MQ2 – Equation de Schrödinger pour une particule libre

MQ2 – Equation de Schrödinger pour une particule libre

I – Particule libre

I-1) Définition

Dans le référentiel R, la quantité de mouvement de la particule quantique est notée 𝑝𝑝⃗ et son énergie mécanique E se confond avec son énergie cinétique.

L’évolution de la fonction d’onde d’une particule quantique libre est donc donnée par l’équation de Schrödinger :

𝑖𝑖ℏ 𝜕𝜕 Ψ _{(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)}

𝜕𝜕𝑡𝑡 = − ℏ ² 2𝑚𝑚

𝜕𝜕 ² Ψ _{(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)}

𝜕𝜕𝑥𝑥 ²

La particule quantique libre peut se déplacer de −∞ à + ∞ . I-2) Etats stationnaires

a) Fonction d’onde

Comme précédemment, nous recherchons une solution où la fonction d’onde est factorisée sous la forme d’un produit d’une fonction de t et d’une fonction de x. Nous savons que cette fonction d’onde peut se mettre sous la forme :

Ψ (𝑥𝑥, t) = ϕ _{(𝑥𝑥)𝑒𝑒} ^{−𝑖𝑖 ω 𝑡𝑡} ₌ ϕ _{(𝑥𝑥)𝑒𝑒} ^{− 𝑖𝑖𝑖𝑖 ℏ 𝑡𝑡}

où ϕ _(𝑥𝑥) est solution de l’équation de Schrödinger indépendante du temps :

On appelle particule quantique libre, une particule quantique évoluant dans le vide sans interaction :

𝑉𝑉(𝑥𝑥 ) = 0

− ℏ 2𝑚𝑚

𝜕𝜕 ϕ _(𝑥𝑥)

𝜕𝜕𝑥𝑥 ² = 𝐸𝐸 ϕ _{(𝑥𝑥) = ℏ𝜔𝜔} ϕ _(𝑥𝑥)

⇔ ^{𝑑𝑑 2} ϕ _(𝑥𝑥)

𝑑𝑑𝑥𝑥 ² + 2𝑚𝑚𝐸𝐸

ℏ ² ϕ _{(𝑥𝑥) = 0} - Cas où E<0 :

Dans ce cas, la forme générale de la solution de l’équation s’écrit : ϕ _{(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴𝑒𝑒} ^{𝑘𝑘𝑘𝑘} _{+ 𝐵𝐵𝑒𝑒} ^{−𝑘𝑘𝑘𝑘} _{𝑜𝑜ù 𝑘𝑘 = �−} ^{2𝑚𝑚𝐸𝐸}

ℏ ² Donc : lim

𝑘𝑘→±∞ | ϕ _(𝑥𝑥) ² _{| = +∞}

Cette solution n’est pas acceptable. On a donc nécessairement : 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 = 0 ⇒ Ψ (𝑥𝑥, t) = 0

- Cas où E=0 :

Dans ce cas, la forme générale de la solution de l’équation s’écrit :

ϕ (𝑥𝑥) = 𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵

Pour que | ϕ _(𝑥𝑥) ² _| ne diverge pas on doit avoir A=0.

Or :

� ^+∞ | ϕ (𝑥𝑥 )| ² 𝑑𝑑𝑥𝑥

−∞ = 1 ⇔ _{� 𝐵𝐵} ^{+∞ 2} _{𝑑𝑑𝑥𝑥}

−∞ = 1

N’est pas vérifié donc :

𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 = 0 ⇒ Ψ (𝑥𝑥, t) = 0 - Cas où E>0 :

- Dans ce cas, la forme générale de la solution de l’équation s’écrit :

ϕ (𝑥𝑥) = 𝐴𝐴𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖𝑘𝑘𝑘𝑘} + 𝐵𝐵𝑒𝑒 ^{−𝑖𝑖𝑘𝑘𝑘𝑘} 𝑜𝑜ù 𝑘𝑘 = � 2𝑚𝑚𝐸𝐸

ℏ ²

L’expression complète de la fonction d’onde est la suivante : Ψ (𝑥𝑥, t) = 𝐴𝐴𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖(𝑘𝑘𝑘𝑘− ω 𝑡𝑡)} + 𝐵𝐵𝑒𝑒 ^{−𝑖𝑖(𝑘𝑘𝑘𝑘+ ω 𝑡𝑡)}

On reconnaît là l’expression de la superposition d’une onde plane harmonique progressant dans le sens des x croissants et d’une onde plane harmonique progressant dans le sens des x décroissants.

b) Convention d’écriture

La résolution de l’équation de Schrödinger pour une particule quantique libre a conduit à ne retenir que la solution où 𝐸𝐸 >

0 𝑒𝑒𝑡𝑡 ω _{> 0} .

