieure
à la forcemagnétique
FM,
si vz c.ou encore
3. Mouvement d’une
particule
extérieure.-3.1.
É’QUATION
GÉNÉRALE. - Si v,désigne
la vitesse transversale de laparticule,
on a .80 A
Ici, dm jdt
=0,
d’oùMais m =
mo/(1- 2)1/2 ;
d’oùOn pose :
et
(7)
s’écritOn
multiplie
chaque
membre de(9)
par2( dr /dt).
Il vient :qui s’intègre
en :Si en t =
0,
latrajectoire
estparallèle
àOz,
on a(dr/dt)o
=0,
et r= ro d’où :
et
Pour
poursuivre l’intégration,
onpeut
poserOn en tire
et
Mais
d’après
(11) : dr/dt
= B’Ç
d’où la relation :qui s’intègre
sous la forme(en
prenant to
=0) :
On
peut
revenir audéplacement
réel lelong
de Oz carou finalement
Pour utiliser cette
expression
il fautdisposer
de table de la fonctionNous avons tracé la courbe
représentative
deD(£)
sur lafigure
2. Enpratique
on a àrésoudre,
pour un faisceau donné de
caractéristiques
connues ro, vz etI,
uneéquation
dutype :
,Pour un
glissement
delongueur
(z
-zo),
on cal-culeD(£)
à l’aide de(16).
La courbe de lafigure
2permet de tirer la
valeur de
Log
(r/ro),
donc der/ro
en ce
point,
c’est-à-direl’élargissement
du faisceau.3.2. CAS DES FAISCEAUX LENTS. - La
plupart
despublications
consacrées aux effets transversaux de lacharge d’espace
serapportent
aux faisceauxin-tenses accélérés sous une tension faible de
quelques
milliers de Volt seulement(1).
On a alorsP2
«1,
m #
mo
et(1 /2)
mo v;
= eV o
endésignant
parYo la
tension d’accélération desparticules.
La rela-tion(16)
s’écrit alorsou
soit
Posons
I/Vg/2
= P2. On retrouve,pour
des
électrons,
la formule bien connue"
L’équation
(20)
est en touspoints
semblable à(17) ;
pour étudierexpérimentalement
le compor-tement d’un faisceau de très hauteénergie
dans unsystème
optique quelconque
en tenantcompte
de lacharge d’espace,
onpourra
remplacer
commo-dément ce faisceau par un autre de faible
énergie
tel que(17)
et(20)
soientidentiques ;
il faut donc avoir :On a ainsi la relation de similitude
suivante,
ensupposant
les dimensionsgéométriques identiques
dans les deux cas :4. Cas d’un f aisceau initialement
convergent
oudivergent.
- 4.1.ÉQUATION
GÉNÉRALE. - Ent =
0,
on a maintenantd’où
soit en tenant
compte
de(22) :
vr
s’exprime
en fonction de lapente r’
de latra-jectoire
,d’où :
ou
en
posant
(24) peut
s’intégrer
comme(11) :
4.2. RÉSOLUTION PRATIQUE. - Si la
pente
ro
estnégative,
on a a 0 et le faisceauprésente
une zone réelle de diamètre minimum pourEn ce
point
dr/dt
=0,
d’oùsoit
en
désignant
parlai
la valeur absolue de a.Si ro
estpositive
(faisceau
divergent),
le « cross-over » est virtuel et(z.
-zo)
0On
peut
donc écrire(25)
sous la formeou
On commence donc à calculer a,
puis
on déter-mineD(a)
d’après
lafigure
2 et enfin laposition
du cross-over(zm
-zo) ;
on est alors ramené à uneéquation identique
à(15)
maisrapportée
à rm etnon
plus
à ro. Eneffet,
le rayon du cross-over estdonné par
(28) :
,et
Par raison de
symétrie,
le rayon du faisceau atteint à nouveau la valeur ro en unpoint
z tel que(z
-zo)
=2(zm
-zo) ;
lapente
est alors(-
r’).
4.3. DÉPLACEMENT DU « FOYER »(1).
- Si lacharge
d’espace
n’agissait
pas, latrajectoire
decaractéristiques
(ro,
ro)
traverserait l’axe enF,
82 A On a d’où : On a en
général
(Zm
-zo) /(zF
-zo)
#1,
sauf pour une valeurparticulière
de a ; considérons un faisceau telque
ro etr’ 0
restent constants en zo, et faisons décroître 6, en accroissant le facteur(JIV3/2) .
Lerapport (zm
--zo) /(zp
-zo)’
d’abordégal
à1,
croitjusque
vers1,3,
puis
décroît etdevient inférieur à 1 pour les très faibles valeurs de ci
(fig. 4).
Le maximum est atteint poura2 = 2,28.
Il faut en tenircompte
dans l’élabo-ration dessystèmes
optiques.
5.
Application
au cas d’un faisceau d’électrons de 2MeV,
1 A. z 5.1. DÉFOCALISATION. -Lorsque
W = 2MeV,
on a et On a alors D’oùl’équation (16)
Le faisceau
envisagé
a un diamètre de 5 mm eten zo =
0,
ona r0
= 0. D’où finalement :A
partir
de(35)
onpeut
évaluer r/ro
tout lelong
dutrajet
ensupposant
qu’il s’agit
d’un espace deglissement ;
on obtient les valeurssuivantes,
avec zexprimé
enmètres,
r en millimètres et r’ en radians :On calcule r’ par la relation
5.2. FAISCEAU LENT SEMBI,ABI,E. - On
a ici
et, pour le faisceau lent
ayant
les mêmespropriétés
Il faut donc avoir pour le faisceau lent
Le tableau suivant donne l’intensité
qu’on
doit réaliser pour différentes tensionsV 0 :
,Donc il est très
facile,
en conservant les mêmesdimensions,
de simuler un faisceau de 2MeV, 1
A,
par un faisceau lent peu intense.
6.
Application
à un faisceau de 100 MeV. - On auraitsoit
On a finalement :
Pour un faisceau de rayon ro = 1 cm = 10-2
m,
et
La « distance de
doublement
» dufaisceau,
c’est-à-dire celle pourlaquelle
on auraitr jro
=2,
seraitrespectivement
de 680 et 68mètres ;
on voit quela
charge d’espace
a encore un effet nonnégligeable.
Si le rayon du faisceau est réduit à ro =
2,5
mmcomme dans le cas
