Équation de Schrödinger pour une particule libre

Équation de Schrödinger pour une particule libre

PC Lycée Dupuy de Lôme

1 Équation de Schrödinger Postulat

2 Étude d’un quanton libre Forme de la solution Onde de de Broglie

Forme complète de la solution

Interprétation énergétique de l’équation

3 Paquet d’onde

Paquet d’onde associé au quanton Vitesse du paquet d’onde

4 Densité de courant de probabilité Définition

Équation de Schrödinger Postulat

Il s’agit de traduire ici la dynamique de la fonction d’onde Quelques principes permettent de construire l’équation

Elle doit être linéaire(Principe de superposition)

Elle doit être d’ordre 1 par rapport au temps(La connaissance de l’état initiale suffit à décrire l’évolution ultérieure) Elle doit se confondre avec la théorie classique dans le domaine de validité commun

Équation de Schrödinger

La fonction d’onde Ψd’un quanton pour un système unidimensionnel vérifie l’équation

i.̷h.∂Ψ

∂t = − h̷² 2.m.∂²Ψ

∂x² +V(x).Ψ

En mécanique quantique les fonctions d’onde seront toujours des ex- pressions complexes que l’on notera par abus d’écriture Ψ(x, t) et non Ψ(x, t)

Étude d’un quanton libre Forme de la solution

Quanton libre

Un quanton est libre s’il n’est soumis à aucun champ de force.

Le potentiel V(x) sera alors constant. On le choisira nul.

b L’énergie d’un quanton libre est E=1 2.m.v²

Étude d’un quanton libre Onde de de Broglie

On propose une solution sous la forme :Ψ(x, t) =e^{i(k.x−ω.t)} La relation de dispersion s’écrit alors k=

√2.m.ω

h̷ , qui peut également s’écrirek=

√2.m.E h̷ Onde de de Broglie

On associe à tout quanton libre une onde plane "pilote" de longueur d’onde dite de de Broglie

Ψ(x, t) =e^{i(k.x−ω.t)} avec λ_dB =h p

Cette onde a une quantité de mouvement complètement définie. On a donc aucune information sur sa position.

La vitesse de l’onde estv_ϕ= ω k = v

2. Elle ne peut donc pas être associée à la vitesse de la particule.

Étude d’un quanton libre Forme complète de la solution

La forme complète de la solution correspondra à une combinaison linéaire des solutions possibles

Onde associée à un quanton libre

A un quanton libre sont associés des états stationnaires pour une énergie E correspondant à une forme générale des solutions

b Ψ(x, t) = [A1.e^i.k.x+A2.e^−i.k.x].e^−i.E.th̷ =ϕ(x).e^−i.E.th̷ Les états ne sont pas quantifiés pour une particule libre

Étude d’un quanton libre Interprétation énergétique de l’équation

On associe à un quanton la fonction d’onde Ψ(x, t) =Ψ⁰.ei.(p.x−E.t)/̷h

A quel type d’énergie sont associés les opérateurs appliquée àΨ i.̷h.∂

∂t×

− h̷² 2.m. ∂²

∂x²× V(x, t)×

Potentiel quantique

Le potentiel V(x) dans l’équation de Scrödinger correspond en fait à une énergie que l’on pourrait nommer énergie potentielle...

Étude d’un quanton libre Interprétation énergétique de l’équation

On associe à un quanton la fonction d’onde Ψ(x, t) =Ψ⁰.ei.(p.x−E.t)/̷h

A quel type d’énergie sont associés les opérateurs appliquée àΨ i.̷h.∂

∂t× associé à l’énergie totale

− h̷² 2.m. ∂²

∂x²× associé à l’énergie cinétique V(x, t)× associé à l’énergie potentielle Potentiel quantique

Le potentiel V(x) dans l’équation de Scrödinger correspond en fait à une énergie que l’on pourrait nommer énergie potentielle...

Paquet d’onde Paquet d’onde associé au quanton

Que retient-on des études précédentes :

Interférences d’un faisceau d’électrons : Il n’est pas possible de prévoir avec certitude la trajectoire d’une particule. La position et la vitesse d’une particule ne peuvent être déterminées simultanément avec précision.

OPPH pilote associée à une particule :l’hypothèse d’une OPPH implique une répartition dans tout l’espace de la particule. La connaissance exacte de pimplique donc l’incertitude totale sur la position de la particule.

Inégalité d’Heisenberg

L’incertitude sur la position ∆x ainsi que l’incertitude sur la quantité de mouvement ∆p (ou sur le nombre d’onde ∆ksont reliés par l’inégalité :

∆x.∆p⩾ h̷

2 ou ∆x.∆k⩾ 1 2 A un quanton sera donc associé un paquet d’onde.

Cette égalité est à rapprocher de l’étude des paquets d’onde déjà effectué

E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme) Mécanique quantique 8 / 11

Paquet d’onde Vitesse du paquet d’onde

Vitesse de groupe

La vitesse de groupe v_g=dω

dk d’un paquet d’onde associé à un quanton s’identifie à la vitesse de ce quanton.

b ϕ(x, t) = ∫^−∞∞ A(p).eⁱ(p.x−E(p).t)

h̷ .dp

En effet, en dynamique non relativiste : v_g= dω

dk = d(̷h.ω) d(̷h.k) = dE

dp = 2.¹₂.m.2.v.dv m.dv =v

Densité de courant de probabilité Définition

Densité de courant de probabilité

On définit la densité de courant de probabilitéÐ→

J comme la probabilité qu’une particule traverse une surface unitaire pendant 1 seconde.

On effectue un bilan de probabilité de particule traversant une surface S orthogonale à l’axeOx pendant la durée dt. On a associé un paquet d’onde à la particule quantique libre.

la probabilité de trouver la particule dans le volumev_g.S s’écrit dP = ∣Ψ∣².S.v_g.dt

la probabilité que cette particule traverse la section s’écrit en fonction deÐ→

J :dP = ∬^SÐ→ J ⋅

Ð→ dS.dt

Vecteur densité de courant de probabilité b

Ð→

J = ∣Ψ(x, t)∣².h.̷ Ð→ k m

Densité de courant de probabilité État stationnaire

Considérons l’onde de de BroglieΨ(x, t) =ϕ0.e^{i(k.x−ω.t)} Alors Ð→

J =ϕ²0.h.̷ Ð→ k

m =C^te. Il s’agit donc d’un état stationnaire pour lequel le courant de probabilité sera indépendant du temps.

Forme générale d’une solution stationnaire

Ψ(x, t) =ϕ(x).e^−i.E.th̷