Vu nos notations, la partie temporelle de la fonction d’onde s’écrit alors nécessairement sous la forme :

Ψ (𝑥𝑥 , t) = ϕ _{(𝑥𝑥)𝑒𝑒} ^{−𝑖𝑖 ω 𝑡𝑡} ₌ ϕ _{(𝑥𝑥 )𝑒𝑒} ⁻

^𝑡𝑡 _𝑜𝑜ù ω _{> 0}

c) Relation de dispersion Soit :

� 𝑑𝑑 ² ϕ _{(𝑥𝑥 )}

𝑑𝑑𝑥𝑥 ² + 2𝑚𝑚𝐸𝐸

ℏ ² ϕ _{(𝑥𝑥 ) = 0} ϕ (𝑥𝑥) = 𝐴𝐴𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖𝑘𝑘𝑘𝑘} + 𝐵𝐵𝑒𝑒 ^{−𝑖𝑖𝑘𝑘𝑘𝑘} D’où :

−𝑘𝑘 ² + 2𝑚𝑚𝐸𝐸

ℏ ² = 0

⇔ _{𝐸𝐸 =} ^{ℏ 2 𝑘𝑘 2} 2𝑚𝑚

En mécanique quantique, on convient de toujours écrire la dépendance temporelle d’une fonction d’onde harmonique sous la forme :

Ψ (𝑥𝑥 , t) = ϕ _{(𝑥𝑥)𝑒𝑒} ^{−𝑖𝑖 ω 𝑡𝑡} ₌ ϕ _{(𝑥𝑥 )𝑒𝑒} ⁻

^𝑡𝑡 _𝑜𝑜ù ω _{> 0}

⇔ _{ℏ𝜔𝜔 =} ^{ℏ 𝑘𝑘} 2𝑚𝑚

⇔ _{𝜔𝜔 =} ^{ℏ𝑘𝑘 2}

La vitesse de phase de l’onde plane progressive harmonique peut 2𝑚𝑚 être déduite de la relation de dispersion :

𝑣𝑣 _φ = 𝜔𝜔

𝑘𝑘 = ℏ𝑘𝑘 La vitesse de groupe est définie par : 2𝑚𝑚

𝑣𝑣 _φ = 𝑑𝑑𝜔𝜔 Or : 𝑑𝑑𝑘𝑘

𝑑𝑑𝜔𝜔 = ℏ 2𝑘𝑘𝑑𝑑𝑘𝑘 2𝑚𝑚

⇒ _{𝑣𝑣 𝑔𝑔 =} ^ℏ𝑘𝑘

𝑚𝑚 = 2𝑣𝑣 ϕ

I-3) Représentation par paquet d’ondes a) Sens physique de l’OPPH

Nous venons de voir que les états stationnaires d’une particule quantique libre sont des ondes planes progressives harmoniques. Une onde plane progressive harmonique, de la forme :

𝜓𝜓(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑖𝑖(𝜔𝜔𝑡𝑡−𝑘𝑘𝑘𝑘)

correspond à une probabilité de présence uniforme |𝐴𝐴| ² dans tout l’espace. Une telle fonction d’onde ne peut pas être normalisée. Elle n’a donc, en toute rigueur, pas de réalité physique.

Pour résoudre ce problème on va, une nouvelle fois, utiliser la notion de paquets d’ondes, qui pourra être normalisé correctement.

La vitesse de phase dépend de k : la propagation d’une onde

libre est dispersive.

b) Structure en paquet d’ondes

Nous allons donc envisager la propagation d’une superposition d’ondes harmoniques de pulsations et de vecteurs d’onde proches des valeurs 𝜔𝜔 ₀ et 𝑘𝑘 ₀ liées par la relation de dispersion :

𝜔𝜔 ₀ = ℏ𝑘𝑘 ₀ ²

Plus précisément, on superpose N ondes harmoniques, avec 2𝑚𝑚 𝑁𝑁 ≫ 1. Leurs vecteurs d’onde sont supposés régulièrement distribués dans l’intervalle [𝑘𝑘 ₁ ; 𝑘𝑘 ₂ ] .

On pose :

� Δ𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 ₂ − 𝑘𝑘 ₁ 𝑘𝑘 ₀ = 𝑘𝑘 ₁ + 𝑘𝑘 ₂

On fait l’hypothèse que Δ𝑘𝑘 ≪ 𝑘𝑘 2 ₀ . Cette approximation définit un paquet d’ondes quasi monochromatique.

Pour former le paquet d’ondes, on choisit d’ajouter des composantes de même amplitude :

𝜓𝜓 _𝑛𝑛 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖(𝑘𝑘}

^{𝑘𝑘−𝜔𝜔}

^𝑡𝑡) 𝑜𝑜ù � ω _{𝑛𝑛 =} ^{ℏ𝑘𝑘 𝑛𝑛 2}

2𝑚𝑚

𝑘𝑘 _𝑛𝑛 = 𝑘𝑘 ₁ + Δ𝑘𝑘 𝑛𝑛 − 1 𝑁𝑁 − 1

En mettant en facteur l’onde de pulsation et de vecteur d’onde moyens, on arrive à :

𝜓𝜓 _𝑛𝑛 (𝑥𝑥 , 𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖(𝑘𝑘}

^{𝑘𝑘−𝜔𝜔}

^𝑡𝑡) 𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖�(𝑘𝑘}

^−𝑘𝑘

^{)𝑘𝑘−(𝜔𝜔}

^−𝜔𝜔

^)𝑡𝑡�

Posons :

� 𝛿𝛿𝑘𝑘 ^𝑛𝑛 = 𝑘𝑘 _𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 ₀ 𝛿𝛿𝜔𝜔 _𝑛𝑛 = 𝜔𝜔 _𝑛𝑛 − 𝜔𝜔 ₀

⇒ _{𝜓𝜓 𝑛𝑛 (𝑥𝑥,} 𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖(𝑘𝑘}

^{𝑘𝑘−𝜔𝜔}

^𝑡𝑡) 𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖(𝛿𝛿𝑘𝑘}

^{𝑘𝑘−𝛿𝛿𝜔𝜔}

^𝑡𝑡) D’où : ω _{𝑛𝑛 =} ^ℏ𝑘𝑘

2𝑚𝑚 donne :

ω _{0 + 𝛿𝛿𝜔𝜔 𝑛𝑛 =} ^{ℏ(𝑘𝑘 0 + 𝛿𝛿𝑘𝑘 𝑛𝑛 )} 2𝑚𝑚

⇒ ω _{0 + 𝛿𝛿𝜔𝜔 𝑛𝑛 =} ^{ℏ𝑘𝑘 0 2}

2𝑚𝑚 + ℏ𝑘𝑘 ₀

𝑚𝑚 𝛿𝛿𝑘𝑘 ^𝑛𝑛 + ℏ𝛿𝛿𝑘𝑘 _𝑛𝑛 ² 2𝑚𝑚

⇒ _{𝛿𝛿𝜔𝜔 𝑛𝑛 ~} ^{ℏ𝑘𝑘 0}

𝑚𝑚 𝛿𝛿𝑘𝑘 ^𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛿𝛿𝑘𝑘 _𝑛𝑛 ≪ 𝑘𝑘 ₀ D’où la vitesse de groupe : 𝑣𝑣 _𝑔𝑔 = ^{𝛿𝛿𝜔𝜔} _{𝛿𝛿𝑘𝑘}

𝑛𝑛

= ^ℏ𝑘𝑘 _𝑚𝑚

La densité de probabilité de présence s’en déduit :

|𝜓𝜓(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)| ² = |𝐴𝐴 | ² �� 𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖𝛿𝛿𝑘𝑘}

^{�𝑘𝑘−𝑣𝑣}

^𝑡𝑡�

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

�

2

c) Structure initiale

À l’instant initial t = 0, la densité de probabilité s’écrit :

|𝜓𝜓(𝑥𝑥, 0)| ² = |𝐴𝐴| ² �� 𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖𝛿𝛿𝑘𝑘}

^𝑘𝑘

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

�

2

La figure représente le graphe de |𝜓𝜓(𝑥𝑥, 0)| ² en fonction de x, et appelle plusieurs commentaires.

Représentation de la densité de probabilité initiale pour N=100.

La fonction d’onde obtenue par superposition des N ondes harmoniques s’écrit :

Ψ _{(𝑥𝑥 ,} 𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖𝑘𝑘}

^{�𝑘𝑘−𝑣𝑣}

^𝑡𝑡� � 𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖𝛿𝛿𝑘𝑘}

^{�𝑘𝑘−𝑣𝑣}

^𝑡𝑡�

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

𝑜𝑜ù 𝑣𝑣 _𝑔𝑔 = ℏ𝑘𝑘 ₀

𝑚𝑚

Dans l’expression de |𝜓𝜓(𝑥𝑥, 0)| ² , la somme correspond à un terme d’interférences à N ondes. Chaque composante y est caractérisée par une phase égale à 𝛿𝛿𝑘𝑘 _𝑛𝑛 𝑥𝑥 .

- Pour x = 0, on constate que toutes ces ondes s’ajoutent en phase (interférences totalement constructives). La densité de probabilité est alors maximale.

- Sur le graphe, on constate que la densité de probabilité de présence prend des valeurs non nulles essentiellement au voisinage de x = 0 et reste très faible au-delà.

Utilisons la notation de Fresnel pour illustrer ce phénomène.

L’angle entre deux vecteurs associés à deux termes consécutifs de la somme est égal à :

𝛿𝛿 ϕ ₌ δ _{𝑘𝑘 𝑛𝑛+1 𝑥𝑥 −} δ _{𝑘𝑘 𝑛𝑛 𝑥𝑥 = (𝑘𝑘 𝑛𝑛+1 − 𝑘𝑘 𝑛𝑛 )𝑥𝑥} Or :

𝑘𝑘 _𝑛𝑛 = 𝑘𝑘 ₁ + Δ𝑘𝑘 𝑛𝑛 − 1 𝑁𝑁 − 1

⇒ _𝛿𝛿 ϕ _{= Δ𝑘𝑘} ^𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 1

Pour certaines valeurs de x, la somme de tous ces vecteurs peut être nulle. Comme l’illustre la figure, il suffit que : 𝑁𝑁𝛿𝛿 ϕ _{= 2𝑝𝑝𝑝𝑝 .}

On peut déterminer les abscisses où le vecteur résultant, et donc la probabilité de présence, s’annule :

𝑁𝑁𝛿𝛿 ϕ _{= 2𝑝𝑝𝑝𝑝} ⇔ _Δ𝑘𝑘 ^{𝑁𝑁𝑥𝑥}

𝑁𝑁 − 1 = 2 𝑝𝑝𝑝𝑝 Vu que N est grand :

𝑥𝑥 _𝑝𝑝 = 2𝑝𝑝𝑝𝑝

Δ𝑘𝑘

On peut en déduire la largeur de l’intervalle où la probabilité de présence prend des valeurs non nulles de part et d’autre du maximum :

∆𝑥𝑥 = 4𝑝𝑝 Δ𝑘𝑘

À l’intérieur de cet intervalle, l’interférence des N ondes est suffisamment constructive pour donner une valeur non nulle à la densité de probabilité de présence.

La relation précédente peut être écrite sous la forme :

∆𝑥𝑥Δ𝑘𝑘 = 4𝑝𝑝

Elle est compatible avec l’inégalité de Heisenberg spatiale qui impose

∆𝑥𝑥Δ𝑘𝑘 ≥ 1 2

d) Structure à un instant t

On considère maintenant l’expression :

La densité de probabilité de présence s’en déduit :

|𝜓𝜓(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)| ² = |𝐴𝐴| ² �� 𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖𝛿𝛿𝑘𝑘}

^{�𝑘𝑘−𝑣𝑣}

^𝑡𝑡�

𝑁𝑁

𝑖𝑖=1

�

2

Un paquet d’ondes construit par superposition d’OPPH dont les vecteurs d’onde sont distribués dans un intervalle de Largeur ∆k a une extension spatiale ∆ _𝑥𝑥 qui varie conformément à l’inégalité de Heisenberg spatiale :

∆𝑥𝑥Δ𝑘𝑘 ≥ 1

2

Par comparaison avec l’état initial, on peut remarquer que le maximum de densité de probabilité se situe maintenant à l’abscisse 𝑥𝑥 = 𝑣𝑣 _𝑔𝑔 𝑡𝑡.

Représentation de la densité de probabilité à un instant t>0 (trait plein) pour N=100.

En toute rigueur, si l’on reprend l’expression complète sans négliger le second terme, on constate que le paquet d’ondes s’étale au cours de sa propagation. Cet effet est lié à la dispersion de la vitesse de groupe.

e) Quantité de mouvement moyenne

Le vecteur d’onde moyen 𝑘𝑘�⃗ du paquet d’ondes correspond à une longueur d’onde de De Broglie moyenne λ ₌ ^2𝜋𝜋

𝑘𝑘 . Pour faire le lien entre la propagation du paquet d’ondes et la description particulaire, on utilise la relation de de Broglie en associant une quantité de mouvement moyenne 𝑝𝑝⃗ à la longueur d’onde λ tel que :

𝑝𝑝⃗ = ℏ𝑘𝑘�⃗ = 𝑚𝑚 𝑣𝑣 ����⃗ _𝑔𝑔

Or d’après la relation de dispersion : 𝜔𝜔 = ℏ𝑘𝑘 ²

2𝑚𝑚 ⇔ _{ℏ𝜔𝜔 =} ^{ℏ 2 𝑘𝑘 2}

2𝑚𝑚 ⇔ _{𝐸𝐸 =} ^{𝑝𝑝 2} 2𝑚𝑚

On identifie la vitesse de déplacement de la particule

quantique à la vitesse de groupe du paquet d’ondes.

On retrouve le fait que l’énergie totale s’assimile à l’énergie cinétique de la particule. Par conséquent l’équation de Schrödinger traduit une conservation énergétique d’une particule quantique.

I-4) Courant de probabilité

La probabilité de présence, à l’instant t, d’une particule quantique entre les abscisses x et x+dx est donnée par la relation :

𝑑𝑑𝑃𝑃 = |𝜓𝜓(𝑥𝑥 , 𝑡𝑡)| ² 𝑑𝑑𝑥𝑥

Cette particule quantique peut être représentée par un paquet d’ondes, de vecteur d’onde moyen 𝑘𝑘�⃗ , qui se déplace à la vitesse de groupe de norme 𝑣𝑣 _𝑔𝑔 = ℏ _𝑚𝑚 ^𝑘𝑘 .

Le paquet d’ondes parcourt donc la distance dx pendant la durée dt d’où :

𝑑𝑑𝑃𝑃 = |𝜓𝜓(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)| ² 𝑑𝑑𝑥𝑥 = |𝜓𝜓(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)| ² 𝑣𝑣 _𝑔𝑔 𝑑𝑑𝑡𝑡 = |𝜓𝜓(𝑥𝑥 , 𝑡𝑡)| ² ℏ 𝑘𝑘 𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑡𝑡

On peut considérer que cette relation met en évidence un « débit

» de probabilité de présence à l’abscisse x à travers une surface unité tel que :

𝑑𝑑𝑃𝑃

𝑑𝑑𝑡𝑡 = |𝜓𝜓(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)| ² ℏ 𝑘𝑘

que l’on peut exprimer au moyen d’un vecteur densité de courant de 𝑚𝑚 probabilité 𝚥𝚥⃗ .

On peut représenter une particule quantique par un paquet d’ondes quasi-monochromatique de vecteur d’onde moyen 𝑘𝑘�⃗ et de pulsation moyenne 𝜔𝜔 telle que :

�𝑝𝑝⃗ = ℏ𝑘𝑘�⃗ = 𝑚𝑚 𝑣𝑣 ����⃗ _𝑔𝑔

𝐸𝐸 = ℏ𝜔𝜔

Or on rappelle que :

𝑑𝑑𝑃𝑃 = |𝜓𝜓(𝑥𝑥 , 𝑡𝑡)| ² 𝑑𝑑𝑥𝑥

⇔ ^{𝑑𝑑𝑃𝑃}

𝑑𝑑𝑥𝑥 = |𝜓𝜓(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)| ² = ρ _{(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)}

Cette grandeur ρ _{(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)} est appelée densité linéique de probabilité.

Par analogie avec la conduction électrique ( 𝚥𝚥⃗ = ρ _𝑣𝑣⃗) , on définit le courant de probabilité par :

𝚥𝚥⃗ ��� (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)

𝑠𝑠

= ρ _{��� (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)}

𝑚𝑚

𝑣𝑣 _𝑔𝑔

����⃗ ⏟

𝑚𝑚 𝑠𝑠

II – Interférences quantiques

II-1) Diffraction par une fente

L’onde est diffractée par la fente : il en résulte une modification de l’orientation du vecteur d’onde à la traversée de la fente. On suppose que l’énergie est inchangée : la norme du vecteur d’onde La probabilité de présence qui « s’écoule » à travers une abscisse x pendant une durée dt est :

𝑑𝑑𝑃𝑃 = 𝚥𝚥⃗ (𝑥𝑥, 𝑡𝑡). 𝑢𝑢 _𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑜𝑜ù 𝚥𝚥⃗ ��� (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)

𝑠𝑠

= |𝜓𝜓(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)| ² ℏ𝑘𝑘�⃗

𝑚𝑚

Le vecteur densité de courant de probabilité 𝚥𝚥⃗ peut s’écrire : 𝚥𝚥⃗ ��� ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 )

𝑠𝑠

= ρ _{��� ( 𝑥𝑥, 𝑡𝑡 )}

𝑚𝑚

𝑣𝑣 _𝑔𝑔

����⃗ ⏟

𝑚𝑚 𝑠𝑠

= 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑛𝑛𝑑𝑑𝑖𝑖𝑡𝑡é × 𝑣𝑣𝑖𝑖𝑡𝑡𝑒𝑒𝑑𝑑𝑑𝑑𝑒𝑒

reste donc inchangée. On s’intéresse à la propagation libre du faisceau diffracté depuis O vers un point M du plan de détection, suffisamment éloigné de la fente pour qu’on puisse faire l’approximation d’une onde quasi-plane en M.

La fonction d’onde représentant les particules quantiques du faisceau au point O à l’instant 𝑡𝑡 ₀ peut être écrite sous la forme suivante :

𝜓𝜓(𝑂𝑂, 𝑡𝑡 ₀ ) = 𝐴𝐴𝑒𝑒 ^{−𝑖𝑖 ω 𝑡𝑡}

La fonction d’onde au point M à l’instant t s’écrit : 𝜓𝜓(𝑀𝑀, 𝑡𝑡) = 𝐴𝐴𝑒𝑒 𝑖𝑖�𝑘𝑘�⃗.𝑂𝑂𝑂𝑂 �������⃗− ω _𝑡𝑡�

La diffraction du faisceau se traduit par un changement de l’orientation du vecteur d’onde. Mais nous n’avons pas caractérisé la distribution de ces orientations, ni précisé l’ouverture angulaire du faisceau diffracté. C’est ce que nous allons faire maintenant en utilisant l’inégalité de Heisenberg spatiale. La fente impose un confinement de la fonction d’onde sur une largeur d.

L’indétermination quantique sur la position d’une particule qui passe à travers la fente est donc inférieure à d :

∆𝑥𝑥 ≤ 𝑑𝑑 𝑂𝑂𝑐𝑐 ∶ ∆ _{𝑘𝑘 𝑘𝑘 ∆𝑥𝑥 ≥} ¹

2 ⇒ ∆ _{𝑘𝑘 𝑘𝑘 ≥} ¹ 2𝑑𝑑

L’analyse de la figure montre que :

∆ _{𝑘𝑘 𝑘𝑘 = 2𝑘𝑘 sin 𝜃𝜃}

⇒ _{2𝑘𝑘 sin 𝜃𝜃 ≥} ¹ 2𝑑𝑑

⇒ ^4𝑝𝑝

𝜆𝜆 sin 𝜃𝜃 ≥ 1

2𝑑𝑑

⇒ _{sin 𝜃𝜃 ≥} ^𝜆𝜆 8𝑝𝑝𝑑𝑑

On obtient un étalement de l’onde d’autant plus important que l’ouverture est étroite : c’est le phénomène de diffraction.

Or :

tan 𝜃𝜃 = 𝑋𝑋

𝐷𝐷 ⇒ ∆ _{𝑋𝑋 ≥} ^{𝜆𝜆𝐷𝐷} 4𝑝𝑝𝑑𝑑

Dans le plan du détecteur, la densité de probabilité de présence ne prend donc des valeurs importantes que dans une région dont l’extension spatiale selon (Ox) a pour ordre de grandeur :

∆ _{𝑋𝑋 ≥} ^{𝜆𝜆𝐷𝐷} 4𝑝𝑝𝑑𝑑 II-2) Fentes d’Young

On envisage maintenant deux fentes parallèles à l’axe (Oy) et de longueurs illimitées dans cette direction. Leur largeur selon (Ox) est d. Les deux fentes sont centrées en O1 et O2 avec 𝑂𝑂 ₁ 𝑂𝑂 ₂ = 𝑐𝑐 .

D’après le principe de superposition :

Ψ _{(𝑀𝑀, 𝑡𝑡) =} Ψ _{1 (𝑀𝑀, 𝑡𝑡) +} Ψ _{2 (𝑀𝑀, 𝑡𝑡)}

⇒ Ψ _{(𝑀𝑀, 𝑡𝑡) = 𝐴𝐴 1 𝑒𝑒} ^{𝑖𝑖�𝑘𝑘�⃗}

^.𝑂𝑂 ���������⃗−

^𝑂𝑂 ω _𝑡𝑡� + 𝐴𝐴 ₂ 𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖�𝑘𝑘 ����⃗}

^.𝑂𝑂 ���������⃗−

^𝑂𝑂 ω _𝑡𝑡�

⇒ Ψ _{(𝑀𝑀, 𝑡𝑡) = 𝑒𝑒} ^{𝑖𝑖 ω 𝑡𝑡} _{�𝐴𝐴 1 𝑒𝑒} ^{𝑖𝑖(𝑘𝑘𝑂𝑂}

^𝑂𝑂) _{+ 𝐴𝐴 2 𝑒𝑒} ^{𝑖𝑖(𝑘𝑘𝑂𝑂}

^𝑂𝑂) _{� 𝑜𝑜ù 𝑘𝑘 =} ^2𝑝𝑝 D’où la probabilité de présence : 𝜆𝜆

| Ψ _{(𝑀𝑀, 𝑡𝑡)|} ² _{= �𝐴𝐴 1 𝑒𝑒} ^{𝑖𝑖𝑘𝑘𝑂𝑂}

^𝑂𝑂 _{+ 𝐴𝐴 2 𝑒𝑒} ^{𝑖𝑖𝑘𝑘𝑂𝑂}

^𝑂𝑂 _{�(𝐴𝐴 1} ^∗ _𝑒𝑒 ^{−𝑖𝑖𝑘𝑘𝑂𝑂}

^𝑂𝑂 _{+ 𝐴𝐴 2} ^∗ _𝑒𝑒 ^{−𝑖𝑖𝑘𝑘𝑂𝑂}

^𝑂𝑂 ₎

= |𝐴𝐴 ₁ | ² + |𝐴𝐴 ₂ | ² + �𝐴𝐴 ₁ 𝐴𝐴 ₂ ^∗ 𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖(𝑘𝑘𝑂𝑂}

^{𝑂𝑂−𝑘𝑘𝑂𝑂}

^𝑂𝑂) + 𝐴𝐴 ₁ ^∗ 𝐴𝐴 ₂ 𝑒𝑒 ^{−𝑖𝑖(𝑘𝑘𝑂𝑂}

^{𝑂𝑂−𝑘𝑘𝑂𝑂}

^𝑂𝑂) �

= |𝐴𝐴 ₁ | ² + |𝐴𝐴 ₂ | ² + 2𝑅𝑅 _𝑒𝑒 �𝐴𝐴 ₁ 𝐴𝐴 ₂ ^∗ 𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖 ( 𝑘𝑘𝑂𝑂}

^{𝑂𝑂−𝑘𝑘𝑂𝑂}

^{𝑂𝑂 )} �

Posons :

∆ϕ _{= 𝑘𝑘𝑂𝑂 1 𝑀𝑀 − 𝑘𝑘𝑂𝑂 2 𝑀𝑀}

⇒ _| Ψ _{(𝑀𝑀, 𝑡𝑡)|} ² _{= |𝐴𝐴 1 |} ² _{+ |𝐴𝐴 2 |} ² _{+ 2𝑅𝑅 𝑒𝑒 �𝐴𝐴 1 𝐴𝐴 2} ^∗ _𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖 ∆ϕ} _�

On reconnaît une expression analogue à la formule de Fresnel donnant l’éclairement résultant d’interférences à deux ondes lumineuses. Pour deux fentes identiques et « éclairées » par la même onde incidente, on a : 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 ₁ = 𝐴𝐴 ₂

⇒ _| Ψ _{(𝑀𝑀, 𝑡𝑡)|} ² _{= 2|𝐴𝐴|} ² _{(1 + cos(} ∆ϕ _{)) 𝑜𝑜ù} ∆ϕ ₌ ^{2𝑝𝑝𝛿𝛿} 𝜆𝜆 Par analogie avec l’optique on en déduit :

- δ ₌ ^{𝑎𝑎𝑘𝑘} - 𝑖𝑖 = ^{𝜆𝜆𝐷𝐷} _𝑎𝑎 𝐷𝐷

En raison du phénomène de diffraction, la probabilité de présence ne prend des valeurs non nulles qu’autour de l’origine O’, dans une région, appelée tache centrale de diffraction d’extension spatiale égale à :

∆ _{𝑋𝑋 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑 =} ^{2𝜆𝜆𝐷𝐷} 𝑑𝑑

Pour l’experience des fentes d’Young avec des atomes on a : - Un interfrange :

𝑖𝑖 = 𝜆𝜆𝐷𝐷

𝑐𝑐 𝑜𝑜ù 𝜆𝜆 = 𝜆𝜆 _{𝐷𝐷𝐷𝐷} - Une tâche centrale de diffraction :

∆ 𝑋𝑋 _{𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑} = 2𝜆𝜆𝐷𝐷

𝑑𝑑

II-3) Expérience de Carnal et Mlynek a) Résultats expérimentaux

Prenons l’exemple d’une expérience d’interférométrie atomique réalisée par O. Carnal et J.Mlynek, de l’université de Constance en Allemagne en 1991. Ces deux physiciens utilisent un montage expérimental, analogue au dispositif optique des deux fentes d’Young. Les particules utilisées sont des atomes d’hélium : ils ont une masse faible, ce qui donne une grande longueur d’onde de de Broglie. La vitesse des atomes d’hélium peut être ajustée en modifiant la température du réservoir : les longueurs d’onde de De Broglie utilisées pour réaliser l’expérience sont :

- λ _{= 0,56.10} ⁻¹⁰ _𝑚𝑚 (correspondant à une température de 295 K) - λ _{= 1,03.10} ⁻¹⁰ _𝑚𝑚 (correspondant à une température de 83 K).

La source atomique est située à gauche et la détection se fait à l’extrémité droite du tube supérieur. Les dispositifs de couleur orange sont des pompes à diffusion permettant d’obtenir un très bon vide dans l’enceinte.

𝑑𝑑 ₁ = 2𝜇𝜇𝑚𝑚, 𝑑𝑑 ₂ = 1 𝜇𝜇𝑚𝑚, 𝑐𝑐 = 8 µ _{𝑚𝑚, 𝐷𝐷 = 𝐷𝐷′ = 64𝑐𝑐𝑚𝑚}

Le flux d’atomes à la sortie du réservoir est d’environ 10 ²² atomes par seconde et par mètre carré. Une fois sortis du réservoir, les atomes passent à travers une première fente, de largeur 𝑑𝑑 ₁ = 2𝜇𝜇𝑚𝑚 pratiquée dans une feuille d’or.

La hauteur de la fente est de 4mm. Après un trajet d’une longueur D = 64 cm, les atomes passent à travers un dispositif de deux fentes, de largeur 𝑑𝑑 ₂ = 1 𝜇𝜇𝑚𝑚 , distantes de 𝑐𝑐 = 8 µ _𝑚𝑚 . Ces deux fentes, découpées dans une feuille d’or, font 2 mm de haut. Le parallélisme des deux fentes est ajusté de sorte que l’angle entre deux côtés parallèles des deux fentes est inférieur à 10 ⁻⁴ rad. Le parallélisme des fentes 𝐹𝐹 , 𝐹𝐹 ₁ 𝑒𝑒𝑡𝑡 𝐹𝐹 ₂ est ajusté avec un angle résiduel inférieur à 5.10 ⁻⁴ rad. Afin de limiter les collisions avec d’autres particules gazeuses, l’expérience est réalisée sous une pression réduite de 5 × 10 ⁻⁵ 𝑃𝑃𝑐𝑐.

Après le passage par les fentes F1 et F2, la distribution des atomes est mesurée dans un plan situé à une distance D’=64 cm derrière le plan des deux fentes. Ces impacts sont localisés par un détecteur dont la partie sensible est une fente d’une largeur de 2𝜇𝜇𝑚𝑚 , pouvant être décalée par pas de 1,88𝜇𝜇𝑚𝑚 .

Pour chaque position du détecteur, le comptage des atomes dure

10 minutes, afin d’améliorer le rapport signal sur bruit. Le bruit

résiduel est de l’ordre de 2 à 3 impacts par minute. Tous ces détails

expérimentaux montrent que ce type d’expérience est beaucoup plus

difficile à mettre en œuvre que l’expérience d’optique analogue.

Un exemple de résultat expérimental est présenté sur la figure, qui révèle des franges d’interférence. La mesure de l’interfrange donne :

𝑖𝑖 _{𝑒𝑒𝑘𝑘𝑝𝑝} = 7,7 ± 0,5 𝜇𝜇𝑚𝑚 qui est compatible avec la valeur théorique :

𝑖𝑖 _{𝑡𝑡ℎé𝑜𝑜} = λ _𝐷𝐷

𝑐𝑐 = 8,4 𝜇𝜇𝑚𝑚

L’affaiblissement du signal du côté droit de la figure est lié à la largeur finie des fentes (effet de la diffraction). La tache centrale de la figure de diffraction a une largeur de l’ordre de :

∆𝑋𝑋 _{𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑} = 2𝜆𝜆𝐷𝐷

𝑑𝑑 ₂ = 132 𝜇𝜇𝑚𝑚

Cependant, la diminution du signal est aussi due à la dispersion des vitesses des atomes autour de la valeur moyenne, qui se traduit par une dispersion des longueurs d’onde autour d’une valeur moyenne. Ce dernier effet est analogue au défaut de monochromaticité d’une source lumineuse (problème de cohérence temporelle). La largeur effective de la figure d’interférences dépend de ces deux effets combinés.

Enfin, on remarquera que la tache centrale de diffraction produite par la première fente F a une largeur égale à :

∆𝑋𝑋 _{𝑑𝑑𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑} = 2𝜆𝜆𝐷𝐷

𝑑𝑑 ₁ = 66 𝜇𝜇𝑚𝑚

ce qui permet d’« éclairer » les deux fentes F1 et F2 de façon cohérente avec la même onde.

b) Paradoxe d’Einstein

Dans une controverse qui l’opposait à N. Bohr, A. Einstein avait

imaginé le même dispositif pour déterminer la trajectoire des

particules quantiques : passent-elles par la fente F1 ou la fente F2 ?

Nous proposons d’examiner les arguments d’Einstein et la réponse

que lui fit Bohr.

Complétons le dispositif en supposant que la fente F est percée dans un écran E mobile selon la direction Ox. On peut imaginer un système de galets qui roulent sans glisser sur l’écran et l’autorisent à se déplacer selon (Ox).

Prenons le cas d’un atome d’hélium se dirigeant vers la fente F1 après son passage par F. Cet atome est dévié par la fente F et sa quantité de mouvement varie de :

𝛥𝛥𝑝𝑝⃗ = 𝑝𝑝 ����⃗ − 𝑝𝑝 ₁ ����⃗ ₀

L’énergie de l’atome d’hélium est conservée : la norme de sa quantité de mouvement ne varie pas et reste égale à 𝑝𝑝 ₀ . D’où :

𝛥𝛥𝑝𝑝⃗ = 𝑝𝑝 ₀ (sin 𝛼𝛼 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑘𝑘 + 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑑𝑑 𝛼𝛼 𝑢𝑢 ����⃗) _𝑧𝑧 − 𝑝𝑝 ₀ 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑧𝑧

⇔ _{𝛥𝛥𝑝𝑝⃗ = 𝑝𝑝 0 (sin 𝛼𝛼 𝑢𝑢 ����⃗ 𝑘𝑘 + (cos(𝛼𝛼) − 1) 𝑢𝑢 ����⃗) 𝑧𝑧} Or :

tan(𝛼𝛼) = 𝑐𝑐 Or : 𝛼𝛼 ≪ 1 d’où : 2𝐷𝐷

𝛥𝛥𝑝𝑝⃗ ~ 𝑝𝑝 ₀ 𝑐𝑐 2𝐷𝐷 𝑢𝑢 ����⃗ ^𝑘𝑘

La quantité de mouvement selon (Ox) du système {écran mobile +atome} se conserve. Donc, au passage de l’atome, l’écran a un mouvement de recul et sa variation de quantité de mouvement est l’opposé de celle de l’atome :

𝛥𝛥𝑝𝑝 ������������⃗ _{é𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑛𝑛} = − 𝑝𝑝 ₀ 𝑐𝑐

2𝐷𝐷 𝑢𝑢 ����⃗ ^𝑘𝑘

Si l’atome d’hélium se dirige vers la fente F2, alors la variation de quantité de mouvement de l’écran mobile est opposée à celle qu’on vient de trouver.

Einstein y voit un moyen expérimental de déterminer par quelle fente passe chaque atome. Il suffit de mesurer le mouvement de recul de l’écran. Bohr fait l’objection suivante : si l’on veut mesurer la variation de quantité de mouvement de l’écran lors du passage d’un atome, il faut que l’indétermination  δ _{𝑝𝑝 𝑘𝑘} sur la quantité de mouvement initiale de l’écran selon (Ox) soit très inférieure à la variation mesurée :

𝐵𝐵𝑜𝑜ℎ𝑐𝑐 ∶ δ _{𝑝𝑝 𝑘𝑘 ≪ 𝑝𝑝 0} ^𝑐𝑐

D’après l’inégalité de Heisenberg spatiale, on en déduit 2𝐷𝐷 l’indétermination δ _𝑥𝑥 sur la position initiale de l’écran :

δ _𝑥𝑥 δ _{𝑝𝑝 𝑘𝑘 ≥} ^ℏ 2

⇔ δ _{𝑥𝑥 ≥} ^ℏ 2 δ _{𝑝𝑝 𝑘𝑘}

⇔ δ _{𝑥𝑥 ≫ 2𝑝𝑝} ^ℏ

0 𝑐𝑐 2𝐷𝐷

⇔ δ _{𝑥𝑥 ≫} ^ℏ𝐷𝐷 𝑝𝑝 ₀ 𝑐𝑐

⇔ δ _{𝑥𝑥 ≫} ^ℏ𝐷𝐷 ℎ 𝜆𝜆 𝑐𝑐

⇔ δ _{𝑥𝑥 ≫} ^{𝜆𝜆𝐷𝐷}

2𝑝𝑝𝑐𝑐 ~10 ⁴ 𝜆𝜆

On obtient donc une indétermination importante sur la position initiale de la fente F. Il en résulte une indétermination équivalente sur la position des franges, ce qui se traduit par leur brouillage. Les franges d’interférences ont donc disparu !

On conclut que si l’on utilise un dispositif qui permet de savoir par

quelle fente passe un atome d’hélium, alors la figure d’interférences

disparaît. Si les interférences sont visibles, alors on ne sait pas par

quelle fente est passé l’atome. Cette conclusion se généralise :

lorsqu’on observe une figure d’interférences, la notion de trajectoire

des particules quantiques (qui correspond aux rayons lumineux

lorsqu’il s’agit de photons) perd son sens.